Здравствуйте! Давайте решим эту систему уравнений.

Задание d)

Система уравнений:
$$\begin{cases}
\log_3 2x - \log_3 \frac{2}{y} = 1 \
4x - y = 1
\end{cases}$$

Шаг 1: Упростим первое уравнение, используя свойства логарифмов.

Вспомним свойство логарифмов: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$. Применим его к первому уравнению:

$$\log_3 \frac{2x}{\frac{2}{y}} = 1$$

$$\log_3 (2x \cdot \frac{y}{2}) = 1$$

$$\log_3 (xy) = 1$$

Шаг 2: Избавимся от логарифма.

Используем определение логарифма: $\log_a b = c \Rightarrow a^c = b$. В нашем случае:

$$3^1 = xy$$

$$xy = 3$$

Шаг 3: Выразим $y$ из второго уравнения и подставим в упрощенное первое уравнение.

Из второго уравнения $4x - y = 1$ выразим $y$:

$$y = 4x - 1$$

Подставим это выражение в $xy = 3$:

$$x(4x - 1) = 3$$

$$4x^2 - x = 3$$

$$4x^2 - x - 3 = 0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

Решим квадратное уравнение $4x^2 - x - 3 = 0$. Найдем дискриминант $D$:

$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$$

Теперь найдем корни $x_1$ и $x_2$:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 + 7}{8} = \frac{8}{8} = 1$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 - 7}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$$

Шаг 5: Найдем соответствующие значения $y$.

Для $x_1 = 1$:

$$y_1 = 4x_1 - 1 = 4(1) - 1 = 4 - 1 = 3$$

Для $x_2 = -\frac{3}{4}$:

$$y_2 = 4x_2 - 1 = 4(-\frac{3}{4}) - 1 = -3 - 1 = -4$$

Шаг 6: Проверим решения на ОДЗ логарифмов.

У нас есть логарифмы $\log_3 2x$ и $\log_3 \frac{2}{y}$. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

• $2x > 0 \Rightarrow x > 0$
• $\frac{2}{y} > 0 \Rightarrow y > 0$

Для первого решения $(x_1 = 1, y_1 = 3)$:

• $x_1 = 1 > 0$
• $y_1 = 3 > 0$

Оба условия выполняются.

Для второго решения $(x_2 = -\frac{3}{4}, y_2 = -4)$:

• $x_2 = -\frac{3}{4} < 0$
• $y_2 = -4 < 0$

Оба условия не выполняются.

Шаг 7: Запишем окончательный ответ.

Единственное решение, удовлетворяющее ОДЗ:

$$x = 1, y = 3$$

Ответ: $(1; 3)$