👋 Привет! Давай решим это неравенство вместе.

Задание 14
Решить неравенство $\frac{4x^2+4x+1}{2x^2-5x-3} \ge 0$.

Решение:

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:

• Числитель: $4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2$
• Знаменатель: $2x^2 - 5x - 3$. Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 5x - 3 = 0$.
  $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$
  $x_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$
  $x_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
  Таким образом, $2x^2 - 5x - 3 = 2(x - 3)(x + \frac{1}{2}) = (x - 3)(2x + 1)$

2. Запишем неравенство с разложенными множителями:

   $\frac{(2x + 1)^2}{(x - 3)(2x + 1)} \ge 0$

3. Упростим неравенство:

   Обратим внимание, что $(2x + 1)$ присутствует и в числителе, и в знаменателе. Однако, сокращать на него нельзя, так как при $x = -\frac{1}{2}$ знаменатель обращается в ноль. Рассмотрим два случая:

   • $x = -\frac{1}{2}$. В этом случае числитель равен нулю, а знаменатель обращается в ноль, что недопустимо. Значит, $x = -\frac{1}{2}$ не является решением.
   • $x \ne -\frac{1}{2}$. Тогда можно сократить $(2x + 1)$:
     $\frac{2x + 1}{x - 3} \ge 0$

4. Решим полученное неравенство методом интервалов:

   • Найдем нули числителя и знаменателя:
     $2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$
     $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
   • Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале:

*   Выберем интервалы, где $\frac{2x + 1}{x - 3} \ge 0$. Это интервалы $(-\infty; -\frac{1}{2})$ и $(3; +\infty)$. Так как $x = -\frac{1}{2}$ не является решением, то включаем только интервал $(-\infty; -\frac{1}{2})$.

5. Запишем окончательный ответ:

   $x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (3; +\infty)$