Обратная матрица методом Гаусса: пошаговое решение

Задание 1

Вычислим определитель матрицы:

$\Delta = \begin{vmatrix} 8 & 1 & -3 & 5 \ 4 & 0 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 4 & 3 \ 7 & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

Для вычисления определителя матрицы 4x4 можно использовать разложение по строке или столбцу. Выберем разложение по первому столбцу, так как там есть ноль, что упростит вычисления:

$\Delta = 8 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \ 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \ 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \ 0 & 2 & 1 \ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} - 7 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \ 0 & 2 & 1 \ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

Теперь вычислим определители 3x3:

$\begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \ 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0(4 \cdot 0 - 3 \cdot 1) - 2(1 \cdot 0 - 3 \cdot 2) + 1(1 \cdot 1 - 4 \cdot 2) = 0 - 2(-6) + 1(-7) = 12 - 7 = 5$

$\begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \ 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(4 \cdot 0 - 3 \cdot 1) - (-3)(1 \cdot 0 - 3 \cdot 2) + 5(1 \cdot 1 - 4 \cdot 2) = 1(-3) + 3(-6) + 5(-7) = -3 - 18 - 35 = -56$

$\begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \ 0 & 2 & 1 \ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 1(2 \cdot 3 - 1 \cdot 4) - (-3)(0 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + 5(0 \cdot 4 - 2 \cdot 1) = 1(6 - 4) + 3(-1) + 5(-2) = 2 - 3 - 10 = -11$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\Delta = 8 \cdot 5 - 4 \cdot (-56) + 0 - 7 \cdot (-11) = 40 + 224 + 77 = 341$

Ответ: $\Delta = 341$

Я вижу два задания: вычисление определителя матрицы 4x4 и нахождение обратной матрицы 3x3 методом Гаусса. Начну с первого задания.

Задание 1

Вычисление определителя матрицы:

$\Delta = \begin{vmatrix} 8 & 1 & -3 & 5 \ 4 & 0 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 4 & 3 \ 7 & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

Для вычисления определителя матрицы 4x4 можно использовать разложение по строке или столбцу. Выберем разложение по первому столбцу, так как там есть ноль, что упростит вычисления:

$\Delta = 8 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \ 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \ 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \ 0 & 2 & 1 \ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} - 7 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \ 0 & 2 & 1 \ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

Теперь вычислим определители 3x3:

$\begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \ 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0(4 \cdot 0 - 3 \cdot 1) - 2(1 \cdot 0 - 3 \cdot 2) + 1(1 \cdot 1 - 4 \cdot 2) = 0 - 2(-6) + 1(-7) = 12 - 7 = 5$

$\begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \ 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(4 \cdot 0 - 3 \cdot 1) - (-3)(1 \cdot 0 - 3 \cdot 2) + 5(1 \cdot 1 - 4 \cdot 2) = 1(-3) + 3(-6) + 5(-7) = -3 - 18 - 35 = -56$

$\begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \ 0 & 2 & 1 \ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 1(2 \cdot 3 - 1 \cdot 4) - (-3)(0 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + 5(0 \cdot 4 - 2 \cdot 1) = 1(6 - 4) + 3(-1) + 5(-2) = 2 - 3 - 10 = -11$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\Delta = 8 \cdot 5 - 4 \cdot (-56) + 0 - 7 \cdot (-11) = 40 + 224 + 77 = 341$

Ответ: $\Delta = 341$

Задание 2

Найдём обратную матрицу $A$ методом Гаусса:

$A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 \ 2 & 1 & 1 \ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1. Запишем расширенную матрицу, добавив справа единичную матрицу:

$\begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \ 2 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \ -1 & 1 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. Преобразуем матрицу к ступенчатому виду. Сначала поменяем местами первую и третью строки, чтобы -1 было в верхнем левом углу:

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \ 2 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \ 3 & 4 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. Умножим первую строку на -1:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 0 & 0 & -1 \ 2 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \ 3 & 4 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

4. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2, а из третьей строки первую, умноженную на 3:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 0 & 0 & -1 \ 0 & 3 & 5 & | & 0 & 1 & 2 \ 0 & 7 & 7 & | & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

5. Разделим вторую строку на 3:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & \frac{5}{3} & | & 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \ 0 & 7 & 7 & | & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

6. Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 7:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & \frac{5}{3} & | & 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \ 0 & 0 & -\frac{14}{3} & | & 1 & -\frac{7}{3} & -\frac{5}{3} \end{pmatrix}$

7. Умножим третью строку на $-\frac{3}{14}$:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & \frac{5}{3} & | & 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \ 0 & 0 & 1 & | & -\frac{3}{14} & \frac{1}{2} & \frac{5}{14} \end{pmatrix}$

8. Теперь преобразуем матрицу к единичной. Прибавим к первой строке вторую:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{3} & | & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \ 0 & 1 & \frac{5}{3} & | & 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \ 0 & 0 & 1 & | & -\frac{3}{14} & \frac{1}{2} & \frac{5}{14} \end{pmatrix}$

9. Прибавим к первой строке третью, умноженную на $\frac{1}{3}$, и вычтем из второй строки третью, умноженную на $\frac{5}{3}$:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{1}{14} & \frac{1}{2} & -\frac{3}{14} \ 0 & 1 & 0 & | & \frac{5}{14} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{14} \ 0 & 0 & 1 & | & -\frac{3}{14} & \frac{1}{2} & \frac{5}{14} \end{pmatrix}$

Таким образом, обратная матрица $A^{-1}$ равна:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{14} & \frac{1}{2} & -\frac{3}{14} \ \frac{5}{14} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{14} \ -\frac{3}{14} & \frac{1}{2} & \frac{5}{14} \end{pmatrix}$

Или, умножив каждую компоненту на 14, получим:

$A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} -1 & 7 & -3 \ 5 & -7 & -1 \ -3 & 7 & 5 \end{pmatrix}$

Ответ: $A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} -1 & 7 & -3 \ 5 & -7 & -1 \ -3 & 7 & 5 \end{pmatrix}$

Я вижу два задания на фото: вычисление определителя матрицы 4x4 и нахождение обратной матрицы 3x3 методом Гаусса. Начну с первого задания.

Задание 1

Вычисление определителя матрицы:

$\Delta = \begin{vmatrix} 8 & 1 & -3 & 5 \ 4 & 0 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 4 & 3 \ 7 & 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

Для вычисления определителя матрицы 4x4 можно использовать разложение по строке или столбцу. Выберем разложение по первому столбцу, так как там есть ноль, что упростит вычисления:

$\Delta = 8 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \ 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \ 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \ 0 & 2 & 1 \ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} - 7 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \ 0 & 2 & 1 \ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix}$

Теперь вычислим определители 3x3:

$\begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \ 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0(4 \cdot 0 - 3 \cdot 1) - 2(1 \cdot 0 - 3 \cdot 2) + 1(1 \cdot 1 - 4 \cdot 2) = 0 - 2(-6) + 1(-7) = 12 - 7 = 5$

$\begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \ 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(4 \cdot 0 - 3 \cdot 1) - (-3)(1 \cdot 0 - 3 \cdot 2) + 5(1 \cdot 1 - 4 \cdot 2) = 1(-3) + 3(-6) + 5(-7) = -3 - 18 - 35 = -56$

$\begin{vmatrix} 1 & -3 & 5 \ 0 & 2 & 1 \ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 1(2 \cdot 3 - 1 \cdot 4) - (-3)(0 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + 5(0 \cdot 4 - 2 \cdot 1) = 1(6 - 4) + 3(-1) + 5(-2) = 2 - 3 - 10 = -11$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\Delta = 8 \cdot 5 - 4 \cdot (-56) + 0 - 7 \cdot (-11) = 40 + 224 + 77 = 341$

Ответ: $\Delta = 341$

Задание 1

Найдём обратную матрицу $A$ методом Гаусса:

$A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 \ 2 & 1 & 1 \ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

1. Запишем расширенную матрицу, добавив справа единичную матрицу:

$\begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \ 2 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \ -1 & 1 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. Преобразуем матрицу к ступенчатому виду. Сначала поменяем местами первую и третью строки, чтобы -1 было в верхнем левом углу:

$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \ 2 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \ 3 & 4 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. Умножим первую строку на -1:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 0 & 0 & -1 \ 2 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \ 3 & 4 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

4. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 2, а из третьей строки первую, умноженную на 3:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 0 & 0 & -1 \ 0 & 3 & 5 & | & 0 & 1 & 2 \ 0 & 7 & 7 & | & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

5. Разделим вторую строку на 3:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & \frac{5}{3} & | & 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \ 0 & 7 & 7 & | & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

6. Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на 7:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & \frac{5}{3} & | & 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \ 0 & 0 & -\frac{14}{3} & | & 1 & -\frac{7}{3} & -\frac{5}{3} \end{pmatrix}$

7. Умножим третью строку на $-\frac{3}{14}$:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & | & 0 & 0 & -1 \ 0 & 1 & \frac{5}{3} & | & 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \ 0 & 0 & 1 & | & -\frac{3}{14} & \frac{1}{2} & \frac{5}{14} \end{pmatrix}$

8. Теперь преобразуем матрицу к единичной. Прибавим к первой строке вторую:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{3} & | & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \ 0 & 1 & \frac{5}{3} & | & 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \ 0 & 0 & 1 & | & -\frac{3}{14} & \frac{1}{2} & \frac{5}{14} \end{pmatrix}$

9. Прибавим к первой строке третью, умноженную на $\frac{1}{3}$, и вычтем из второй строки третью, умноженную на $\frac{5}{3}$:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{1}{14} & \frac{1}{2} & -\frac{3}{14} \ 0 & 1 & 0 & | & \frac{5}{14} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{14} \ 0 & 0 & 1 & | & -\frac{3}{14} & \frac{1}{2} & \frac{5}{14} \end{pmatrix}$

Таким образом, обратная матрица $A^{-1}$ равна:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{14} & \frac{1}{2} & -\frac{3}{14} \ \frac{5}{14} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{14} \ -\frac{3}{14} & \frac{1}{2} & \frac{5}{14} \end{pmatrix}$

Или, умножив каждую компоненту на 14, получим:

$A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} -1 & 7 & -3 \ 5 & -7 & -1 \ -3 & 7 & 5 \end{pmatrix}$

Ответ: $A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} -1 & 7 & -3 \ 5 & -7 & -1 \ -3 & 7 & 5 \end{pmatrix}$

Задание 1

Найдём обратную матрицу $A$ методом Гаусса:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 1 & 3 & 2 \ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

1. Запишем расширенную матрицу, добавив справа единичную матрицу:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \ 1 & 3 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. Преобразуем матрицу к ступенчатому виду. Вычтем из второй строки первую, а из третьей строки первую:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & | & -1 & 1 & 0 \ 0 & -1 & 0 & | & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. Прибавим к третьей строке вторую:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & | & -1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

4. Теперь преобразуем матрицу к единичной. Вычтем из первой строки вторую, умноженную на 2, а из второй строки третью:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & | & 3 & -2 & 0 \ 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

5. Прибавим к первой строке третью:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 & -1 & 1 \ 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 1 & | & -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Таким образом, обратная матрица $A^{-1}$ равна:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \ 1 & 0 & -1 \ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Ответ: $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \ 1 & 0 & -1 \ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$