Задание 1

✏️ Решим уравнение:

[
\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} = 0
]

1. Базовые знания

• (x^2-1 = (x-1)(x+1))
• Приведение к общему знаменателю
• Решение рациональных уравнений

2. Приведём к общему знаменателю

Общий знаменатель: ((x-1)(x+1))

Перепишем каждую дробь:
- (\frac{x}{x-1} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)})
- (\frac{1}{x-1} = \frac{1\cdot(x+1)}{(x-1)(x+1)})
- (\frac{2}{x^2-1} = \frac{2}{(x-1)(x+1)})

3. Запишем уравнение с общим знаменателем

[
\frac{x(x+1) - (x+1) - 2}{(x-1)(x+1)} = 0
]

4. Упростим числитель

[
x(x+1) - (x+1) - 2 = x^2 + x - x - 1 - 2 = x^2 - 3
]

5. Получаем

[
\frac{x^2 - 3}{(x-1)(x+1)} = 0
]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
[
x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}
]

6. Проверим ОДЗ (область допустимых значений)

• (x \neq 1)
• (x \neq -1)

Наши корни (\sqrt{3}) и (-\sqrt{3}) не равны 1 и -1, значит подходят.

7. Ответ

[
\boxed{x = \sqrt{3};\quad x = -\sqrt{3}}
]

⚡️ Аналогичный пример

Решите: (\frac{x}{x-2} - \frac{2}{x-2} - \frac{3}{x^2-4} = 0)

💡 Ключевые моменты

• Всегда проверяйте ОДЗ!
• Не забывайте раскрывать скобки аккуратно.
• Приводите к общему знаменателю.

✅ Проверка

Подставим (x=\sqrt{3}):
[
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} - \frac{1}{\sqrt{3}-1} - \frac{2}{3-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} - 1 = 1 - 1 = 0
]

Совет:
Если дроби с разными знаменателями — всегда ищите общий знаменатель!

Задание 1

✏️ Решим уравнение:

[
\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} = 0
]

1. Базовые знания

• (x^2-1 = (x-1)(x+1))
• Приведение к общему знаменателю
• Решение рациональных уравнений

2. Приведём к общему знаменателю

Общий знаменатель: ((x-1)(x+1))

Перепишем каждую дробь:
- (\frac{x}{x-1} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)})
- (\frac{1}{x-1} = \frac{1\cdot(x+1)}{(x-1)(x+1)})
- (\frac{2}{x^2-1} = \frac{2}{(x-1)(x+1)})

3. Запишем уравнение с общим знаменателем

[
\frac{x(x+1) - (x+1) - 2}{(x-1)(x+1)} = 0
]

4. Упростим числитель

[
x(x+1) - (x+1) - 2 = x^2 + x - x - 1 - 2 = x^2 - 3
]

5. Получаем

[
\frac{x^2 - 3}{(x-1)(x+1)} = 0
]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
[
x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}
]

6. Проверим ОДЗ (область допустимых значений)

• (x \neq 1)
• (x \neq -1)

Наши корни (\sqrt{3}) и (-\sqrt{3}) не равны 1 и -1, значит подходят.

7. Ответ

[
\boxed{x = \sqrt{3};\quad x = -\sqrt{3}}
]

⚡️ Аналогичный пример

Решите: (\frac{x}{x-2} - \frac{2}{x-2} - \frac{3}{x^2-4} = 0)

💡 Ключевые моменты

• Всегда проверяйте ОДЗ!
• Не забывайте раскрывать скобки аккуратно.
• Приводите к общему знаменателю.

✅ Проверка

Подставим (x=\sqrt{3}):
[
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} - \frac{1}{\sqrt{3}-1} - \frac{2}{3-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} - 1 = 1 - 1 = 0
]

Совет:
Если дроби с разными знаменателями — всегда ищите общий знаменатель!

Задание 1

🔍 Подробное решение уравнения:
[
\frac{x}{x-1} - \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} = 0
]

1. Анализ уравнения и ОДЗ

Рациональное уравнение — это уравнение, в котором переменная находится в знаменателе. Важно помнить, что знаменатель не должен обращаться в ноль!

• (x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1)
• (x^2-1 = (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1,\ x \neq -1)

ОДЗ: (x \neq 1,\ x \neq -1)

2. Приведение к общему знаменателю

Чтобы сложить или вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю. В нашем случае общий знаменатель — ((x-1)(x+1)).

• (\frac{x}{x-1} = \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)})
• (\frac{1}{x-1} = \frac{1\cdot(x+1)}{(x-1)(x+1)})
• (\frac{2}{x^2-1} = \frac{2}{(x-1)(x+1)})

Правило:

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, домножьте числитель и знаменатель на недостающий множитель.

3. Объединяем дроби

Теперь все дроби имеют одинаковый знаменатель, можно объединить их:
[
\frac{x(x+1) - (x+1) - 2}{(x-1)(x+1)} = 0
]

4. Упрощаем числитель

Раскроем скобки и упростим выражение:
- (x(x+1) = x^2 + x)
- (x^2 + x - (x+1) - 2 = x^2 + x - x - 1 - 2 = x^2 - 3)

Итак, уравнение становится:
[
\frac{x^2 - 3}{(x-1)(x+1)} = 0
]

5. Решаем уравнение

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю):
[
x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}
]

6. Проверка корней и ОДЗ

• (x = \sqrt{3} \approx 1.732)
• (x = -\sqrt{3} \approx -1.732)

Оба значения не равны 1 и -1, значит, подходят.

Проверим подстановкой:

Для (x = \sqrt{3}):
[
\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} - \frac{1}{\sqrt{3}-1} - \frac{2}{(\sqrt{3})^2-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} - \frac{2}{2} = 1 - 1 = 0
]

7. Итоговый ответ

[
\boxed{x = \sqrt{3};\quad x = -\sqrt{3}}
]

📚 Использованные правила и формулы

• Приведение дробей к общему знаменателю
• Раскрытие скобок и упрощение выражений
• Решение квадратных уравнений
• Проверка ОДЗ

⚡️ Аналогичный пример

Решите: (\frac{x}{x-2} - \frac{2}{x-2} - \frac{3}{x^2-4} = 0)

💡 Советы и типичные ошибки

• Не забывайте про ОДЗ!
• Внимательно раскрывайте скобки и следите за знаками.
• После нахождения корней всегда подставляйте их обратно для проверки.