Язык задания: Russian.

Задание 29

Найти $\sin 2\alpha$, если $\cos \alpha = 0.8$ и $\pi < \alpha < 2\pi$.

Используем формулу $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ для нахождения $\sin \alpha$:
$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (0.8)^2 = 1 - 0.64 = 0.36$
$\sin \alpha = \pm \sqrt{0.36} = \pm 0.6$

Так как $\pi < \alpha < 2\pi$, то $\alpha$ находится в III или IV четверти. В этих четвертях $\sin \alpha$ отрицателен, поэтому $\sin \alpha = -0.6$.

Теперь используем формулу $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:
$\sin 2\alpha = 2 \cdot (-0.6) \cdot 0.8 = -0.96$

Ответ: -0.96

Задание 30

Найти значение выражения $5\sqrt{2} \sin \frac{7\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8}$.

Используем формулу двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
Тогда $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$.

$5\sqrt{2} \sin \frac{7\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{7\pi}{8}\right) = \frac{5\sqrt{2}}{2} \sin \frac{7\pi}{4}$

$\sin \frac{7\pi}{4} = \sin \left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{5\sqrt{2}}{2} \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{5 \cdot 2}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: -2.5

Задание 30

Найти значение выражения $5\sqrt{2} \sin \frac{7\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8}$.

Используем формулу двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.
Тогда $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$.

$5\sqrt{2} \sin \frac{7\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{7\pi}{8}\right) = \frac{5\sqrt{2}}{2} \sin \frac{7\pi}{4}$

$\sin \frac{7\pi}{4} = \sin \left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{5\sqrt{2}}{2} \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{5 \cdot 2}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: -2.5

Задание 31

Найти значение выражения $\frac{81^{2.6}}{9^{3.7}}$.

Представим $81$ как $9^2$:
$\frac{81^{2.6}}{9^{3.7}} = \frac{(9^2)^{2.6}}{9^{3.7}} = \frac{9^{2 \cdot 2.6}}{9^{3.7}} = \frac{9^{5.2}}{9^{3.7}}$

Используем свойство степеней: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
$\frac{9^{5.2}}{9^{3.7}} = 9^{5.2 - 3.7} = 9^{1.5} = 9^{\frac{3}{2}} = (9^{\frac{1}{2}})^3 = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$

Ответ: 27

Задание 32

Найти значение выражения $0.75^{\frac{1}{7}} \cdot 44^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{6}{7}}$.

Используем свойство степеней: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$0.75^{\frac{1}{7}} \cdot 44^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{6}{7}} = (0.75 \cdot 44)^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{6}{7}} = 33^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{6}{7}}$

Представим $33 = 3 \cdot 11$ и $12 = 3 \cdot 4$:
$33^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{6}{7}} = (3 \cdot 11)^{\frac{1}{7}} \cdot (3 \cdot 4)^{\frac{6}{7}} = 3^{\frac{1}{7}} \cdot 11^{\frac{1}{7}} \cdot 3^{\frac{6}{7}} \cdot 4^{\frac{6}{7}} = 3^{\frac{1}{7} + \frac{6}{7}} \cdot 11^{\frac{1}{7}} \cdot 4^{\frac{6}{7}} = 3^{\frac{7}{7}} \cdot 11^{\frac{1}{7}} \cdot 4^{\frac{6}{7}} = 3 \cdot 11^{\frac{1}{7}} \cdot 4^{\frac{6}{7}}$

Заметим, что $4 = 2^2$, поэтому $4^{\frac{6}{7}} = (2^2)^{\frac{6}{7}} = 2^{\frac{12}{7}}$.
Тогда $3 \cdot 11^{\frac{1}{7}} \cdot 4^{\frac{6}{7}} = 3 \cdot 11^{\frac{1}{7}} \cdot 2^{\frac{12}{7}}$.

Выражение не упрощается до целого числа. Проверим условие. Возможно, там $12^{\frac{6}{7}}$, а $12^{\frac{1}{7}}$:
$0.75^{\frac{1}{7}} \cdot 44^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{1}{7}} = (0.75 \cdot 44 \cdot 12)^{\frac{1}{7}} = (33 \cdot 12)^{\frac{1}{7}} = (396)^{\frac{1}{7}}$
Это тоже не упрощается.

Если в условии $0.75 = \frac{3}{4}$, то:
$(\frac{3}{4})^{\frac{1}{7}} \cdot 44^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{6}{7}} = (\frac{3}{4} \cdot 44)^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{6}{7}} = (3 \cdot 11)^{\frac{1}{7}} \cdot (3 \cdot 4)^{\frac{6}{7}} = 3^{\frac{1}{7}} \cdot 11^{\frac{1}{7}} \cdot 3^{\frac{6}{7}} \cdot 4^{\frac{6}{7}} = 3 \cdot 11^{\frac{1}{7}} \cdot 4^{\frac{6}{7}}$

Предположим, что в условии опечатка и должно быть $12^{\frac{1}{7}}$:
$0.75^{\frac{1}{7}} \cdot 44^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{1}{7}} = (\frac{3}{4} \cdot 44 \cdot 12)^{\frac{1}{7}} = (3 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 4)^{\frac{1}{7}} = (9 \cdot 44)^{\frac{1}{7}} = (396)^{\frac{1}{7}}$

Если в условии $0.75^{\frac{6}{7}} \cdot 44^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{1}{7}}$:
$(\frac{3}{4})^{\frac{6}{7}} \cdot 44^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{1}{7}} = (\frac{3}{4})^{\frac{6}{7}} \cdot (44 \cdot 12)^{\frac{1}{7}} = (\frac{3}{4})^{\frac{6}{7}} \cdot (528)^{\frac{1}{7}}$

Похоже, что в условии ошибка. Если бы было $0.75 \cdot 44 \cdot 12$, то получилось бы $396$.

Предположим, что задание выглядит так: $0.75 \cdot 44^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{6}{7}}$. Тогда ответ не упрощается до целого числа.

Если задание выглядит так: $0.75 \cdot 44 \cdot 12$, то ответ $396$.

В условии, скорее всего, опечатка. Без исправления условия решить невозможно.

Предположим, что в условии $0.75 \cdot 44 \cdot 12$. Тогда ответ 396.

Ответ: 396 (с учетом предположения об опечатке)

Задание 33

Найти значение выражения $\frac{\sqrt[15]{5} \cdot 5 \cdot \sqrt[10]{5}}{\sqrt[6]{5}}$.

Представим все корни в виде степеней:
$\frac{5^{\frac{1}{15}} \cdot 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{10}}}{5^{\frac{1}{6}}}$

Используем свойство степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{5^{\frac{1}{15}} \cdot 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{10}}}{5^{\frac{1}{6}}} = \frac{5^{\frac{1}{15} + 1 + \frac{1}{10}}}{5^{\frac{1}{6}}} = 5^{\frac{1}{15} + 1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{6}}$

Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{15} + 1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{6} = \frac{2}{30} + \frac{30}{30} + \frac{3}{30} - \frac{5}{30} = \frac{2 + 30 + 3 - 5}{30} = \frac{30}{30} = 1$

$5^{\frac{1}{15} + 1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{6}} = 5^1 = 5$

Ответ: 5

Задание 34

Найти $\text{tg } \alpha$, если $\sin \alpha = -\frac{4\sqrt{41}}{41}$ и $\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{4\sqrt{41}}{41}\right)^2 = 1 - \frac{16 \cdot 41}{41^2} = 1 - \frac{16}{41} = \frac{41 - 16}{41} = \frac{25}{41}$
$\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{25}{41}} = \pm \frac{5}{\sqrt{41}} = \pm \frac{5\sqrt{41}}{41}$

Так как $\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$, то $\alpha$ находится в III четверти. В III четверти $\cos \alpha$ отрицателен, поэтому $\cos \alpha = -\frac{5\sqrt{41}}{41}$.

Теперь найдем $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:
$\text{tg } \alpha = \frac{-\frac{4\sqrt{41}}{41}}{-\frac{5\sqrt{41}}{41}} = \frac{4\sqrt{41}}{5\sqrt{41}} = \frac{4}{5} = 0.8$

Ответ: 0.8