Привет! Давай решим эти уравнения.

Задание 40.1

а) $3^x = 9$

Чтобы решить это уравнение, нужно представить правую часть как степень числа 3:

$3^x = 3^2$

Так как основания равны, то и показатели должны быть равны:

$x = 2$

Ответ: $x = 2$

б) $2^x = 16$

Аналогично, представим 16 как степень числа 2:

$2^x = 2^4$

Следовательно:

$x = 4$

Ответ: $x = 4$

в) $({\frac{1}{3}})^x = 1$

Представим 1 как степень любого числа (кроме 0) в нулевой степени:

$({\frac{1}{3}})^x = ({\frac{1}{3}})^0$

Следовательно:

$x = 0$

Ответ: $x = 0$

г) $0,5^x = 0,125$

Представим 0,125 как степень 0,5:

$0,5^x = 0,5^3$

Следовательно:

$x = 3$

Ответ: $x = 3$

Ассистент: Конечно! Решим следующие уравнения.

Задание 40.2

а) $4^x = \frac{1}{16}$

Представим правую часть как степень числа 4:

$4^x = 4^{-2}$

Следовательно:

$x = -2$

Ответ: $x = -2$

б) $7^x = \frac{1}{343}$

Представим правую часть как степень числа 7:

$7^x = 7^{-3}$

Следовательно:

$x = -3$

Ответ: $x = -3$

в) $(\frac{1}{6})^x = 36$

Представим правую часть как степень числа $\frac{1}{6}$:

$(\frac{1}{6})^x = (\frac{1}{6})^{-2}$

Следовательно:

$x = -2$

Ответ: $x = -2$

г) $0,2^x = 0,00032$

Представим 0,00032 как степень числа 0,2:
$0,2 = \frac{1}{5}$, поэтому $0,2^x = (\frac{1}{5})^x$
$0,00032 = \frac{32}{100000} = \frac{2^5}{10^5} = \frac{1}{5^5}$
$(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^5$

Следовательно:

$x = 5$

Ответ: $x = 5$

Ассистент: Конечно! Решим следующие уравнения.

Задание 40.3

а) $10^x = \sqrt[3]{1000}$

Сначала упростим правую часть:
$\sqrt[3]{1000} = 10$

Теперь уравнение выглядит так:
$10^x = 10$

Следовательно:
$x = 1$

Ответ: $x = 1$

б) $5^x = \frac{1}{25}$

Представим правую часть как степень числа 5:
$\frac{1}{25} = 5^{-2}$

Теперь уравнение выглядит так:
$5^x = 5^{-2}$

Следовательно:
$x = -2$

Ответ: $x = -2$

в) $0,3^x = \sqrt{0,0081}$

Сначала упростим правую часть:
$\sqrt{0,0081} = 0,09 = (0,3)^2$

Теперь уравнение выглядит так:
$0,3^x = (0,3)^2$

Следовательно:
$x = 2$

Ответ: $x = 2$

г) $(\frac{1}{5})^x = 25\sqrt{5}$

Представим правую часть как степень числа $\frac{1}{5}$:
$25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{5}{2}} = (\frac{1}{5})^{-\frac{5}{2}}$

Теперь уравнение выглядит так:
$(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^{-\frac{5}{2}}$

Следовательно:
$x = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $x = -2.5$

Ассистент: Привет! Давай продолжим решать уравнения.

Задание 40.4

а) $0,3^x = \frac{1000}{27}$

Представим правую часть как степень числа 0,3:
$\frac{1000}{27} = (\frac{10}{3})^3 = (\frac{3}{10})^{-3} = (0,3)^{-3}$

Теперь уравнение выглядит так:
$0,3^x = (0,3)^{-3}$

Следовательно:
$x = -3$

Ответ: $x = -3$

б) $(\frac{4}{5})^x = \frac{25}{16}$

Представим правую часть как степень числа $\frac{4}{5}$:
$\frac{25}{16} = (\frac{5}{4})^2 = (\frac{4}{5})^{-2}$

Теперь уравнение выглядит так:
$(\frac{4}{5})^x = (\frac{4}{5})^{-2}$

Следовательно:
$x = -2$

Ответ: $x = -2$

в) $0,7^x = \frac{1000}{343}$

Представим правую часть как степень числа 0,7:
$\frac{1000}{343} = (\frac{10}{7})^3 = (\frac{7}{10})^{-3} = (0,7)^{-3}$

Теперь уравнение выглядит так:
$0,7^x = (0,7)^{-3}$

Следовательно:
$x = -3$

Ответ: $x = -3$

г) $(\frac{2}{3})^x = \frac{16}{81}$

Представим правую часть как степень числа $\frac{2}{3}$:
$\frac{16}{81} = (\frac{2}{3})^4$

Теперь уравнение выглядит так:
$(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^4$

Следовательно:
$x = 4$

Ответ: $x = 4$

Ассистент: Привет! Давай продолжим решать уравнения.

Задание 40.5

а) $2^{x+1} = 4$

Представим правую часть как степень числа 2:
$4 = 2^2$

Теперь уравнение выглядит так:
$2^{x+1} = 2^2$

Следовательно:
$x + 1 = 2$
$x = 2 - 1$
$x = 1$

Ответ: $x = 1$

б) $5^{x-1} = 0,2$

Представим правую часть как степень числа 5:
$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

Теперь уравнение выглядит так:
$5^{x-1} = 5^{-1}$

Следовательно:
$x - 1 = -1$
$x = -1 + 1$
$x = 0$

Ответ: $x = 0$

в) $0,4^{-x} = 0,16\sqrt{0,4}$

Представим правую часть как степень числа 0,4:
$0,16\sqrt{0,4} = (0,4)^2 \cdot (0,4)^{\frac{1}{2}} = (0,4)^{\frac{5}{2}}$

Теперь уравнение выглядит так:
$0,4^{-x} = (0,4)^{\frac{5}{2}}$

Следовательно:
$-x = \frac{5}{2}$
$x = -\frac{5}{2} = -2.5$

Ответ: $x = -2.5$

г) $(\frac{1}{2})^{1-x} = 8\sqrt{2}$

Представим правую часть как степень числа $\frac{1}{2}$:
$8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{7}{2}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{7}{2}}$

Теперь уравнение выглядит так:
$(\frac{1}{2})^{1-x} = (\frac{1}{2})^{-\frac{7}{2}}$

Следовательно:
$1 - x = -\frac{7}{2}$
$x = 1 + \frac{7}{2}$
$x = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $x = 4.5$

Ассистент: Привет! Давай продолжим решать уравнения.

Задание 40.6

а) $9^{2x} = 27$

Представим обе части уравнения как степени числа 3:
$9^{2x} = (3^2)^{2x} = 3^{4x}$
$27 = 3^3$

Теперь уравнение выглядит так:
$3^{4x} = 3^3$

Следовательно:
$4x = 3$
$x = \frac{3}{4}$

Ответ: $x = \frac{3}{4}$

б) $4^{3x} = 8$

Представим обе части уравнения как степени числа 2:
$4^{3x} = (2^2)^{3x} = 2^{6x}$
$8 = 2^3$

Теперь уравнение выглядит так:
$2^{6x} = 2^3$

Следовательно:
$6x = 3$
$x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$

в) $8^{x+1} = 16$

Представим обе части уравнения как степени числа 2:
$8^{x+1} = (2^3)^{x+1} = 2^{3(x+1)}$
$16 = 2^4$

Теперь уравнение выглядит так:
$2^{3(x+1)} = 2^4$

Следовательно:
$3(x+1) = 4$
$3x + 3 = 4$
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $x = \frac{1}{3}$

г) $9^{x-1} = 27$

Представим обе части уравнения как степени числа 3:
$9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2(x-1)}$
$27 = 3^3$

Теперь уравнение выглядит так:
$3^{2(x-1)} = 3^3$

Следовательно:
$2(x-1) = 3$
$2x - 2 = 3$
$2x = 5$
$x = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $x = 2.5$

Ассистент: Ассистент: Привет! Давай продолжим решать уравнения.

Задание 40.7

а) $25^{x+2} = 5^{3x}$

Представим обе части уравнения как степени числа 5:
$25^{x+2} = (5^2)^{x+2} = 5^{2(x+2)}$

Теперь уравнение выглядит так:
$5^{2(x+2)} = 5^{3x}$

Следовательно:
$2(x+2) = 3x$
$2x + 4 = 3x$
$x = 4$

Ответ: $x = 4$

б) $4^{x+1} = 8^{1-x}$

Представим обе части уравнения как степени числа 2:
$4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)}$
$8^{1-x} = (2^3)^{1-x} = 2^{3(1-x)}$

Теперь уравнение выглядит так:
$2^{2(x+1)} = 2^{3(1-x)}$

Следовательно:
$2(x+1) = 3(1-x)$
$2x + 2 = 3 - 3x$
$5x = 1$
$x = \frac{1}{5}$

Ответ: $x = \frac{1}{5}$

в) $9^{x+1} = 27^{x-1}$

Представим обе части уравнения как степени числа 3:
$9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)}$
$27^{x-1} = (3^3)^{x-1} = 3^{3(x-1)}$

Теперь уравнение выглядит так:
$3^{2(x+1)} = 3^{3(x-1)}$

Следовательно:
$2(x+1) = 3(x-1)$
$2x + 2 = 3x - 3$
$x = 5$

Ответ: $x = 5$

г) $16^{3-x} = 8^{2-x}$

Представим обе части уравнения как степени числа 2:
$16^{3-x} = (2^4)^{3-x} = 2^{4(3-x)}$
$8^{2-x} = (2^3)^{2-x} = 2^{3(2-x)}$

Теперь уравнение выглядит так:
$2^{4(3-x)} = 2^{3(2-x)}$

Следовательно:
$4(3-x) = 3(2-x)$
$12 - 4x = 6 - 3x$
$x = 6$

Ответ: $x = 6$

Ассистент: Ассистент: Привет! Давай продолжим решать уравнения.

Задание 40.8

а) $3^{x^2 - 4,5x + 2,5} = \frac{1}{9}$

Представим правую часть как степень числа 3:
$\frac{1}{9} = 3^{-2}$

Теперь уравнение выглядит так:
$3^{x^2 - 4,5x + 2,5} = 3^{-2}$

Следовательно:
$x^2 - 4,5x + 2,5 = -2$
$x^2 - 4,5x + 4,5 = 0$
Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$2x^2 - 9x + 9 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 9 = 81 - 72 = 9$
$x_1 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3$
$x_2 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 3}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = 1,5$

б) $2^{x^2 - 6x + 0,5} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Представим правую часть как степень числа 2:
$\frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{2^2} = 2^{\frac{1}{2} - 2} = 2^{-\frac{3}{2}}$

Теперь уравнение выглядит так:
$2^{x^2 - 6x + 0,5} = 2^{-\frac{3}{2}}$

Следовательно:
$x^2 - 6x + 0,5 = -\frac{3}{2}$
$x^2 - 6x + 0,5 = -1,5$
$x^2 - 6x + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$
$x_1 = \frac{6 + \sqrt{28}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{7}}{2} = 3 + \sqrt{7}$
$x_2 = \frac{6 - \sqrt{28}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{7}}{2} = 3 - \sqrt{7}$

Ответ: $x_1 = 3 + \sqrt{7}$, $x_2 = 3 - \sqrt{7}$

в) $5^{x^2 + 3x - 0,5} = \sqrt{5}$

Представим правую часть как степень числа 5:
$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$

Теперь уравнение выглядит так:
$5^{x^2 + 3x - 0,5} = 5^{\frac{1}{2}}$

Следовательно:
$x^2 + 3x - 0,5 = \frac{1}{2}$
$x^2 + 3x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$
$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$
$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$, $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$

г) $3^{x^2 - 5x + 4,5} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Представим правую часть как степень числа 3:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = 3^{-\frac{1}{2}}$

Теперь уравнение выглядит так:
$3^{x^2 - 5x + 4,5} = 3^{-\frac{1}{2}}$

Следовательно:
$x^2 - 5x + 4,5 = -\frac{1}{2}$
$x^2 - 5x + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 - 20 = 5$
$x_1 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$
$x_2 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$

Ответ: $x_1 = \frac{5 + \sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$

Ассистент: Ассистент: Привет! Давай продолжим решать уравнения.

Задание 40.9

К сожалению, на изображении видна только часть задания 40.9. Могу решить только то, что видно.

а) $(\sqrt{12})^x \cdot (\sqrt{3})^x = \frac{1}{6}$

Упростим левую часть уравнения:
$(\sqrt{12})^x \cdot (\sqrt{3})^x = (\sqrt{12} \cdot \sqrt{3})^x = (\sqrt{36})^x = 6^x$

Теперь уравнение выглядит так:
$6^x = \frac{1}{6}$

Представим правую часть как степень числа 6:
$\frac{1}{6} = 6^{-1}$

Следовательно:
$6^x = 6^{-1}$
$x = -1$

Ответ: $x = -1$

Задание 40.10

К сожалению, на изображении видна только часть задания 40.10. Могу решить только то, что видно.

а) $(\frac{\sqrt{10}}{3})^{x^2 - x} = 0.81$

Представим правую часть как степень числа $\frac{\sqrt{10}}{3}$:
$0.81 = \frac{81}{100} = (\frac{9}{10})^2 = (\frac{\sqrt{10}}{3})^{-2}$

Теперь уравнение выглядит так:
$(\frac{\sqrt{10}}{3})^{x^2 - x} = (\frac{\sqrt{10}}{3})^{-2}$

Следовательно:
$x^2 - x = -2$
$x^2 - x + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет действительных решений

Задание 40.11

К сожалению, на изображении видна только часть задания 40.11. Могу решить только то, что видно.

а) $\sqrt{625} \cdot \sqrt{5^{14x-5}} = \sqrt[4]{125} \cdot 5^{5x-12}$

Упростим уравнение:
$\sqrt{625} = 25 = 5^2$
$\sqrt{5^{14x-5}} = 5^{\frac{14x-5}{2}}$
$\sqrt[4]{125} = \sqrt[4]{5^3} = 5^{\frac{3}{4}}$

Теперь уравнение выглядит так:
$5^2 \cdot 5^{\frac{14x-5}{2}} = 5^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{5x-12}$
$5^{2 + \frac{14x-5}{2}} = 5^{\frac{3}{4} + 5x - 12}$

Следовательно:
$2 + \frac{14x-5}{2} = \frac{3}{4} + 5x - 12$
$\frac{4 + 14x - 5}{2} = \frac{3 + 20x - 48}{4}$
$\frac{14x - 1}{2} = \frac{20x - 45}{4}$
$2(14x - 1) = 20x - 45$
$28x - 2 = 20x - 45$
$8x = -43$
$x = -\frac{43}{8} = -5.375$

Ответ: $x = -5.375$

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Привет! Давай продолжим решать уравнения.

Задание 40.9

б) $(\sqrt[3]{3})^x \cdot (\sqrt[9]{9})^x = 243$

Упростим левую часть уравнения:
$(\sqrt[3]{3})^x = (3^{\frac{1}{3}})^x = 3^{\frac{x}{3}}$
$(\sqrt[9]{9})^x = (\sqrt[9]{3^2})^x = (3^{\frac{2}{9}})^x = 3^{\frac{2x}{9}}$

Теперь уравнение выглядит так:
$3^{\frac{x}{3}} \cdot 3^{\frac{2x}{9}} = 3^{\frac{x}{3} + \frac{2x}{9}} = 3^{\frac{3x + 2x}{9}} = 3^{\frac{5x}{9}}$

Представим правую часть как степень числа 3:
$243 = 3^5$

Следовательно:
$3^{\frac{5x}{9}} = 3^5$
$\frac{5x}{9} = 5$
$5x = 45$
$x = 9$

Ответ: $x = 9$

Задание 40.10

б) $(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^{4-x} = 20.25^{x+1}$

Преобразуем правую часть уравнения:
$20.25 = \frac{2025}{100} = \frac{81}{4} = (\frac{9}{2})^2 = (\frac{3}{\sqrt{2}})^4 = (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^{-4}$

Теперь уравнение выглядит так:
$(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^{4-x} = ((\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^{-4})^{x+1}$
$(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^{4-x} = (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})^{-4(x+1)}$
$(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^{4-x} = (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^{4(x+1)}$

Следовательно:
$4 - x = 4(x+1)$
$4 - x = 4x + 4$
$5x = 0$
$x = 0$

Ответ: $x = 0$

Задание 40.11

б) $\sqrt{0,2} \cdot \sqrt[3]{0,2^{x-1}} = \sqrt[5]{0,04}$

Преобразуем уравнение:
$\sqrt{0,2} = (0,2)^{\frac{1}{2}}$
$\sqrt[3]{0,2^{x-1}} = (0,2)^{\frac{x-1}{3}}$
$\sqrt[5]{0,04} = \sqrt[5]{(0,2)^2} = (0,2)^{\frac{2}{5}}$

Теперь уравнение выглядит так:
$(0,2)^{\frac{1}{2}} \cdot (0,2)^{\frac{x-1}{3}} = (0,2)^{\frac{2}{5}}$
$(0,2)^{\frac{1}{2} + \frac{x-1}{3}} = (0,2)^{\frac{2}{5}}$

Следовательно:
$\frac{1}{2} + \frac{x-1}{3} = \frac{2}{5}$
$\frac{3 + 2(x-1)}{6} = \frac{2}{5}$
$\frac{3 + 2x - 2}{6} = \frac{2}{5}$
$\frac{2x + 1}{6} = \frac{2}{5}$
$5(2x + 1) = 12$
$10x + 5 = 12$
$10x = 7$
$x = \frac{7}{10} = 0.7$

Ответ: $x = 0.7$

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Привет! Давай продолжим решать уравнения.

Задание 40.12

а) $27^{\sqrt{x}-1} = \sqrt{9^{x+1}}$

Преобразуем уравнение:
$27^{\sqrt{x}-1} = (3^3)^{\sqrt{x}-1} = 3^{3(\sqrt{x}-1)}$
$\sqrt{9^{x+1}} = (9^{x+1})^{\frac{1}{2}} = (3^{2(x+1)})^{\frac{1}{2}} = 3^{x+1}$

Теперь уравнение выглядит так:
$3^{3(\sqrt{x}-1)} = 3^{x+1}$

Следовательно:
$3(\sqrt{x}-1) = x+1$
$3\sqrt{x} - 3 = x + 1$
$3\sqrt{x} = x + 4$
Возведем обе части в квадрат:
$(3\sqrt{x})^2 = (x+4)^2$
$9x = x^2 + 8x + 16$
$x^2 - x + 16 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 1 - 64 = -63$

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет действительных решений

б) $2^{\sqrt{x}-2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$

Преобразуем уравнение:
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8 = 2^3$

Теперь уравнение выглядит так:
$2^{\sqrt{x}-2} = 2^3$

Следовательно:
$\sqrt{x} - 2 = 3$
$\sqrt{x} = 5$
$x = 25$

Ответ: $x = 25$

в) $3^x \cdot (\frac{1}{3})^{x+1} = 243$

Преобразуем уравнение:
$(\frac{1}{3})^{x+1} = 3^{-(x+1)}$

Теперь уравнение выглядит так:
$3^x \cdot 3^{-(x+1)} = 3^{x - (x+1)} = 3^{-1}$

Представим правую часть как степень числа 3:
$243 = 3^5$

Следовательно:
$3^{-1} = 3^5$
$-1 = 5$

Это равенство неверно, значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений

г) $(0,1^{-1})^{\sqrt{x}+6} = \frac{1}{10^x}$

Преобразуем уравнение:
$0,1^{-1} = 10$
$(0,1^{-1})^{\sqrt{x}+6} = 10^{\sqrt{x}+6}$
$\frac{1}{10^x} = 10^{-x}$

Теперь уравнение выглядит так:
$10^{\sqrt{x}+6} = 10^{-x}$

Следовательно:
$\sqrt{x} + 6 = -x$
$\sqrt{x} = -x - 6$

Так как $\sqrt{x}$ всегда неотрицательно, а $-x-6$ должно быть неотрицательным, то $x$ должно быть отрицательным и больше -6.
Возведем обе части в квадрат:
$x = (-x-6)^2$
$x = x^2 + 12x + 36$
$x^2 + 11x + 36 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 121 - 144 = -23$

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет действительных решений

Задание 40.13

а) $3^x - 3^{-x+4} = -78$

Преобразуем уравнение:
$3^x - \frac{3^4}{3^x} = -78$
$3^x - \frac{81}{3^x} = -78$
Умножим обе части на $3^x$:
$(3^x)^2 + 78 \cdot 3^x - 81 = 0$

Пусть $y = 3^x$, тогда уравнение примет вид:
$y^2 + 78y - 81 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = 78^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-81) = 6084 + 324 = 6408$
$y_1 = \frac{-78 + \sqrt{6408}}{2} = \frac{-78 + 7.9 \sqrt{103}}{2}$
$y_2 = \frac{-78 - \sqrt{6408}}{2} = \frac{-78 - 7.9 \sqrt{103}}{2}$

Так как $y = 3^x > 0$, то $y_2$ не подходит.
$3^x = \frac{-78 + \sqrt{6408}}{2}$
$x = \log_3(\frac{-78 + \sqrt{6408}}{2})$

Ответ: $x = \log_3(\frac{-78 + \sqrt{6408}}{2})$

б) $2 \cdot (\frac{1}{7})^x - 7 \cdot (\frac{1}{7})^{-x} = 49$

Преобразуем уравнение:
$2 \cdot (\frac{1}{7})^x - 7 \cdot 7^x = 49$
$2 \cdot (\frac{1}{7})^x - 7 \cdot 7^x = 7^2$
Пусть $y = (\frac{1}{7})^x$, тогда $7^x = \frac{1}{y}$
$2y - \frac{7}{y} = 49$
$2y^2 - 49y - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-49)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 2401 + 56 = 2457$
$y_1 = \frac{49 + \sqrt{2457}}{4}$
$y_2 = \frac{49 - \sqrt{2457}}{4}$

Так как $y = (\frac{1}{7})^x > 0$, то $y_2$ не подходит.
$(\frac{1}{7})^x = \frac{49 + \sqrt{2457}}{4}$
$x = \log_{\frac{1}{7}}(\frac{49 + \sqrt{2457}}{4})$

Ответ: $x = \log_{\frac{1}{7}}(\frac{49 + \sqrt{2457}}{4})$

в) $(\frac{1}{3})^{5x-1} - 5^{2x-3} = 4.8$

Преобразуем уравнение:
$(\frac{1}{3})^{5x-1} - 5^{2x-3} = \frac{24}{5}$
$3^{-5x+1} - 5^{2x-3} = \frac{24}{5}$

Это уравнение сложно решить аналитически.

Ответ: Решение требует численных методов.

г) $(\frac{1}{6})^{2x} - 5 \cdot (\frac{1}{6})^x - 6 = 0$

Пусть $y = (\frac{1}{6})^x$, тогда уравнение примет вид:
$y^2 - 5y - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$
$y_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6$
$y_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = -1$

Так как $y = (\frac{1}{6})^x > 0$, то $y_2$ не подходит.
$(\frac{1}{6})^x = 6$
$6^{-x} = 6^1$
$-x = 1$
$x = -1$

Ответ: $x = -1$

Задание 40.14

а) $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Пусть $y = 2^x$, тогда уравнение примет вид:
$y^2 - 6y + 8 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$
$y_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$
$y_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2$

Тогда:
$2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2$
$2^x = 2 = 2^1 \Rightarrow x = 1$

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = 1$

б) $3^{2x} - 6 \cdot 3^x - 27 = 0$

Пусть $y = 3^x$, тогда уравнение примет вид:
$y^2 - 6y - 27 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144$
$y_1 = \frac{6 + \sqrt{144}}{2} = \frac{6 + 12}{2} = 9$
$y_2 = \frac{6 - \sqrt{144}}{2} = \frac{6 - 12}{2} = -3$

Так как $y = 3^x > 0$, то $y_2$ не подходит.
$3^x = 9 = 3^2 \Rightarrow x = 2$

Ответ: $x = 2$

в) $(\frac{1}{6})^{2x} + 5 \cdot (\frac{1}{6})^x - 6 = 0$

Пусть $y = (\frac{1}{6})^x$, тогда уравнение примет вид:
$y^2 + 5y - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$
$y_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 + 7}{2} = 1$
$y_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 - 7}{2} = -6$

Так как $y = (\frac{1}{6})^x > 0$, то $y_2$ не подходит.
$(\frac{1}{6})^x = 1 = (\frac{1}{6})^0 \Rightarrow x = 0$

Ответ: $x = 0$

г) $(\frac{1}{6})^{2x} + 5 \cdot (\frac{1}{6})^x - 6 = 0$

Это уравнение идентично предыдущему, поэтому ответ такой же.

Ответ: $x = 0$

Задание 40.15

а) $2 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x + 2 = 0$

Преобразуем уравнение:
$2 \cdot (2^2)^x - 5 \cdot 2^x + 2 = 0$
$2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 2 = 0$

Пусть $y = 2^x$, тогда уравнение примет вид:
$2y^2 - 5y + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
$y_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{5 + 3}{4} = 2$
$y_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$

Тогда:
$2^x = 2 = 2^1 \Rightarrow x = 1$
$2^x = \frac{1}{2} = 2^{-1} \Rightarrow x = -1$

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$

б) $3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$

Преобразуем уравнение:
$3 \cdot (3^2)^x - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$
$3 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$

Пусть $y = 3^x$, тогда уравнение примет вид:
$3y^2 - 10y + 3 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$
$y_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{6} = \frac{10 + 8}{6} = 3$
$y_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{6} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}$

Тогда:
$3^x = 3 = 3^1 \Rightarrow x = 1$
$3^x = \frac{1}{3} = 3^{-1} \Rightarrow x = -1$

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$

в) $4 \cdot (\frac{1}{16})^x + 15 \cdot (\frac{1}{4})^x - 4 = 0$

Преобразуем уравнение:
$4 \cdot ((\frac{1}{4})^2)^x + 15 \cdot (\frac{1}{4})^x - 4 = 0$
$4 \cdot ((\frac{1}{4})^x)^2 + 15 \cdot (\frac{1}{4})^x - 4 = 0$

Пусть $y = (\frac{1}{4})^x$, тогда уравнение примет вид:
$4y^2 + 15y - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = 15^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289$
$y_1 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{8} = \frac{-15 + 17}{8} = \frac{1}{4}$
$y_2 = \frac{-15 - \sqrt{289}}{8} = \frac{-15 - 17}{8} = -4$

Так как $y = (\frac{1}{4})^x > 0$, то $y_2$ не подходит.
$(\frac{1}{4})^x = \frac{1}{4} = (\frac{1}{4})^1 \Rightarrow x = 1$

Ответ: $x = 1$

г) $(0,25)^x + 1,5 \cdot (0,5)^x - 1 = 0$

Преобразуем уравнение:
$(0,5^2)^x + 1,5 \cdot (0,5)^x - 1 = 0$
$(0,5^x)^2 + 1,5 \cdot (0,5)^x - 1 = 0$

Пусть $y = (0,5)^x$, тогда уравнение примет вид:
$y^2 + 1,5y - 1 = 0$
$y^2 + \frac{3}{2}y - 1 = 0$
$2y^2 + 3y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}$
$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 - 5}{4} = -2$

Так как $y = (0,5)^x > 0$, то $y_2$ не подходит.
$(0,5)^x = \frac{1}{2} = (0,5)^1 \Rightarrow x = 1$

Ответ: $x = 1$

Задание 40.16

а) $4 \cdot (\frac{1}{16})^x - 17 \cdot (\frac{1}{4})^x + 4 = 0$

Преобразуем уравнение:
$4 \cdot ((\frac{1}{4})^2)^x - 17 \cdot (\frac{1}{4})^x + 4 = 0$
$4 \cdot ((\frac{1}{4})^x)^2 - 17 \cdot (\frac{1}{4})^x + 4 = 0$

Пусть $y = (\frac{1}{4})^x$, тогда уравнение примет вид:
$4y^2 - 17y + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225$
$y_1 = \frac{17 + \sqrt{225}}{8} = \frac{17 + 15}{8} = 4$
$y_2 = \frac{17 - \sqrt{225}}{8} = \frac{17 - 15}{8} = \frac{1}{4}$

Тогда:
$(\frac{1}{4})^x = 4 = (\frac{1}{4})^{-1} \Rightarrow x = -1$
$(\frac{1}{4})^x = \frac{1}{4} = (\frac{1}{4})^1 \Rightarrow x = 1$

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$

б) $0,01^x + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0$

Преобразуем уравнение:
$(0,1^2)^x + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0$
$(0,1^x)^2 + 9,9 \cdot (0,1)^x - 1 = 0$

Пусть $y = (0,1)^x$, тогда уравнение примет вид:
$y^2 + 9,9y - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (9,9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 98,01 + 4 = 102,01$
$y_1 = \frac{-9,9 + \sqrt{102,01}}{2} = \frac{-9,9 + 10,1}{2} = 0,1$
$y_2 = \frac{-9,9 - \sqrt{102,01}}{2} = \frac{-9,9 - 10,1}{2} = -10$

Так как $y = (0,1)^x > 0$, то $y_2$ не подходит.
$(0,1)^x = 0,1 = (0,1)^1 \Rightarrow x = 1$

Ответ: $x = 1$

в) $3 \cdot (\frac{4}{9})^x + 7 \cdot (\frac{2}{3})^x - 6 = 0$

Преобразуем уравнение:
$3 \cdot ((\frac{2}{3})^2)^x + 7 \cdot (\frac{2}{3})^x - 6 = 0$
$3 \cdot ((\frac{2}{3})^x)^2 + 7 \cdot (\frac{2}{3})^x - 6 = 0$

Пусть $y = (\frac{2}{3})^x$, тогда уравнение примет вид:
$3y^2 + 7y - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$
$y_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{6} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{2}{3}$
$y_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{6} = \frac{-7 - 11}{6} = -3$

Так как $y = (\frac{2}{3})^x > 0$, то $y_2$ не подходит.
$(\frac{2}{3})^x = \frac{2}{3} = (\frac{2}{3})^1 \Rightarrow x = 1$

Ответ: $x = 1$

г) $5 \cdot (\frac{4}{25})^x + 23 \cdot (\frac{2}{5})^x - 10 = 0$

Преобразуем уравнение:
$5 \cdot ((\frac{2}{5})^2)^x + 23 \cdot (\frac{2}{5})^x - 10 = 0$
$5 \cdot ((\frac{2}{5})^x)^2 + 23 \cdot (\frac{2}{5})^x - 10 = 0$

Пусть $y = (\frac{2}{5})^x$, тогда уравнение примет вид:
$5y^2 + 23y - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = 23^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-10) = 529 + 200 = 729$
$y_1 = \frac{-23 + \sqrt{729}}{10} = \frac{-23 + 27}{10} = \frac{2}{5}$
$y_2 = \frac{-23 - \sqrt{729}}{10} = \frac{-23 - 27}{10} = -5$

Так как $y = (\frac{2}{5})^x > 0$, то $y_2$ не подходит.
$(\frac{2}{5})^x = \frac{2}{5} = (\frac{2}{5})^1 \Rightarrow x = 1$

Ответ: $x = 1$

Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Ассистент: Привет! Давай продолжим решать уравнения.

Задание 40.26

а) $\frac{1}{3^{x+2}} = \frac{1}{3^{x+1}} + \frac{1}{3^x}$

Умножим обе части уравнения на $3^{x+2}$:
$1 = \frac{3^{x+2}}{3^{x+1}} + \frac{3^{x+2}}{3^x}$
$1 = 3 + 3^2$
$1 = 3 + 9$
$1 = 12$

Это равенство неверно, значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений

б) $\frac{5}{12^x + 143} + \frac{5}{12^{x+2}} = \frac{5}{12^{x+1}}$

Разделим обе части уравнения на 5:
$\frac{1}{12^x + 143} + \frac{1}{12^{x+2}} = \frac{1}{12^{x+1}}$
$\frac{1}{12^x + 143} = \frac{1}{12^{x+1}} - \frac{1}{12^{x+2}}$
$\frac{1}{12^x + 143} = \frac{12^{x+2} - 12^{x+1}}{12^{x+1} \cdot 12^{x+2}}$
$\frac{1}{12^x + 143} = \frac{12^{x+1}(12 - 1)}{12^{2x+3}}$
$\frac{1}{12^x + 143} = \frac{11 \cdot 12^{x+1}}{12^{2x+3}}$
$12^{2x+3} = 11 \cdot 12^{x+1} \cdot (12^x + 143)$
$12^{2x+3} = 11 \cdot 12^{2x+1} + 11 \cdot 143 \cdot 12^{x+1}$
$12^{2x+3} - 11 \cdot 12^{2x+1} = 11 \cdot 143 \cdot 12^{x+1}$
$12^{2x+1}(12^2 - 11) = 11 \cdot 143 \cdot 12^{x+1}$
$12^{2x+1}(144 - 11) = 11 \cdot 143 \cdot 12^{x+1}$
$12^{2x+1} \cdot 133 = 11 \cdot 143 \cdot 12^{x+1}$
$12^{2x+1} \cdot 7 \cdot 19 = 11 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 12^{x+1}$
$\frac{12^{2x+1}}{12^{x+1}} = \frac{11 \cdot 11 \cdot 13}{7 \cdot 19}$
$12^x = \frac{1573}{133}$
$x = \log_{12}(\frac{1573}{133})$

Ответ: $x = \log_{12}(\frac{1573}{133})$

в) $\frac{1}{11^{x+1}} - \frac{3}{11^{x+2}} = \frac{1}{11^x}$

Умножим обе части уравнения на $11^{x+2}$:
$\frac{11^{x+2}}{11^{x+1}} - \frac{3 \cdot 11^{x+2}}{11^{x+2}} = \frac{11^{x+2}}{11^x}$
$11 - 3 = 11^2$
$8 = 121$

Это равенство неверно, значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений

г) $\frac{8}{13^{x+2}} + \frac{5}{13^{x+1}} = \frac{1}{13^x}$

Умножим обе части уравнения на $13^{x+2}$:
$\frac{8 \cdot 13^{x+2}}{13^{x+2}} + \frac{5 \cdot 13^{x+2}}{13^{x+1}} = \frac{13^{x+2}}{13^x}$
$8 + 5 \cdot 13 = 13^2$
$8 + 65 = 169$
$73 = 169$

Это равенство неверно, значит, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений

Задание 40.27

а) $3 \cdot 2^{x-2} + 6^x = 2 \cdot 3^x + 6^{x-1}$

Преобразуем уравнение:
$3 \cdot \frac{2^x}{2^2} + 6^x = 2 \cdot 3^x + \frac{6^x}{6}$
$\frac{3}{4} \cdot 2^x + 6^x = 2 \cdot 3^x + \frac{1}{6} \cdot 6^x$
$\frac{3}{4} \cdot 2^x + 6^x - \frac{1}{6} \cdot 6^x = 2 \cdot 3^x$
$\frac{3}{4} \cdot 2^x + \frac{5}{6} \cdot 6^x = 2 \cdot 3^x$
$\frac{3}{4} \cdot 2^x + \frac{5}{6} \cdot 2^x \cdot 3^x = 2 \cdot 3^x$
Разделим обе части на $3^x$:
$\frac{3}{4} \cdot (\frac{2}{3})^x + \frac{5}{6} \cdot 2^x = 2$

Это уравнение сложно решить аналитически.

Ответ: Решение требует численных методов.

б) $2 \cdot 2^{x+2} - 3 \cdot 10^x = 5 \cdot 5^x - 5^{x+1}$

Преобразуем уравнение:
$2 \cdot 2^x \cdot 2^2 - 3 \cdot 10^x = 5 \cdot 5^x - 5^x \cdot 5$
$8 \cdot 2^x - 3 \cdot 10^x = 5 \cdot 5^x - 5 \cdot 5^x$
$8 \cdot 2^x - 3 \cdot 10^x = 0$
$8 \cdot 2^x = 3 \cdot 10^x$
$8 \cdot 2^x = 3 \cdot 2^x \cdot 5^x$
Разделим обе части на $2^x$:
$8 = 3 \cdot 5^x$
$5^x = \frac{8}{3}$
$x = \log_5(\frac{8}{3})$

Ответ: $x = \log_5(\frac{8}{3})$

в) $3^{x+1} + 4 \cdot 21^x = 7^{x+1} - 6 \cdot 25^x$

Преобразуем уравнение:
$3 \cdot 3^x + 4 \cdot 21^x = 7 \cdot 7^x - 6 \cdot 25^x$
$3 \cdot 3^x + 4 \cdot 3^x \cdot 7^x = 7 \cdot 7^x - 6 \cdot 5^{2x}$
$3 \cdot 3^x + 4 \cdot 3^x \cdot 7^x - 7 \cdot 7^x + 6 \cdot 5^{2x} = 0$

Это уравнение сложно решить аналитически.

Ответ: Решение требует численных методов.

Задание 40.28

а) $\begin{cases} 2^x + 2^y = 16 \ 2^{x+y} = 28 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $2^x = 16 - 2^y$. Подставим это во второе уравнение:
$2^x \cdot 2^y = 28$
$(16 - 2^y) \cdot 2^y = 28$
$16 \cdot 2^y - (2^y)^2 = 28$
$(2^y)^2 - 16 \cdot 2^y + 28 = 0$

Пусть $z = 2^y$, тогда уравнение примет вид:
$z^2 - 16z + 28 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 256 - 112 = 144$
$z_1 = \frac{16 + \sqrt{144}}{2} = \frac{16 + 12}{2} = 14$
$z_2 = \frac{16 - \sqrt{144}}{2} = \frac{16 - 12}{2} = 2$

Тогда:
$2^y = 14 \Rightarrow y = \log_2(14)$
$2^x = 16 - 14 = 2 \Rightarrow x = 1$

$2^y = 2 \Rightarrow y = 1$
$2^x = 16 - 2 = 14 \Rightarrow x = \log_2(14)$

Ответ: $(1, \log_2(14))$, $(\log_2(14), 1)$

б) $\begin{cases} 8^x - 2^y = 125 \ 4^x - 4 = 2^y \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $2^y = 4^x - 4$. Подставим это в первое уравнение:
$8^x - (4^x - 4) = 125$
$8^x - 4^x + 4 = 125$
$8^x - 4^x = 121$
$(2^3)^x - (2^2)^x = 121$
$(2^x)^3 - (2^x)^2 = 121$

Пусть $z = 2^x$, тогда уравнение примет вид:
$z^3 - z^2 = 121$
$z^3 - z^2 - 121 = 0$

Это уравнение сложно решить аналитически.

Ответ: Решение требует численных методов.

в) $\begin{cases} (0,5)^x \cdot 0,5^y = 0,5 \ 2^x \cdot 2^y = 625 \end{cases}$

Преобразуем систему:
$\begin{cases} (0,5)^{x+y} = 0,5^1 \ 2^{x+y} = 5^4 \end{cases}$
$\begin{cases} x+y = 1 \ 2^{x+y} = 5^4 \end{cases}$

Из первого уравнения $x+y = 1$. Подставим это во второе уравнение:
$2^1 = 5^4$
$2 = 625$

Это равенство неверно, значит, система не имеет решений.

Ответ: нет решений

г) $\begin{cases} 10^x \cdot 10^y = 0,6 \ 10^x \cdot 10^{-y} = 0,6 \end{cases}$

Преобразуем систему:
$\begin{cases} 10^{x+y} = 0,6 \ 10^{x-y} = 0,6 \end{cases}$

Тогда:
$x+y = \log_{10}(0,6)$
$x-y = \log_{10}(0,6)$

Сложим уравнения:
$2x = 2 \cdot \log_{10}(0,6)$
$x = \log_{10}(0,6)$

Вычтем уравнения:
$2y = 0$
$y = 0$

Ответ: $(\log_{10}(0,6), 0)$

Задание 40.29

а) $\begin{cases} (\sqrt{3})^x + (\sqrt{3})^y = \sqrt{27} \ (0,1)^{-x} \cdot 10^{-y} = 10 \end{cases}$

Преобразуем систему:
$\begin{cases} (\sqrt{3})^x + (\sqrt{3})^y = 3^{\frac{3}{2}} \ 10^x \cdot 10^{-y} = 10^1 \end{cases}$
$\begin{cases} (\sqrt{3})^x + (\sqrt{3})^y = 3\sqrt{3} \ 10^{x-y} = 10 \end{cases}$
$\begin{cases} (\sqrt{3})^x + (\sqrt{3})^y = 3\sqrt{3} \ x-y = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения $x = y+1$. Подставим это в первое уравнение:
$(\sqrt{3})^{y+1} + (\sqrt{3})^y = 3\sqrt{3}$
$(\sqrt{3})^y \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^y = 3\sqrt{3}$
$(\sqrt{3})^y (\sqrt{3} + 1) = 3\sqrt{3}$
$(\sqrt{3})^y = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$
$(\sqrt{3})^y = \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}$
$(\sqrt{3})^y = \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1}$
$(\sqrt{3})^y = \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{2}$
$(\sqrt{3})^y = \frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}$
$3^{\frac{y}{2}} = \frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}$
$\frac{y}{2} = \log_3(\frac{9 - 3\sqrt{3}}{2})$
$y = 2 \cdot \log_3(\frac{9 - 3\sqrt{3}}{2})$
$x = y + 1 = 2 \cdot \log_3(\frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}) + 1$

Ответ: $(2 \cdot \log_3(\frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}) + 1, 2 \cdot \log_3(\frac{9 - 3\sqrt{3}}{2}))$

б) $\begin{cases} (\sqrt[5]{5})^x = \sqrt{5} \ (\frac{1}{5})^x \cdot 4^2 = 2 \end{cases}$

Преобразуем систему:
$\begin{cases} 5^{\frac{x}{5}} = 5^{\frac{1}{2}} \ 5^{-x} \cdot 16 = 2 \end{cases}$
$\begin{cases} \frac{x}{5} = \frac{1}{2} \ 5^{-x} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \end{cases}$
$\begin{cases} x = \frac{5}{2} \ 5^{-x} = \frac{1}{8} \end{cases}$
$\begin{cases} x = 2.5 \ -x = \log_5(\frac{1}{8}) \end{cases}$
$\begin{cases} x = 2.5 \ x = -\log_5(\frac{1}{8}) = \log_5(8) \end{cases}$

Так как $x$ должен удовлетворять обоим уравнениям, а $2.5 \neq \log_5(8)$, то система не имеет решений.

Ответ: нет решений

в) $\begin{cases} (\frac{1}{5})^x = 125 \ (\frac{1}{5})^y = 125 \end{cases}$

Преобразуем систему:
$\begin{cases} 5^{-x} = 5^3 \ 5^{-y} = 5^3 \end{cases}$
$\begin{cases} -x = 3 \ -y = 3 \end{cases}$
$\begin{cases} x = -3 \ y = -3 \end{cases}$

Ответ: $(-3, -3)$

г) $\begin{cases} 27^{\frac{x}{y}} = 9 \ (\frac{1}{3})^y = \frac{1}{27} \end{cases}$

Преобразуем систему:
$\begin{cases} (3^3)^{\frac{x}{y}} = 3^2 \ 3^{-y} = 3^{-3} \end{cases}$
$\begin{cases} 3^{\frac{3x}{y}} = 3^2 \ -y = -3 \end{cases}$
$\begin{cases} \frac{3x}{y} = 2 \ y = 3 \end{cases}$

Подставим $y = 3$ в первое уравнение:
$\frac{3x}{3} = 2$
$x = 2$

Ответ: $(2, 3)$

Задание 40.30

а) $2^x > 4$

Преобразуем неравенство:
$2^x > 2^2$
$x > 2$

Ответ: $x > 2$

б) $2^x < 8$

Преобразуем неравенство:
$2^x < 2^3$
$x < 3$

Ответ: $x < 3$

в) $2^x > \frac{1}{16}$

Преобразуем неравенство:
$2^x > 2^{-4}$
$x > -4$

Ответ: $x > -4$

г) $2^x < \frac{1}{32}$

Преобразуем неравенство:
$2^x < 2^{-5}$
$x < -5$

Ответ: $x < -5$

д) $5^x > 25$

Преобразуем неравенство:
$5^x > 5^2$
$x > 2$

Ответ: $x > 2$

е) $5^x > 125$

Преобразуем неравенство:
$5^x > 5^3$
$x > 3$

Ответ: $x > 3$

ж) $5^x > \frac{1}{5}$

Преобразуем неравенство:
$5^x > 5^{-1}$
$x > -1$

Ответ: $x > -1$

з) $5^x > 625$

Преобразуем неравенство:
$5^x > 5^4$
$x > 4$

Ответ: $x > 4$

Задание 40.31

а) $3^x < 81$

Преобразуем неравенство:
$3^x < 3^4$
$x < 4$

Ответ: $x < 4$

б) $(\frac{1}{3})^x < \frac{1}{27}$

Преобразуем неравенство:
$(\frac{1}{3})^x < (\frac{1}{3})^3$
$x > 3$

Ответ: $x > 3$

в) $(\frac{1}{2})^x > 0,03$

Преобразуем неравенство:
$(\frac{1}{2})^x > \frac{3}{100}$
$2^{-x} > \frac{3}{100}$
$-x > \log_2(\frac{3}{100})$
$x < -\log_2(\frac{3}{100})$
$x < \log_2(\frac{100}{3})$

Ответ: $x < \log_2(\frac{100}{3})$

г) $(0,2)^x > 0,03$

Преобразуем неравенство:
$(\frac{1}{5})^x > \frac{3}{100}$
$5^{-x} > \frac{3}{100}$
$-x > \log_5(\frac{3}{100})$
$x < -\log_5(\frac{3}{100})$
$x < \log_5(\frac{100}{3})$

Ответ: $x < \log_5(\frac{100}{3})$

Ассистент: Отлично, продолжим решать задания!

Задание 40.17

а) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$

Преобразуем уравнение:
$2 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$
$2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$

Пусть $y = 2^x$, тогда уравнение примет вид:
$2y^2 - 5y - 88 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-88) = 25 + 704 = 729$
$y_1 = \frac{5 + \sqrt{729}}{4} = \frac{5 + 27}{4} = \frac{32}{4} = 8$
$y_2 = \frac{5 - \sqrt{729}}{4} = \frac{5 - 27}{4} = \frac{-22}{4} = -5.5$

Так как $y = 2^x > 0$, то $y_2$ не подходит.
$2^x = 8 = 2^3 \Rightarrow x = 3$

Ответ: $x = 3$

б) $(\frac{1}{3})^{2x} - 4 \cdot (\frac{1}{3})^x - 32 = 0$

Пусть $y = (\frac{1}{3})^x$, тогда уравнение примет вид:
$y^2 - 4y - 32 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$
$y_1 = \frac{4 + \sqrt{144}}{2} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$y_2 = \frac{4 - \sqrt{144}}{2} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Так как $y = (\frac{1}{3})^x > 0$, то $y_2$ не подходит.
$(\frac{1}{3})^x = 8$
$3^{-x} = 8$
$-x = \log_3(8)$
$x = -\log_3(8)$

Ответ: $x = -\log_3(8)$

в) $5^{2x+1} - 26 \cdot 5^x + 5 = 0$

Преобразуем уравнение:
$5 \cdot 5^{2x} - 26 \cdot 5^x + 5 = 0$
$5 \cdot (5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 5 = 0$

Пусть $y = 5^x$, тогда уравнение примет вид:
$5y^2 - 26y + 5 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576$
$y_1 = \frac{26 + \sqrt{576}}{10} = \frac{26 + 24}{10} = \frac{50}{10} = 5$
$y_2 = \frac{26 - \sqrt{576}}{10} = \frac{26 - 24}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Тогда:
$5^x = 5 = 5^1 \Rightarrow x = 1$
$5^x = \frac{1}{5} = 5^{-1} \Rightarrow x = -1$

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$

г) $(\frac{1}{4})^{2x} + 3 \cdot (\frac{1}{4})^x - 162 = 0$

Пусть $y = (\frac{1}{4})^x$, тогда уравнение примет вид:
$y^2 + 3y - 162 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 9 + 648 = 657$
$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{657}}{2}$
$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{657}}{2}$

Так как $y = (\frac{1}{4})^x > 0$, то $y_2$ не подходит.
$(\frac{1}{4})^x = \frac{-3 + \sqrt{657}}{2}$
$4^{-x} = \frac{-3 + \sqrt{657}}{2}$
$-x = \log_4(\frac{-3 + \sqrt{657}}{2})$
$x = -\log_4(\frac{-3 + \sqrt{657}}{2})$

Ответ: $x = -\log_4(\frac{-3 + \sqrt{657}}{2})$

Задание 40.18

а) $3 \cdot \sqrt{16^{x+1}} - 188 = 8 \cdot 2^{0,5x}$

Преобразуем уравнение:
$3 \cdot \sqrt{(2^4)^{x+1}} - 188 = 8 \cdot 2^{\frac{x}{2}}$
$3 \cdot \sqrt{2^{4x+4}} - 188 = 8 \cdot 2^{\frac{x}{2}}$
$3 \cdot 2^{2x+2} - 188 = 8 \cdot 2^{\frac{x}{2}}$
$3 \cdot 2^2 \cdot 2^{2x} - 188 = 8 \cdot 2^{\frac{x}{2}}$
$12 \cdot (2^x)^2 - 188 = 8 \cdot 2^{\frac{x}{2}}$

Пусть $y = 2^{\frac{x}{2}}$, тогда $y^2 = 2^x$ и $y^4 = (2^x)^2$. Уравнение примет вид:
$12y^4 - 8y - 188 = 0$
$3y^4 - 2y - 47 = 0$

Это уравнение сложно решить аналитически.

Ответ: Решение требует численных методов.

б) $\sqrt{16^{x+1}} - 188 = 8 \cdot 2^{0,5x}$

Преобразуем уравнение:
$\sqrt{(2^4)^{x+1}} - 188 = 8 \cdot 2^{\frac{x}{2}}$
$\sqrt{2^{4x+4}} - 188 = 8 \cdot 2^{\frac{x}{2}}$
$2^{2x+2} - 188 = 8 \cdot 2^{\frac{x}{2}}$
$2^2 \cdot 2^{2x} - 188 = 8 \cdot 2^{\frac{x}{2}}$
$4 \cdot (2^x)^2 - 188 = 8 \cdot 2^{\frac{x}{2}}$

Пусть $y = 2^{\frac{x}{2}}$, тогда $y^2 = 2^x$ и $y^4 = (2^x)^2$. Уравнение примет вид:
$4y^4 - 8y - 188 = 0$
$y^4 - 2y - 47 = 0$

Это уравнение сложно решить аналитически.

Ответ: Решение требует численных методов.

Задание 40.19

а) $(\frac{1}{3})^x = 8^x$

Преобразуем уравнение:
$3^{-x} = (2^3)^x$
$3^{-x} = 2^{3x}$
$1 = 3^x \cdot 2^{3x}$
$1 = 3^x \cdot 8^x$
$1 = (3 \cdot 8)^x$
$1 = 24^x$
$24^x = 1$
$x = 0$

Ответ: $x = 0$

б) $(\frac{1}{4})^x = (\frac{1}{8})^x$

Преобразуем уравнение:
$4^{-x} = 8^{-x}$
$(2^2)^{-x} = (2^3)^{-x}$
$2^{-2x} = 2^{-3x}$
$-2x = -3x$
$x = 0$

Ответ: $x = 0$

в) $(\frac{1}{4})^x = 8^x$

Преобразуем уравнение:
$4^{-x} = 8^x$
$(2^2)^{-x} = (2^3)^x$
$2^{-2x} = 2^{3x}$
$-2x = 3x$
$5x = 0$
$x = 0$

Ответ: $x = 0$

г) $(\frac{1}{4})^x = (\frac{1}{8})^x$

Преобразуем уравнение:
$4^{-x} = 8^{-x}$
$(2^2)^{-x} = (2^3)^{-x}$
$2^{-2x} = 2^{-3x}$
$-2x = -3x$
$x = 0$

Ответ: $x = 0$

Задание 40.20

а) $3 \cdot 7^{x-2} = 49 \cdot 4^x$

Преобразуем уравнение:
$3 \cdot \frac{7^x}{7^2} = 7^2 \cdot 4^x$
$3 \cdot 7^x = 7^4 \cdot 4^x$
$\frac{7^x}{4^x} = \frac{7^4}{3}$
$(\frac{7}{4})^x = \frac{2401}{3}$
$x = \log_{\frac{7}{4}}(\frac{2401}{3})$

Ответ: $x = \log_{\frac{7}{4}}(\frac{2401}{3})$

б) $6 \cdot 2^{x+1} = 256 \cdot 9^x$

Преобразуем уравнение:
$6 \cdot 2 \cdot 2^x = 2^8 \cdot 3^{2x}$
$12 \cdot 2^x = 2^8 \cdot 3^{2x}$
$2^2 \cdot 3 \cdot 2^x = 2^8 \cdot 3^{2x}$
$2^{x+2} \cdot 3 = 2^8 \cdot 3^{2x}$
$\frac{2^{x+2}}{2^8} = \frac{3^{2x}}{3}$
$2^{x-6} = 3^{2x-1}$
$\log_2(2^{x-6}) = \log_2(3^{2x-1})$
$x - 6 = (2x - 1) \log_2(3)$
$x - 6 = 2x \log_2(3) - \log_2(3)$
$x - 2x \log_2(3) = 6 - \log_2(3)$
$x(1 - 2 \log_2(3)) = 6 - \log_2(3)$
$x = \frac{6 - \log_2(3)}{1 - 2 \log_2(3)}$

Ответ: $x = \frac{6 - \log_2(3)}{1 - 2 \log_2(3)}$

Задание 40.21

а) $6^{2x+4} = 2^x \cdot 3^{3x+2}$

Преобразуем уравнение:
$(2 \cdot 3)^{2x+4} = 2^x \cdot 3^{3x+2}$
$2^{2x+4} \cdot 3^{2x+4} = 2^x \cdot 3^{3x+2}$
$\frac{2^{2x+4}}{2^x} = \frac{3^{3x+2}}{3^{2x+4}}$
$2^{x+4} = 3^{x-2}$
$\log_2(2^{x+4}) = \log_2(3^{x-2})$
$x+4 = (x-2) \log_2(3)$
$x+4 = x \log_2(3) - 2 \log_2(3)$
$x - x \log_2(3) = -4 - 2 \log_2(3)$
$x(1 - \log_2(3)) = -4 - 2 \log_2(3)$
$x = \frac{-4 - 2 \log_2(3)}{1 - \log_2(3)}$

Ответ: $x = \frac{-4 - 2 \log_2(3)}{1 - \log_2(3)}$

б) $35^{2x-2} = 5^{x+1} \cdot 7^{3x-1}$

Преобразуем уравнение:
$(5 \cdot 7)^{2x-2} = 5^{x+1} \cdot 7^{3x-1}$
$5^{2x-2} \cdot 7^{2x-2} = 5^{x+1} \cdot 7^{3x-1}$
$\frac{5^{2x-2}}{5^{x+1}} = \frac{7^{3x-1}}{7^{2x-2}}$
$5^{x-3} = 7^{x+1}$
$\log_5(5^{x-3}) = \log_5(7^{x+1})$
$x-3 = (x+1) \log_5(7)$
$x-3 = x \log_5(7) + \log_5(7)$
$x - x \log_5(7) = 3 + \log_5(7)$
$x(1 - \log_5(7)) = 3 + \log_5(7)$
$x = \frac{3 + \log_5(7)}{1 - \log_5(7)}$

Ответ: $x = \frac{3 + \log_5(7)}{1 - \log_5(7)}$

Задание 40.22

а) $2^{x-2} \cdot 5^{x+1} = 6,25 \cdot 2^{2x-1}$

Преобразуем уравнение:
$2^{x-2} \cdot 5^{x+1} = \frac{625}{100} \cdot 2^{2x-1}$
$2^{x-2} \cdot 5^{x+1} = \frac{25}{4} \cdot 2^{2x-1}$
$2^{x-2} \cdot 5^{x+1} = 5^2 \cdot 2^{-2} \cdot 2^{2x-1}$
$2^{x-2} \cdot 5^{x+1} = 5^2 \cdot 2^{2x-3}$
$\frac{5^{x+1}}{5^2} = \frac{2^{2x-3}}{2^{x-2}}$
$5^{x-1} = 2^{x-1}$
$(\frac{5}{2})^{x-1} = 1$
$x-1 = 0$
$x = 1$

Ответ: $x = 1$

б) $3^{x-1} \cdot 7^{x+1} = 3^{2x+1} \cdot 7^{3x-1}$

Преобразуем уравнение:
$\frac{3^{x-1}}{3^{2x+1}} = \frac{7^{3x-1}}{7^{x+1}}$
$3^{-x-2} = 7^{2x-2}$
$3^{-(x+2)} = 7^{2(x-1)}$
$\log_3(3^{-(x+2)}) = \log_3(7^{2(x-1)})$
$-(x+2) = 2(x-1) \log_3(7)$
$-x - 2 = 2x \log_3(7) - 2 \log_3(7)$
$-x - 2x \log_3(7) = 2 - 2 \log_3(7)$
$x(-1 - 2 \log_3(7)) = 2 - 2 \log_3(7)$
$x = \frac{2 - 2 \log_3(7)}{-1 - 2 \log_3(7)}$
$x = \frac{2 \log_3(7) - 2}{2 \log_3(7) + 1}$

Ответ: $x = \frac{2 \log_3(7) - 2}{2 \log_3(7) + 1}$

Задание 40.23

а) $3^x = -x - \frac{2}{3}$

Это уравнение сложно решить аналитически.

Ответ: Решение требует численных методов.

б) $(\frac{1}{2})^x = 4x + 6$

Это уравнение сложно решить аналитически.

Ответ: Решение требует численных методов.

в) $(\frac{1}{4})^x = 3x + 1$

Это уравнение сложно решить аналитически.

Ответ: Решение требует численных методов.

г) $(\frac{1}{3})^x = 3x + 1$

Это уравнение сложно решить аналитически.

Ответ: Решение требует численных методов.

Задание 40.24

а) $3^x = 0,5x + 5$

Это уравнение сложно решить аналитически.

Ответ: Решение требует численных методов.

б) $3^x = -x + 4$

Это уравнение сложно решить аналитически.

Ответ: Решение требует численных методов.

в) $(\frac{1}{2})^x = 2x + 9$

Это уравнение сложно решить аналитически.

Ответ: Решение требует численных методов.

г) $3^x = -0,5x + 4$

Это уравнение сложно решить аналитически.

Ответ: Решение требует численных методов.

Задание 40.25

а) $15^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Преобразуем уравнение:
$3^x \cdot 5^x - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$
$3^x(5^x - 8) = 9$

Это уравнение сложно решить аналитически.

Ответ: Решение требует численных методов.

б) $12^x - 4 \cdot 3^x - 3 = 0$

Преобразуем уравнение:
$4^x \cdot 3^x - 4 \cdot 3^x - 3 = 0$
$3^x(4^x - 4) = 3$

Это уравнение сложно решить аналитически.

Ответ: Решение требует численных методов.