Здравствуйте! Отлично, сейчас помогу вам с решением задач.

Задание 1

a) $\lim_{x \to 1} \frac{3 - \sqrt{2x+7}}{x^2 + 6x - 7}$

1. Проверка на неопределенность:
   Подставим $x = 1$ в выражение:
   $\frac{3 - \sqrt{2(1)+7}}{1^2 + 6(1) - 7} = \frac{3 - \sqrt{9}}{1 + 6 - 7} = \frac{3 - 3}{0} = \frac{0}{0}$
   Получили неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

2. Умножение на сопряженное выражение:
   Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к числителю, то есть на $3 + \sqrt{2x+7}$:
   $\lim_{x \to 1} \frac{3 - \sqrt{2x+7}}{x^2 + 6x - 7} \cdot \frac{3 + \sqrt{2x+7}}{3 + \sqrt{2x+7}} = \lim_{x \to 1} \frac{9 - (2x+7)}{(x^2 + 6x - 7)(3 + \sqrt{2x+7})} = \lim_{x \to 1} \frac{2 - 2x}{(x^2 + 6x - 7)(3 + \sqrt{2x+7})}$

3. Разложение на множители:
   Разложим знаменатель на множители: $x^2 + 6x - 7 = (x - 1)(x + 7)$.
   Вынесем $-2$ из числителя: $2 - 2x = -2(x - 1)$.
   Тогда:
   $\lim_{x \to 1} \frac{-2(x - 1)}{(x - 1)(x + 7)(3 + \sqrt{2x+7})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2}{(x + 7)(3 + \sqrt{2x+7})}$

4. Вычисление предела:
   Подставим $x = 1$:
   $\frac{-2}{(1 + 7)(3 + \sqrt{2(1)+7})} = \frac{-2}{8(3 + \sqrt{9})} = \frac{-2}{8(3 + 3)} = \frac{-2}{8 \cdot 6} = \frac{-2}{48} = -\frac{1}{24}$

Ответ: $\lim_{x \to 1} \frac{3 - \sqrt{2x+7}}{x^2 + 6x - 7} = -\frac{1}{24}$

Задание 1

б) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 4x} - \sqrt{x^2 - 8x})$

1. Проверка на неопределенность:
   При $x \to \infty$ оба корня стремятся к $\infty$, поэтому имеем неопределенность вида $\infty - \infty$.

2. Умножение на сопряженное выражение:
   Умножим и разделим на сопряженное выражение $\sqrt{x^2 - 4x} + \sqrt{x^2 - 8x}$:
   $\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 - 4x} - \sqrt{x^2 - 8x})(\sqrt{x^2 - 4x} + \sqrt{x^2 - 8x})}{\sqrt{x^2 - 4x} + \sqrt{x^2 - 8x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 - 4x) - (x^2 - 8x)}{\sqrt{x^2 - 4x} + \sqrt{x^2 - 8x}}$

3. Упрощение выражения:
   $\lim_{x \to \infty} \frac{4x}{\sqrt{x^2 - 4x} + \sqrt{x^2 - 8x}}$

4. Деление на $x$:
   Разделим числитель и знаменатель на $x$:
   $\lim_{x \to \infty} \frac{4}{\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + \sqrt{1 - \frac{8}{x}}}$

5. Вычисление предела:
   При $x \to \infty$, $\frac{4}{x} \to 0$ и $\frac{8}{x} \to 0$.
   $\lim_{x \to \infty} \frac{4}{\sqrt{1 - \frac{4}{x}} + \sqrt{1 - \frac{8}{x}}} = \frac{4}{\sqrt{1 - 0} + \sqrt{1 - 0}} = \frac{4}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 - 4x} - \sqrt{x^2 - 8x}) = 2$

Задание 1

в) $\lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - 11x - 6}{2x^2 - 7x + 3}$

1. Проверка на неопределенность:
   Подставим $x = 3$ в выражение:
   $\frac{3(3)^2 - 11(3) - 6}{2(3)^2 - 7(3) + 3} = \frac{27 - 33 - 6}{18 - 21 + 3} = \frac{-12}{0}$
   Здесь получается деление на ноль, но числитель не равен нулю, поэтому предел равен бесконечности. Однако, если бы числитель тоже был равен нулю, мы бы имели неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Давайте проверим это, разложив числитель и знаменатель на множители.

2. Разложение на множители:
   Разложим числитель и знаменатель на множители.
   $3x^2 - 11x - 6 = (3x + 1)(x - 6)$
   $2x^2 - 7x + 3 = (2x - 1)(x - 3)$
   Тогда:
   $\lim_{x \to 3} \frac{(3x + 1)(x - 6)}{(2x - 1)(x - 3)}$

3. Анализ предела:
   Подставим $x = 3$:
   $\frac{(3(3) + 1)(3 - 6)}{(2(3) - 1)(3 - 3)} = \frac{(10)(-3)}{(5)(0)} = \frac{-30}{0}$
   Так как числитель не равен нулю, а знаменатель стремится к нулю, предел равен бесконечности.

4. Определение знака бесконечности:
   При $x \to 3^+$ (справа) $x - 3 > 0$, поэтому $\frac{-30}{0^+} = -\infty$.
   При $x \to 3^-$ (слева) $x - 3 < 0$, поэтому $\frac{-30}{0^-} = +\infty$.
   Так как пределы слева и справа не совпадают, предел не существует.

Ответ: Предел не существует (или равен $\infty$ в зависимости от подхода).

Задание 1

г) $\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 5x^2 + 4x}{3x^2 + 4x + 1} \cdot \frac{3x + 4}{x + 4}$

1. Проверка на неопределенность:
   Подставим $x = -1$ в выражение:
   $\frac{(-1)^3 + 5(-1)^2 + 4(-1)}{3(-1)^2 + 4(-1) + 1} \cdot \frac{3(-1) + 4}{(-1) + 4} = \frac{-1 + 5 - 4}{3 - 4 + 1} \cdot \frac{-3 + 4}{3} = \frac{0}{0} \cdot \frac{1}{3}$
   Получили неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

2. Разложение на множители:
   Разложим числитель и знаменатель на множители:
   $x^3 + 5x^2 + 4x = x(x^2 + 5x + 4) = x(x + 1)(x + 4)$
   $3x^2 + 4x + 1 = (3x + 1)(x + 1)$
   Тогда:
   $\lim_{x \to -1} \frac{x(x + 1)(x + 4)}{(3x + 1)(x + 1)} \cdot \frac{3x + 4}{x + 4} = \lim_{x \to -1} \frac{x(x + 4)}{3x + 1} \cdot \frac{3x + 4}{x + 4}$

3. Сокращение и вычисление предела:
   Сократим $(x+4)$:
   $\lim_{x \to -1} \frac{x}{3x + 1} \cdot (3x + 4)$
   Подставим $x = -1$:
   $\frac{-1}{3(-1) + 1} \cdot (3(-1) + 4) = \frac{-1}{-3 + 1} \cdot (-3 + 4) = \frac{-1}{-2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 5x^2 + 4x}{3x^2 + 4x + 1} \cdot \frac{3x + 4}{x + 4} = \frac{1}{2}$

Задание 1

д) $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 11x + 6}{2x^2 - 7x + 3}$

1. Проверка на неопределенность:
   Подставим $x = 2$ в выражение:
   $\frac{3(2)^2 - 11(2) + 6}{2(2)^2 - 7(2) + 3} = \frac{12 - 22 + 6}{8 - 14 + 3} = \frac{-4}{ -3} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$
   Здесь нет неопределенности.

2. Вычисление предела:
   $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 11x + 6}{2x^2 - 7x + 3} = \frac{3(2)^2 - 11(2) + 6}{2(2)^2 - 7(2) + 3} = \frac{12 - 22 + 6}{8 - 14 + 3} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 11x + 6}{2x^2 - 7x + 3} = \frac{4}{3}$

Задание 1

е) $\lim_{x \to 2} (\frac{9x - 5}{9x - 2})^{\frac{3x}{x - 2}}$

1. Преобразуем выражение:
   Пусть $y = (\frac{9x - 5}{9x - 2})^{\frac{3x}{x - 2}}$. Тогда $\ln y = \frac{3x}{x - 2} \ln(\frac{9x - 5}{9x - 2})$.
   Найдем предел $\lim_{x \to 2} \ln y = \lim_{x \to 2} \frac{3x}{x - 2} \ln(\frac{9x - 5}{9x - 2})$.

2. Проверка на неопределенность:
   При $x \to 2$:
   $\frac{3x}{x - 2} \to \frac{6}{0}$ и $\ln(\frac{9x - 5}{9x - 2}) \to \ln(\frac{18 - 5}{18 - 2}) = \ln(\frac{13}{16}) \to 0$.
   Получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

3. Преобразование предела:
   $\lim_{x \to 2} \frac{3x \ln(\frac{9x - 5}{9x - 2})}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{3x \ln(9x - 5) - 3x \ln(9x - 2)}{x - 2}$

4. Применение правила Лопиталя:
   Возьмем производную числителя и знаменателя:
   $\lim_{x \to 2} \frac{3 \ln(9x - 5) + 3x \cdot \frac{9}{9x - 5} - 3 \ln(9x - 2) - 3x \cdot \frac{9}{9x - 2}}{1} = 3 \ln(13) + 6 \cdot \frac{9}{13} - 3 \ln(16) - 6 \cdot \frac{9}{16}$
   $= 3 \ln(13) - 3 \ln(16) + \frac{54}{13} - \frac{54}{16} = 3 \ln(\frac{13}{16}) + 54(\frac{1}{13} - \frac{1}{16}) = 3 \ln(\frac{13}{16}) + 54(\frac{16 - 13}{13 \cdot 16}) = 3 \ln(\frac{13}{16}) + 54(\frac{3}{208}) = 3 \ln(\frac{13}{16}) + \frac{162}{208} = 3 \ln(\frac{13}{16}) + \frac{81}{104}$

5. Находим предел исходной функции:
   $\lim_{x \to 2} \ln y = 3 \ln(\frac{13}{16}) + \frac{81}{104}$
   $\lim_{x \to 2} y = e^{3 \ln(\frac{13}{16}) + \frac{81}{104}} = e^{3 \ln(\frac{13}{16})} \cdot e^{\frac{81}{104}} = (\frac{13}{16})^3 \cdot e^{\frac{81}{104}}$

Ответ: $\lim_{x \to 2} (\frac{9x - 5}{9x - 2})^{\frac{3x}{x - 2}} = (\frac{13}{16})^3 e^{\frac{81}{104}}$

Задание 2

Функция:

$f(x) =
\begin{cases}
\ln(3+x), & \text{если } x < -3 \
2x+5, & \text{если } -3 \le x \le 1 \
(x-2)^2 - 1, & \text{если } 1 < x < 4 \
1, & \text{если } x = 4 \
2^{6-x} - 1, & \text{если } x > 4
\end{cases}$

1. Построение графика:

   • Для $x < -3$: $f(x) = \ln(3+x)$. Это логарифмическая функция, смещенная на 3 единицы влево.
   • Для $-3 \le x \le 1$: $f(x) = 2x+5$. Это линейная функция.
   • Для $1 < x < 4$: $f(x) = (x-2)^2 - 1$. Это парабола с вершиной в точке $(2, -1)$.
   • Для $x = 4$: $f(x) = 1$. Это точка на графике.
   • Для $x > 4$: $f(x) = 2^{6-x} - 1$. Это экспоненциальная функция.

2. Характер точек разрыва:

   • Точка $x = -3$:
     • Предел слева: $\lim_{x \to -3^-} \ln(3+x) = -\infty$
     • Предел справа: $\lim_{x \to -3^+} (2x+5) = 2(-3) + 5 = -1$
       Функция имеет разрыв первого рода (бесконечный разрыв).
   • Точка $x = 1$:
     • Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} (2x+5) = 2(1) + 5 = 7$
     • Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} ((x-2)^2 - 1) = (1-2)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$
       Функция имеет разрыв первого рода (конечный скачок).
   • Точка $x = 4$:
     • Предел слева: $\lim_{x \to 4^-} ((x-2)^2 - 1) = (4-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
     • Значение в точке: $f(4) = 1$
     • Предел справа: $\lim_{x \to 4^+} (2^{6-x} - 1) = 2^{6-4} - 1 = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$
       Функция имеет устранимый разрыв (значение функции в точке не равно пределу).

График:

К сожалению, я не могу построить график здесь. Вам нужно построить график функции по указанным выше интервалам и точкам.

Задание 3

a) $y = \frac{\sqrt[3]{x^2 + 4x^2 + 1}}{\sqrt{x^3}}$

1. Упрощение функции:
   $y = \frac{\sqrt[3]{5x^2 + 1}}{\sqrt{x^3}} = \frac{(5x^2 + 1)^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

2. Применение правила частного:
   $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = (5x^2 + 1)^{\frac{1}{3}}$ и $v = x^{\frac{3}{2}}$.

3. Находим производные $u'$ и $v'$:
   $u' = \frac{1}{3}(5x^2 + 1)^{-\frac{2}{3}} \cdot (10x) = \frac{10x}{3(5x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}}$
   $v' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$

4. Подставляем в формулу производной частного:
   $y' = \frac{\frac{10x}{3(5x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}} \cdot x^{\frac{3}{2}} - (5x^2 + 1)^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{3}{2}})^2} = \frac{\frac{10x^{\frac{5}{2}}}{3(5x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}} - \frac{3x^{\frac{1}{2}}(5x^2 + 1)^{\frac{1}{3}}}{2}}{x^3}$

5. Упрощение выражения:
   $y' = \frac{20x^{\frac{5}{2}} - 9x^{\frac{1}{2}}(5x^2 + 1)}{6x^3(5x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{20x^2 - 9(5x^2 + 1)}{6x^{\frac{5}{2}}(5x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{20x^2 - 45x^2 - 9}{6x^{\frac{5}{2}}(5x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{-25x^2 - 9}{6x^{\frac{5}{2}}(5x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}}$

Ответ: $y' = \frac{-25x^2 - 9}{6x^{\frac{5}{2}}(5x^2 + 1)^{\frac{2}{3}}}$

Ассистент: Отлично, продолжаем решать задачи!

Задание 3

б) $y = \operatorname{tg}(1 + 3x) \arcsin 5x$

1. Применение правила произведения:
   $y' = u'v + uv'$, где $u = \operatorname{tg}(1 + 3x)$ и $v = \arcsin 5x$.

2. Находим производные $u'$ и $v'$:
   $u' = \frac{1}{\cos^2(1 + 3x)} \cdot 3 = \frac{3}{\cos^2(1 + 3x)}$
   $v' = \frac{1}{\sqrt{1 - (5x)^2}} \cdot 5 = \frac{5}{\sqrt{1 - 25x^2}}$

3. Подставляем в формулу производной произведения:
   $y' = \frac{3}{\cos^2(1 + 3x)} \arcsin 5x + \operatorname{tg}(1 + 3x) \cdot \frac{5}{\sqrt{1 - 25x^2}}$

Ответ: $y' = \frac{3 \arcsin 5x}{\cos^2(1 + 3x)} + \frac{5 \operatorname{tg}(1 + 3x)}{\sqrt{1 - 25x^2}}$

Задание 3

в) $y = \log_2(\operatorname{tg}(\log_3(x - \cos x)))$

1. Применение правила цепочки:
   $y' = \frac{1}{\operatorname{tg}(\log_3(x - \cos x)) \ln 2} \cdot (\operatorname{tg}(\log_3(x - \cos x)))'$

2. Находим производную $\operatorname{tg}(\log_3(x - \cos x))$:
   $(\operatorname{tg}(\log_3(x - \cos x)))' = \frac{1}{\cos^2(\log_3(x - \cos x))} \cdot (\log_3(x - \cos x))'$

3. Находим производную $\log_3(x - \cos x)$:
   $(\log_3(x - \cos x))' = \frac{1}{(x - \cos x) \ln 3} \cdot (x - \cos x)'$

4. Находим производную $(x - \cos x)$:
   $(x - \cos x)' = 1 + \sin x$

5. Собираем все вместе:
   $y' = \frac{1}{\operatorname{tg}(\log_3(x - \cos x)) \ln 2} \cdot \frac{1}{\cos^2(\log_3(x - \cos x))} \cdot \frac{1}{(x - \cos x) \ln 3} \cdot (1 + \sin x)$

6. Упрощаем выражение:
   $y' = \frac{1 + \sin x}{\ln 2 \ln 3 \cdot \operatorname{tg}(\log_3(x - \cos x)) \cdot \cos^2(\log_3(x - \cos x)) \cdot (x - \cos x)}$

Ответ: $y' = \frac{1 + \sin x}{\ln 2 \ln 3 \cdot \operatorname{tg}(\log_3(x - \cos x)) \cdot \cos^2(\log_3(x - \cos x)) \cdot (x - \cos x)}$

Задание 3

г) $y = (2 - \sqrt{x})^{\arcsin x}$

1. Логарифмическое дифференцирование:
   $\ln y = \arcsin x \cdot \ln(2 - \sqrt{x})$

2. Берем производную обеих частей по $x$:
   $\frac{y'}{y} = (\arcsin x)' \ln(2 - \sqrt{x}) + \arcsin x (\ln(2 - \sqrt{x}))'$

3. Находим производные:
   $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
   $(\ln(2 - \sqrt{x}))' = \frac{1}{2 - \sqrt{x}} \cdot (-\frac{1}{2\sqrt{x}}) = -\frac{1}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})}$

4. Подставляем в уравнение:
   $\frac{y'}{y} = \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})}$

5. Находим $y'$:
   $y' = y \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)$
   $y' = (2 - \sqrt{x})^{\arcsin x} \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)$

Ответ: $y' = (2 - \sqrt{x})^{\arcsin x} \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)$

Ассистент: Отлично, продолжаем решать задачи!

Задание 3

г) $y = (2 - \sqrt{x})^{\arcsin x}$

1. Логарифмическое дифференцирование:
   $\ln y = \arcsin x \cdot \ln(2 - \sqrt{x})$

2. Берем производную обеих частей по $x$:
   $\frac{y'}{y} = (\arcsin x)' \ln(2 - \sqrt{x}) + \arcsin x (\ln(2 - \sqrt{x}))'$

3. Находим производные:
   $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
   $(\ln(2 - \sqrt{x}))' = \frac{1}{2 - \sqrt{x}} \cdot (-\frac{1}{2\sqrt{x}}) = -\frac{1}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})}$

4. Подставляем в уравнение:
   $\frac{y'}{y} = \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})}$

5. Находим $y'$:
   $y' = y \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)$
   $y' = (2 - \sqrt{x})^{\arcsin x} \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)$

Ответ: $y' = (2 - \sqrt{x})^{\arcsin x} \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)$

Разберем решение по шагам:

1. Логарифмическое дифференцирование:

   • Когда у нас есть функция вида $y = f(x)^{g(x)}$, удобно использовать логарифмическое дифференцирование.
   • Берем натуральный логарифм обеих частей: $\ln y = \ln(f(x)^{g(x)}) = g(x) \cdot \ln(f(x))$.
   • В нашем случае: $\ln y = \arcsin x \cdot \ln(2 - \sqrt{x})$.

2. Берем производную обеих частей по $x$:

   • Используем правило дифференцирования сложной функции и произведения.
   • Производная $\ln y$ по $x$ равна $\frac{y'}{y}$.
   • Производная произведения $\arcsin x \cdot \ln(2 - \sqrt{x})$ вычисляется как $(\arcsin x)' \ln(2 - \sqrt{x}) + \arcsin x (\ln(2 - \sqrt{x}))'$.

3. Находим производные:

   • $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ - это табличная производная.
   • $(\ln(2 - \sqrt{x}))'$ - здесь нужно применить правило цепочки:
     • Производная $\ln u$ равна $\frac{1}{u}$.
     • Производная $2 - \sqrt{x}$ равна $-\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
     • Таким образом, $(\ln(2 - \sqrt{x}))' = \frac{1}{2 - \sqrt{x}} \cdot (-\frac{1}{2\sqrt{x}}) = -\frac{1}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})}$.

4. Подставляем в уравнение:

   • Подставляем найденные производные в уравнение $\frac{y'}{y} = (\arcsin x)' \ln(2 - \sqrt{x}) + \arcsin x (\ln(2 - \sqrt{x}))'$.
   • Получаем: $\frac{y'}{y} = \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})}$.

5. Находим $y'$:

   • Умножаем обе части уравнения на $y$, чтобы выразить $y'$:
     $y' = y \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)$.
   • Заменяем $y$ на исходное выражение $(2 - \sqrt{x})^{\arcsin x}$:
     $y' = (2 - \sqrt{x})^{\arcsin x} \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)$.

Итоговый ответ:
$y' = (2 - \sqrt{x})^{\arcsin x} \cdot \left( \frac{\ln(2 - \sqrt{x})}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{\arcsin x}{2\sqrt{x}(2 - \sqrt{x})} \right)$

Задание 3

д) $xe^{y^2} + ye^x = \sin x + \cos y$

Здесь нужно найти производную неявно заданной функции.

1. Дифференцируем обе части по $x$:
   $\frac{d}{dx}(xe^{y^2}) + \frac{d}{dx}(ye^x) = \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(\cos y)$

2. Применяем правило произведения и цепочки:

   • $\frac{d}{dx}(xe^{y^2}) = e^{y^2} + x \cdot e^{y^2} \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx} = e^{y^2} + 2xye^{y^2} \frac{dy}{dx}$
   • $\frac{d}{dx}(ye^x) = \frac{dy}{dx} e^x + ye^x = e^x \frac{dy}{dx} + ye^x$
   • $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$
   • $\frac{d}{dx}(\cos y) = -\sin y \cdot \frac{dy}{dx}$

3. Подставляем в уравнение:
   $e^{y^2} + 2xye^{y^2} \frac{dy}{dx} + e^x \frac{dy}{dx} + ye^x = \cos x - \sin y \frac{dy}{dx}$

4. Собираем члены с $\frac{dy}{dx}$:
   $\frac{dy}{dx}(2xye^{y^2} + e^x + \sin y) = \cos x - e^{y^2} - ye^x$

5. Выражаем $\frac{dy}{dx}$:
   $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x - e^{y^2} - ye^x}{2xye^{y^2} + e^x + \sin y}$

Ответ: $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x - e^{y^2} - ye^x}{2xye^{y^2} + e^x + \sin y}$

Задание 3

е) $x = \log_t t, \quad y = 3^{t^8}$

Здесь нужно найти $\frac{dy}{dx}$ для параметрически заданной функции.

1. Находим $\frac{dx}{dt}$ и $\frac{dy}{dt}$:

   • $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{t \ln t}$
   • $\frac{dy}{dt} = 3^{t^8} \ln 3 \cdot 8t^7 = 8t^7 \cdot 3^{t^8} \ln 3$

2. Используем формулу $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$:
   $\frac{dy}{dx} = \frac{8t^7 \cdot 3^{t^8} \ln 3}{\frac{1}{t \ln t}} = 8t^8 \ln t \cdot 3^{t^8} \ln 3$

Ответ: $\frac{dy}{dx} = 8t^8 \ln t \cdot 3^{t^8} \ln 3$