Решение задач по тригонометрии и степеням
Язык задания: Russian.
Задание 29
Найти \(\sin 2\alpha\), если \(\cos \alpha = 0.8\) и \(\pi < \alpha < 2\pi\).
Используем формулу \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) для нахождения \(\sin \alpha\):
\(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (0.8)^2 = 1 - 0.64 = 0.36\)
\(\sin \alpha = \pm \sqrt{0.36} = \pm 0.6\)
Так как \(\pi < \alpha < 2\pi\), то \(\alpha\) находится в III или IV четверти. В этих четвертях \(\sin \alpha\) отрицателен, поэтому \(\sin \alpha = -0.6\).
Теперь используем формулу \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\):
\(\sin 2\alpha = 2 \cdot (-0.6) \cdot 0.8 = -0.96\)
Ответ: -0.96
Задание 30
Найти значение выражения \(5\sqrt{2} \sin \frac{7\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8}\).
Используем формулу двойного угла: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\).
Тогда \(\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x\).
\(5\sqrt{2} \sin \frac{7\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{7\pi}{8}\right) = \frac{5\sqrt{2}}{2} \sin \frac{7\pi}{4}\)
\(\sin \frac{7\pi}{4} = \sin \left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{5\sqrt{2}}{2} \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{5 \cdot 2}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5\)
Ответ: -2.5
Задание 30
Найти значение выражения \(5\sqrt{2} \sin \frac{7\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8}\).
Используем формулу двойного угла: \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\).
Тогда \(\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x\).
\(5\sqrt{2} \sin \frac{7\pi}{8} \cos \frac{7\pi}{8} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \sin \left(2 \cdot \frac{7\pi}{8}\right) = \frac{5\sqrt{2}}{2} \sin \frac{7\pi}{4}\)
\(\sin \frac{7\pi}{4} = \sin \left(2\pi - \frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{5\sqrt{2}}{2} \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{5 \cdot 2}{4} = -\frac{10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5\)
Ответ: -2.5
Задание 31
Найти значение выражения \(\frac{81^{2.6}}{9^{3.7}}\).
Представим \(81\) как \(9^2\):
\(\frac{81^{2.6}}{9^{3.7}} = \frac{(9^2)^{2.6}}{9^{3.7}} = \frac{9^{2 \cdot 2.6}}{9^{3.7}} = \frac{9^{5.2}}{9^{3.7}}\)
Используем свойство степеней: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
\(\frac{9^{5.2}}{9^{3.7}} = 9^{5.2 - 3.7} = 9^{1.5} = 9^{\frac{3}{2}} = (9^{\frac{1}{2}})^3 = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27\)
Ответ: 27
Задание 32
Найти значение выражения \(0.75^{\frac{1}{7}} \cdot 44^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{6}{7}}\).
Используем свойство степеней: \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\).
\(0.75^{\frac{1}{7}} \cdot 44^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{6}{7}} = (0.75 \cdot 44)^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{6}{7}} = 33^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{6}{7}}\)
Представим \(33 = 3 \cdot 11\) и \(12 = 3 \cdot 4\):
\(33^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{6}{7}} = (3 \cdot 11)^{\frac{1}{7}} \cdot (3 \cdot 4)^{\frac{6}{7}} = 3^{\frac{1}{7}} \cdot 11^{\frac{1}{7}} \cdot 3^{\frac{6}{7}} \cdot 4^{\frac{6}{7}} = 3^{\frac{1}{7} + \frac{6}{7}} \cdot 11^{\frac{1}{7}} \cdot 4^{\frac{6}{7}} = 3^{\frac{7}{7}} \cdot 11^{\frac{1}{7}} \cdot 4^{\frac{6}{7}} = 3 \cdot 11^{\frac{1}{7}} \cdot 4^{\frac{6}{7}}\)
Заметим, что \(4 = 2^2\), поэтому \(4^{\frac{6}{7}} = (2^2)^{\frac{6}{7}} = 2^{\frac{12}{7}}\).
Тогда \(3 \cdot 11^{\frac{1}{7}} \cdot 4^{\frac{6}{7}} = 3 \cdot 11^{\frac{1}{7}} \cdot 2^{\frac{12}{7}}\).
Выражение не упрощается до целого числа. Проверим условие. Возможно, там \(12^{\frac{6}{7}}\), а \(12^{\frac{1}{7}}\):
\(0.75^{\frac{1}{7}} \cdot 44^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{1}{7}} = (0.75 \cdot 44 \cdot 12)^{\frac{1}{7}} = (33 \cdot 12)^{\frac{1}{7}} = (396)^{\frac{1}{7}}\)
Это тоже не упрощается.
Если в условии \(0.75 = \frac{3}{4}\), то:
\((\frac{3}{4})^{\frac{1}{7}} \cdot 44^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{6}{7}} = (\frac{3}{4} \cdot 44)^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{6}{7}} = (3 \cdot 11)^{\frac{1}{7}} \cdot (3 \cdot 4)^{\frac{6}{7}} = 3^{\frac{1}{7}} \cdot 11^{\frac{1}{7}} \cdot 3^{\frac{6}{7}} \cdot 4^{\frac{6}{7}} = 3 \cdot 11^{\frac{1}{7}} \cdot 4^{\frac{6}{7}}\)
Предположим, что в условии опечатка и должно быть \(12^{\frac{1}{7}}\):
\(0.75^{\frac{1}{7}} \cdot 44^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{1}{7}} = (\frac{3}{4} \cdot 44 \cdot 12)^{\frac{1}{7}} = (3 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 4)^{\frac{1}{7}} = (9 \cdot 44)^{\frac{1}{7}} = (396)^{\frac{1}{7}}\)
Если в условии \(0.75^{\frac{6}{7}} \cdot 44^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{1}{7}}\):
\((\frac{3}{4})^{\frac{6}{7}} \cdot 44^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{1}{7}} = (\frac{3}{4})^{\frac{6}{7}} \cdot (44 \cdot 12)^{\frac{1}{7}} = (\frac{3}{4})^{\frac{6}{7}} \cdot (528)^{\frac{1}{7}}\)
Похоже, что в условии ошибка. Если бы было \(0.75 \cdot 44 \cdot 12\), то получилось бы \(396\).
Предположим, что задание выглядит так: \(0.75 \cdot 44^{\frac{1}{7}} \cdot 12^{\frac{6}{7}}\). Тогда ответ не упрощается до целого числа.
Если задание выглядит так: \(0.75 \cdot 44 \cdot 12\), то ответ \(396\).
В условии, скорее всего, опечатка. Без исправления условия решить невозможно.
Предположим, что в условии \(0.75 \cdot 44 \cdot 12\). Тогда ответ 396.
Ответ: 396 (с учетом предположения об опечатке)
Задание 33
Найти значение выражения \(\frac{\sqrt[15]{5} \cdot 5 \cdot \sqrt[10]{5}}{\sqrt[6]{5}}\).
Представим все корни в виде степеней:
\(\frac{5^{\frac{1}{15}} \cdot 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{10}}}{5^{\frac{1}{6}}}\)
Используем свойство степеней: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) и \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\).
\(\frac{5^{\frac{1}{15}} \cdot 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{10}}}{5^{\frac{1}{6}}} = \frac{5^{\frac{1}{15} + 1 + \frac{1}{10}}}{5^{\frac{1}{6}}} = 5^{\frac{1}{15} + 1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{6}}\)
Приведем дроби к общему знаменателю:
\(\frac{1}{15} + 1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{6} = \frac{2}{30} + \frac{30}{30} + \frac{3}{30} - \frac{5}{30} = \frac{2 + 30 + 3 - 5}{30} = \frac{30}{30} = 1\)
\(5^{\frac{1}{15} + 1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{6}} = 5^1 = 5\)
Ответ: 5
Задание 34
Найти \(\text{tg } \alpha\), если \(\sin \alpha = -\frac{4\sqrt{41}}{41}\) и \(\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})\).
Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).
\(\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{4\sqrt{41}}{41}\right)^2 = 1 - \frac{16 \cdot 41}{41^2} = 1 - \frac{16}{41} = \frac{41 - 16}{41} = \frac{25}{41}\)
\(\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{25}{41}} = \pm \frac{5}{\sqrt{41}} = \pm \frac{5\sqrt{41}}{41}\)
Так как \(\alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})\), то \(\alpha\) находится в III четверти. В III четверти \(\cos \alpha\) отрицателен, поэтому \(\cos \alpha = -\frac{5\sqrt{41}}{41}\).
Теперь найдем \(\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):
\(\text{tg } \alpha = \frac{-\frac{4\sqrt{41}}{41}}{-\frac{5\sqrt{41}}{41}} = \frac{4\sqrt{41}}{5\sqrt{41}} = \frac{4}{5} = 0.8\)
Ответ: 0.8
