Решение задач по вычислению пределов с объяснениями

Здравствуйте! Отлично, сейчас помогу вам с решением задач.

Задание 1

a) \(\lim_{x \to 1} \frac{3 - \sqrt{2x+7}}{x^2 + 6x - 7}\)

1. Проверка на неопределенность:
   Подставим \(x = 1\) в выражение:
   \(\frac{3 - \sqrt{2(1)+7}}{1^2 + 6(1) - 7} = \frac{3 - \sqrt{9}}{1 + 6 - 7} = \frac{3 - 3}{0} = \frac{0}{0}\)
   Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\).

2. Умножение на сопряженное выражение:
   Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к числителю, то есть на \(3 + \sqrt{2x+7}\):
   \(\lim_{x \to 1} \frac{3 - \sqrt{2x+7}}{x^2 + 6x - 7} \cdot \frac{3 + \sqrt{2x+7}}{3 + \sqrt{2x+7}} = \lim_{x \to 1} \frac{9 - (2x+7)}{(x^2 + 6x - 7)(3 + \sqrt{2x+7})} = \lim_{x \to 1} \frac{2 - 2x}{(x^2 + 6x - 7)(3 + \sqrt{2x+7})}\)

3. Разложение на множители:
   Разложим знаменатель на множители: \(x^2 + 6x - 7 = (x - 1)(x + 7)\).
   Вынесем \(-2\) из числителя: \(2 - 2x = -2(x - 1)\).
   Тогда:
   \(\lim_{x \to 1} \frac{-2(x - 1)}{(x - 1)(x + 7)(3 + \sqrt{2x+7})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2}{(x + 7)(3 + \sqrt{2x+7})}\)

4. Вычисление предела:
   Подставим \(x = 1\):
   \(\frac{-2}{(1 + 7)(3 + \sqrt{2(1)+7})} = \frac{-2}{8(3 + \sqrt{9})} = \frac{-2}{8(3 + 3)} = \frac{-2}{8 \cdot 6} = \frac{-2}{48} = -\frac{1}{24}\)

Ответ: \(\lim_{x \to 1} \frac{3 - \sqrt{2x+7}}{x^2 + 6x - 7} = -\frac{1}{24}\)

Задание 1

б) \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 4x} - \sqrt{x^2 - 8x})\)

1. Проверка на неопределенность:
   При \(x \to \infty\) оба корня стремятся к \(\infty\), поэтому имеем неопределенность вида \(\infty - \infty\).

2. Умножение на сопряженное выражение:
   Умножим и разделим на сопряженное выражение \(\sqrt{x^2 - 4x} + \sqrt{x^2 - 8x}\):
   \(\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 - 4x} - \sqrt{x^2 - 8x})(\sqrt{x^2 - 4x} + \sqrt{x^2 - 8x})}{\sqrt{x^2 - 4x} + \sqrt{x^2 - 8x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 - 4x) - (x^2 - 8x)}{\sqrt{x^2 - 4x} + \sqrt{x^2 - 8x}}\)

3. Упрощение выражения:
   \(\lim_{x \to \infty} \frac{4x}{\sqrt{x^2 - 4x} + \sqrt{x^2 - 8x}}\)

4. Деление на \(x\):
   Разделим числитель и знаменатель на \(x\):
   \(\lim_{x \to \infty} \frac{4}{\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + \sqrt{1 - \frac{8}{x}}}\)

5. Вычисление предела:
   При \(x \to \infty\), \(\frac{4}{x} \to 0\) и \(\frac{8}{x} \to 0\).
   \(\lim_{x \to \infty} \frac{4}{\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + \sqrt{1 - \frac{8}{x}}} = \frac{4}{\sqrt{1 - 0} + \sqrt{1 - 0}} = \frac{4}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2\)

Ответ: \(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 4x} - \sqrt{x^2 - 8x}) = 2\)

Задание 1

в) \(\lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - 11x - 6}{2x^2 - 7x + 3}\)

1. Проверка на неопределенность:
   Подставим \(x = 3\) в выражение:
   \(\frac{3(3)^2 - 11(3) - 6}{2(3)^2 - 7(3) + 3} = \frac{27 - 33 - 6}{18 - 21 + 3} = \frac{-12}{0}\)
   Здесь получается деление на ноль, но числитель не равен нулю, поэтому предел равен бесконечности. Однако, если бы числитель тоже был равен нулю, мы бы имели неопределенность вида \(\frac{0}{0}\). Давайте проверим это, разложив числитель и знаменатель на множители.

2. Разложение на множители:
   Разложим числитель и знаменатель на множители.
   \(3x^2 - 11x - 6 = (3x + 1)(x - 6)\)
   \(2x^2 - 7x + 3 = (2x - 1)(x - 3)\)
   Тогда:
   \(\lim_{x \to 3} \frac{(3x + 1)(x - 6)}{(2x - 1)(x - 3)}\)

3. Анализ предела:
   Подставим \(x = 3\):
   \(\frac{(3(3) + 1)(3 - 6)}{(2(3) - 1)(3 - 3)} = \frac{(10)(-3)}{(5)(0)} = \frac{-30}{0}\)
   Так как числитель не равен нулю, а знаменатель стремится к нулю, предел равен бесконечности.

4. Определение знака бесконечности:
   При \(x \to 3^+\) (справа) \(x - 3 > 0\), поэтому \(\frac{-30}{0^+} = -\infty\).
   При \(x \to 3^-\) (слева) \(x - 3 < 0\), поэтому \(\frac{-30}{0^-} = +\infty\).
   Так как пределы слева и справа не совпадают, предел не существует.

Ответ: Предел не существует (или равен \(\infty\) в зависимости от подхода).

Задание 1

г) \(\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 5x^2 + 4x}{3x^2 + 4x + 1} \cdot \frac{3x + 4}{x + 4}\)

1. Проверка на неопределенность:
   Подставим \(x = -1\) в выражение:
   \(\frac{(-1)^3 + 5(-1)^2 + 4(-1)}{3(-1)^2 + 4(-1) + 1} \cdot \frac{3(-1) + 4}{(-1) + 4} = \frac{-1 + 5 - 4}{3 - 4 + 1} \cdot \frac{-3 + 4}{3} = \frac{0}{0} \cdot \frac{1}{3}\)
   Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\).

2. Разложение на множители:
   Разложим числитель и знаменатель на множители:
   \(x^3 + 5x^2 + 4x = x(x^2 + 5x + 4) = x(x + 1)(x + 4)\)
   \(3x^2 + 4x + 1 = (3x + 1)(x + 1)\)
   Тогда:
   \(\lim_{x \to -1} \frac{x(x + 1)(x + 4)}{(3x + 1)(x + 1)} \cdot \frac{3x + 4}{x + 4} = \lim_{x \to -1} \frac{x(x + 4)}{3x + 1} \cdot \frac{3x + 4}{x + 4}\)

3. Сокращение и вычисление предела:
   Сократим \((x+4)\):
   \(\lim_{x \to -1} \frac{x}{3x + 1} \cdot (3x + 4)\)
   Подставим \(x = -1\):
   \(\frac{-1}{3(-1) + 1} \cdot (3(-1) + 4) = \frac{-1}{-3 + 1} \cdot (-3 + 4) = \frac{-1}{-2} \cdot 1 = \frac{1}{2}\)

Ответ: \(\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 5x^2 + 4x}{3x^2 + 4x + 1} \cdot \frac{3x + 4}{x + 4} = \frac{1}{2}\)

Задание 1

д) \(\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 11x + 6}{2x^2 - 7x + 3}\)

1. Проверка на неопределенность:
   Подставим \(x = 2\) в выражение:
   \(\frac{3(2)^2 - 11(2) + 6}{2(2)^2 - 7(2) + 3} = \frac{12 - 22 + 6}{8 - 14 + 3} = \frac{-4}{ -3} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}\)
   Здесь нет неопределенности.

2. Вычисление предела:
   \(\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 11x + 6}{2x^2 - 7x + 3} = \frac{3(2)^2 - 11(2) + 6}{2(2)^2 - 7(2) + 3} = \frac{12 - 22 + 6}{8 - 14 + 3} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}\)

Ответ: \(\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 11x + 6}{2x^2 - 7x + 3} = \frac{4}{3}\)

Задание 1

е) \(\lim_{x \to 2} (\frac{9x - 5}{9x - 2})^{\frac{3x}{x - 2}}\)

1. Преобразуем выражение:
   Пусть \(y = (\frac{9x - 5}{9x - 2})^{\frac{3x}{x - 2}}\). Тогда \(\ln y = \frac{3x}{x - 2} \ln(\frac{9x - 5}{9x - 2})\).
   Найдем предел \(\lim_{x \to 2} \ln y = \lim_{x \to 2} \frac{3x}{x - 2} \ln(\frac{9x - 5}{9x - 2})\).

2. Проверка на неопределенность:
   При \(x \to 2\):
   \(\frac{3x}{x - 2} \to \frac{6}{0}\) и \(\ln(\frac{9x - 5}{9x - 2}) \to \ln(\frac{18 - 5}{18 - 2}) = \ln(\frac{13}{16}) \to 0\).
   Получаем неопределенность вида \(\frac{0}{0}\).

3. Преобразование предела:
   \(\lim_{x \to 2} \frac{3x \ln(\frac{9x - 5}{9x - 2})}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{3x \ln(9x - 5) - 3x \ln(9x - 2)}{x - 2}\)

4. Применение правила Лопиталя:
   Возьмем производную числителя и знаменателя:
   \(\lim_{x \to 2} \frac{3 \ln(9x - 5) + 3x \cdot \frac{9}{9x - 5} - 3 \ln(9x - 2) - 3x \cdot \frac{9}{9x - 2}}{1} = 3 \ln(13) + 6 \cdot \frac{9}{13} - 3 \ln(16) - 6 \cdot \frac{9}{16}\)
   \(= 3 \ln(13) - 3 \ln(16) + \frac{54}{13} - \frac{54}{16} = 3 \ln(\frac{13}{16}) + 54(\frac{1}{13} - \frac{1}{16}) = 3 \ln(\frac{13}{16}) + 54(\frac{16 - 13}{13 \cdot 16}) = 3 \ln(\frac{13}{16}) + 54(\frac{3}{208}) = 3 \ln(\frac{13}{16}) + \frac{162}{208} = 3 \ln(\frac{13}{16}) + \frac{81}{104}\)

5. Находим предел исходной функции:
   \(\lim_{x \to 2} \ln y = 3 \ln(\frac{13}{16}) + \frac{81}{104}\)
   \(\lim_{x \to 2} y = e^{3 \ln(\frac{13}{16}) + \frac{81}{104}} = e^{3 \ln(\frac{13}{16})} \cdot e^{\frac{81}{104}} = (\frac{13}{16})^3 \cdot e^{\frac{81}{104}}\)

Ответ: \(\lim_{x \to 2} (\frac{9x - 5}{9x - 2})^{\frac{3x}{x - 2}} = (\frac{13}{16})^3 e^{\frac{81}{104}}\)

Задание 2

Функция:

\(f(x) = \begin{cases} \ln(3+x), & \text{если } x < -3 \\ 2x+5, & \text{если } -3 \le x \le 1 \\ (x-2)^2 - 1, & \text{если } 1 < x < 4 \\ 1, & \text{если } x = 4 \\ 2^{6-x} - 1, & \text{если } x > 4 \end{cases}\)

1. Построение графика:

   • Для \(x < -3\): \(f(x) = \ln(3+x)\). Это логарифмическая функция, смещенная на 3 единицы влево.
   • Для \(-3 \le x \le 1\): \(f(x) = 2x+5\). Это линейная функция.
   • Для \(1 < x < 4\): \(f(x) = (x-2)^2 - 1\). Это парабола с вершиной в точке \((2, -1)\).
   • Для \(x = 4\): \(f(x) = 1\). Это точка на графике.
   • Для \(x > 4\): \(f(x) = 2^{6-x} - 1\). Это экспоненциальная функция.

2. Характер точек разрыва:

   • Точка \(x = -3\):
     • Предел слева: \(\lim_{x \to -3^-} \ln(3+x) = -\infty\)
     • Предел справа: \(\lim_{x \to -3^+} (2x+5) = 2(-3) + 5 = -1\)
       Функция имеет разрыв первого рода (бесконечный разрыв).
   • Точка \(x = 1\):
     • Предел слева: \(\lim_{x \to 1^-} (2x+5) = 2(1) + 5 = 7\)
     • Предел справа: \(\lim_{x \to 1^+} ((x-2)^2 - 1) = (1-2)^2 - 1 = 1 - 1 = 0\)
       Функция имеет разрыв первого рода (конечный скачок).
   • Точка \(x = 4\):
     • Предел слева: \(\lim_{x \to 4^-} ((x-2)^2 - 1) = (4-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3\)
     • Значение в точке: \(f(4) = 1\)
     • Предел справа: \(\lim_{x \to 4^+} (2^{6-x} - 1) = 2^{6-4} - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3\)
       Функция имеет устранимый разрыв (значение функции в точке не равно пределу).

График:

К сожалению, я не могу построить график здесь. Вам нужно построить график функции по указанным выше интервалам и точкам.

Задание 3

a) \(y = \frac{\sqrt[3]{x^2 + 4x^2 + 1}}{\sqrt{x^3}}\)

1. Упрощение функции:
   \(y = \frac{\sqrt[3]{5x^2 + 1}}{\sqrt{x^3}} = \frac{(5x^2 + 1)^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{3}{2}}}\)

2. Применение правила частного:
   \(y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\), где \(u = (5x^2 + 1)^{\frac{1}{3}}\) и \(v = x^{\frac{3}{2}}\).

3. Находим производные \(u'\) и \(v'\):
   \(u' = \frac{1}{3}(5x^2 + 1)^{-\frac{2}{3}} \cdot (10x) = \frac{10x}{3(5x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}}\)
   \(v' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\)

4. Подставляем в формулу производной частного:
   \(y' = \frac{\frac{10x}{3(5x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}} \cdot x^{\frac{3}{2}} - (5x^2 + 1)^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{3}{2}})^2} = \frac{\frac{10x^{\frac{5}{2}}}{3(5x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}} - \frac{3x^{\frac{1}{2}}(5x^2 + 1)^{\frac{1}{3}}}{2}}{x^3}\)

5. Упрощение выражения:
   \(y' = \frac{20x^{\frac{5}{2}} - 9x^{\frac{1}{2}}(5x^2 + 1)}{6x^3(5x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{20x^2 - 9(5x^2 + 1)}{6x^{\frac{5}{2}}(5x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{20x^2 - 45x^2 - 9}{6x^{\frac{5}{2}}(5x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{-25x^2 - 9}{6x^{\frac{5}{2}}(5x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}}\)

Ответ: \(y' = \frac{-25x^2 - 9}{6x^{\frac{5}{2}}(5x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}}\)

Ассистент: Отлично, продолжаем решать задачи!

Задание 3

б) \(y = \operatorname{tg}(1 + 3x) \arcsin 5x\)

1. Применение правила произведения:
   \(y' = u'v + uv'\), где \(u = \operatorname{tg}(1 + 3x)\) и \(v = \arcsin 5x\).

2. Находим производные \(u'\) и \(v'\):
   \(u' = \frac{1}{\cos^2(1 + 3x)} \cdot 3 = \frac{3}{\cos^2(1 + 3x)}\)
   \(v' = \frac{1}{\sqrt{1 - (5x)^2}} \cdot 5 = \frac{5}{\sqrt{1 - 25x^2}}\)

3. Подставляем в формулу производной произведения:
   \(y' = \frac{3}{\cos^2(1 + 3x)} \arcsin 5x + \operatorname{tg}(1 + 3x) \cdot \frac{5}{\sqrt{1 - 25x^2}}\)

Ответ: \(y' = \frac{3 \arcsin 5x}{\cos^2(1 + 3x)} + \frac{5 \operatorname{tg}(1 + 3x)}{\sqrt{1 - 25x^2}}\)

Задание 3

в) \(y = \log_2(\operatorname{tg}(\log_3(x - \cos x)))\)

1. Применение правила цепочки:
   \(y' = \frac{1}{\operatorname{tg}(\log_3(x - \cos x)) \ln 2} \cdot (\operatorname{tg}(\log_3(x - \cos x)))'\)

2. Находим производную \(\operatorname{tg}(\log_3(x - \cos x))\):
   \((\operatorname{tg}(\log_3(x - \cos x)))' = \frac{1}{\cos^2(\log_3(x - \cos x))} \cdot (\log_3(x - \cos x))'\)

3. Находим производную \(\log_3(x - \cos x)\):
   \((\log_3(x - \cos x))' = \frac{1}{(x - \cos x) \ln 3} \cdot (x - \cos x)'\)

4. Находим производную \((x - \cos x)\):
   \((x - \cos x)' = 1 + \sin x\)

5. Собираем все вместе:
   \(y' = \frac{1}{\operatorname{tg}(\log_3(x - \cos x)) \ln 2} \cdot \frac{1}{\cos^2(\log_3(x - \cos x))} \cdot \frac{1}{(x - \cos x) \ln 3} \cdot (1 + \sin x)\)

6. Упрощаем выражение:
   \(y' = \frac{1 + \sin x}{\ln 2 \ln 3 \cdot \operatorname{tg}(\log_3(x - \cos x)) \cdot \cos^2(\log_3(x - \cos x)) \cdot (x - \cos x)}\)

Ответ: \(y' = \frac{1 + \sin x}{\ln 2 \ln 3 \cdot \operatorname{tg}(\log_3(x - \cos x)) \cdot \cos^2(\log_3(x - \cos x)) \cdot (x - \cos x)}\)

Задание 3

г) \(y = (2 - \sqrt{x})^{\arcsin x}\)

1. Логарифмическое дифференцирование:
   \(\ln y = \arcsin x \cdot \ln(2 - \sqrt{x})\)

2. Берем производную обеих частей по \(x\):
   \(\frac{y'}{y} = (\arcsin x)' \ln(2 - \sqrt{x}) + \arcsin x (\ln(2 - \sqrt{x}))'\)

3. Находим производные:
   \((\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)
   \((\ln(2 - \sqrt{x}))' = \frac{1}{2 - \sqrt{x}} \cdot (-\frac{1}{2\sqrt{x}}) = -\frac{1}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})}\)

4. Подставляем в уравнение:
   \(\frac{y'}{y} = \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})}\)

5. Находим \(y'\):
   \(y' = y \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)\)
   \(y' = (2 - \sqrt{x})^{\arcsin x} \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)\)

Ответ: \(y' = (2 - \sqrt{x})^{\arcsin x} \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)\)

Ассистент: Отлично, продолжаем решать задачи!

Задание 3

г) \(y = (2 - \sqrt{x})^{\arcsin x}\)

1. Логарифмическое дифференцирование:
   \(\ln y = \arcsin x \cdot \ln(2 - \sqrt{x})\)

2. Берем производную обеих частей по \(x\):
   \(\frac{y'}{y} = (\arcsin x)' \ln(2 - \sqrt{x}) + \arcsin x (\ln(2 - \sqrt{x}))'\)

3. Находим производные:
   \((\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)
   \((\ln(2 - \sqrt{x}))' = \frac{1}{2 - \sqrt{x}} \cdot (-\frac{1}{2\sqrt{x}}) = -\frac{1}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})}\)

4. Подставляем в уравнение:
   \(\frac{y'}{y} = \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})}\)

5. Находим \(y'\):
   \(y' = y \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)\)
   \(y' = (2 - \sqrt{x})^{\arcsin x} \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)\)

Ответ: \(y' = (2 - \sqrt{x})^{\arcsin x} \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)\)

Разберем решение по шагам:

1. Логарифмическое дифференцирование:

   • Когда у нас есть функция вида \(y = f(x)^{g(x)}\), удобно использовать логарифмическое дифференцирование.
   • Берем натуральный логарифм обеих частей: \(\ln y = \ln(f(x)^{g(x)}) = g(x) \cdot \ln(f(x))\).
   • В нашем случае: \(\ln y = \arcsin x \cdot \ln(2 - \sqrt{x})\).

2. Берем производную обеих частей по \(x\):

   • Используем правило дифференцирования сложной функции и произведения.
   • Производная \(\ln y\) по \(x\) равна \(\frac{y'}{y}\).
   • Производная произведения \(\arcsin x \cdot \ln(2 - \sqrt{x})\) вычисляется как \((\arcsin x)' \ln(2 - \sqrt{x}) + \arcsin x (\ln(2 - \sqrt{x}))'\).

3. Находим производные:

   • \((\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) - это табличная производная.
   • \((\ln(2 - \sqrt{x}))'\) - здесь нужно применить правило цепочки:
     • Производная \(\ln u\) равна \(\frac{1}{u}\).
     • Производная \(2 - \sqrt{x}\) равна \(-\frac{1}{2\sqrt{x}}\).
     • Таким образом, \((\ln(2 - \sqrt{x}))' = \frac{1}{2 - \sqrt{x}} \cdot (-\frac{1}{2\sqrt{x}}) = -\frac{1}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})}\).

4. Подставляем в уравнение:

   • Подставляем найденные производные в уравнение \(\frac{y'}{y} = (\arcsin x)' \ln(2 - \sqrt{x}) + \arcsin x (\ln(2 - \sqrt{x}))'\).
   • Получаем: \(\frac{y'}{y} = \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})}\).

5. Находим \(y'\):

   • Умножаем обе части уравнения на \(y\), чтобы выразить \(y'\):
     \(y' = y \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)\).
   • Заменяем \(y\) на исходное выражение \((2 - \sqrt{x})^{\arcsin x}\):
     \(y' = (2 - \sqrt{x})^{\arcsin x} \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)\).

Итоговый ответ:
\(y' = (2 - \sqrt{x})^{\arcsin x} \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)\)

Задание 3

д) \(xe^{y^2} + ye^x = \sin x + \cos y\)

Здесь нужно найти производную неявно заданной функции.

1. Дифференцируем обе части по \(x\):
   \(\frac{d}{dx}(xe^{y^2}) + \frac{d}{dx}(ye^x) = \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(\cos y)\)

2. Применяем правило произведения и цепочки:

   • \(\frac{d}{dx}(xe^{y^2}) = e^{y^2} + x \cdot e^{y^2} \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx} = e^{y^2} + 2xye^{y^2} \frac{dy}{dx}\)
   • \(\frac{d}{dx}(ye^x) = \frac{dy}{dx} e^x + ye^x = e^x \frac{dy}{dx} + ye^x\)
   • \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)
   • \(\frac{d}{dx}(\cos y) = -\sin y \cdot \frac{dy}{dx}\)

3. Подставляем в уравнение:
   \(e^{y^2} + 2xye^{y^2} \frac{dy}{dx} + e^x \frac{dy}{dx} + ye^x = \cos x - \sin y \frac{dy}{dx}\)

4. Собираем члены с \(\frac{dy}{dx}\):
   \(\frac{dy}{dx}(2xye^{y^2} + e^x + \sin y) = \cos x - e^{y^2} - ye^x\)

5. Выражаем \(\frac{dy}{dx}\):
   \(\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x - e^{y^2} - ye^x}{2xye^{y^2} + e^x + \sin y}\)

Ответ: \(\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x - e^{y^2} - ye^x}{2xye^{y^2} + e^x + \sin y}\)

Задание 3

е) \(x = \log_t t, \quad y = 3^{t^8}\)

Здесь нужно найти \(\frac{dy}{dx}\) для параметрически заданной функции.

1. Находим \(\frac{dx}{dt}\) и \(\frac{dy}{dt}\):

   • \(\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t \ln t}\)
   • \(\frac{dy}{dt} = 3^{t^8} \ln 3 \cdot 8t^7 = 8t^7 \cdot 3^{t^8} \ln 3\)

2. Используем формулу \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\):
   \(\frac{dy}{dx} = \frac{8t^7 \cdot 3^{t^8} \ln 3}{\frac{1}{t \ln t}} = 8t^8 \ln t \cdot 3^{t^8} \ln 3\)

Ответ: \(\frac{dy}{dx} = 8t^8 \ln t \cdot 3^{t^8} \ln 3\)