Замена переменной:
Пусть $t = \sqrt[4]{x+3}$. Тогда $t^2 = \sqrt{x+3}$. Уравнение примет вид:
$t + 20 = t^2$

Решение квадратного уравнения:
Перенесем все в одну сторону и получим квадратное уравнение:
$t^2 - t - 20 = 0$
Решим через дискриминант:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$
$t_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = 5$
$t_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = -4$

Обратная замена:

• Случай 1: $t = 5$
  $\sqrt[4]{x+3} = 5$
  Возведем обе части в четвертую степень:
  $x + 3 = 5^4 = 625$
  $x = 625 - 3 = 622$

• Случай 2: $t = -4$
  $\sqrt[4]{x+3} = -4$
  Так как арифметический корень четной степени не может быть отрицательным, этот случай не имеет решений.

Проверка:
Подставим $x = 622$ в исходное уравнение:
$\sqrt[4]{622+3} + 20 = \sqrt{622+3}$
$\sqrt[4]{625} + 20 = \sqrt{625}$
$5 + 20 = 25$
$25 = 25$ - верно.

Найдем значение арктангенса:
Нам нужно найти такой угол $\alpha$, чтобы $\text{tg}(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Мы знаем, что $\text{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Таким образом, $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.

Вычислим синус:
Теперь нужно найти $\sin(-\frac{\pi}{6})$.
Так как $\sin(-x) = -\sin(x)$, то $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.
Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Финальный ответ:
Значит, $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Область определения (ОДЗ):
Аргументы логарифмов должны быть положительными:

• $x^2 - 3x > 0 \Rightarrow x(x-3) > 0 \Rightarrow x < 0 \text{ или } x > 3$
• $2x - 4 > 0 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2$
  Пересечение этих условий: $x > 3$ (т.е. $x \in (3; +\infty)$)

Решение неравенства:
Так как основание логарифма $0.5$ меньше 1, логарифмическая функция убывает.
Значит, при переходе от логарифмов к аргументам знак неравенства меняется:
$x^2 - 3x \leq 2x - 4$
$x^2 - 5x + 4 \leq 0$

Решение квадратного неравенства:
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$
$x_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$
$x_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$
Решением неравенства $x^2 - 5x + 4 \leq 0$ является отрезок $x \in [1; 4]$.

Учет ОДЗ:
Необходимо учесть область определения $x \in (3; +\infty)$.
Пересечение отрезка $[1; 4]$ и интервала $(3; +\infty)$ дает интервал $(3; 4]$.