Привет! Я Homiwork, твой ИИ-ассистент. Сейчас помогу решить эту задачу.

Задание 1

Уравнение $f(x) = 0$, где $f(x) = x^2 + px + q$, имеет ровно одно действительное решение. Это означает, что дискриминант равен нулю:

$D = p^2 - 4q = 0$
$p^2 = 4q$

Задание 2

Уравнение $f(f(f(x) - 2025) - 2025)) = 0$ имеет ровно три различных действительных решения. Поскольку $f(x) = 0$ имеет одно решение, то $f(x) = a$ имеет два решения, где $a$ - некоторое число.

Пусть $y = f(f(x) - 2025) - 2025$. Тогда $f(y) = 0$. Так как $f(x) = 0$ имеет одно решение, то $y = -\frac{p}{2}$.

$f(f(x) - 2025) - 2025 = -\frac{p}{2}$
$f(f(x) - 2025) = 2025 - \frac{p}{2}$

Пусть $z = f(x) - 2025$. Тогда $f(z) = 2025 - \frac{p}{2}$.
Так как уравнение $f(f(f(x) - 2025) - 2025)) = 0$ имеет три решения, то $2025 - \frac{p}{2} = q$.

$2025 - \frac{p}{2} = q$
$4050 - p = 2q$

Задание 3

Мы имеем два уравнения:
1. $p^2 = 4q$
2. $4050 - p = 2q$

Подставим $q = \frac{p^2}{4}$ во второе уравнение:
$4050 - p = 2 \cdot \frac{p^2}{4}$
$4050 - p = \frac{p^2}{2}$
$8100 - 2p = p^2$
$p^2 + 2p - 8100 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8100) = 4 + 32400 = 32404$
$p_1 = \frac{-2 + \sqrt{32404}}{2} = \frac{-2 + 180.01}{2} \approx 89$
$p_2 = \frac{-2 - \sqrt{32404}}{2} = \frac{-2 - 180.01}{2} \approx -91$

Тогда $q_1 = \frac{p_1^2}{4} = \frac{89^2}{4} = \frac{7921}{4} = 1980.25$
$q_2 = \frac{p_2^2}{4} = \frac{(-91)^2}{4} = \frac{8281}{4} = 2070.25$

Задание 4

$f(x) = x^2 + px + q = 0$ имеет одно решение $x = -\frac{p}{2}$.
$f(f(f(x) - 2025) - 2025)) = 0$ имеет три решения.

$f(f(x) - 2025) - 2025 = -\frac{p}{2}$
$f(f(x) - 2025) = 2025 - \frac{p}{2} = q$
$f(x) - 2025 = -\frac{p}{2}$
$f(x) = 2025 - \frac{p}{2}$

$x^2 + px + q = 2025 - \frac{p}{2}$
$x^2 + px + q - 2025 + \frac{p}{2} = 0$
$x^2 + px + \frac{p^2}{4} - 2025 + \frac{p}{2} = 0$
$(x + \frac{p}{2})^2 = 2025 - \frac{p}{2}$
$x + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{2025 - \frac{p}{2}}$
$x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{2025 - \frac{p}{2}}$

Так как должно быть три решения, то одно из решений $x = -\frac{p}{2}$.
$f(x) = x^2 + px + q = x^2 + px + \frac{p^2}{4}$
$f(x) = (x + \frac{p}{2})^2$

$f(x) = 2025 - \frac{p}{2}$
$(x + \frac{p}{2})^2 = 2025 - \frac{p}{2}$
$x + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{2025 - \frac{p}{2}}$
$x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{2025 - \frac{p}{2}}$

Если $2025 - \frac{p}{2} = 0$, то $p = 4050$, $q = \frac{4050^2}{4} = 4100625$
$x = -\frac{4050}{2} = -2025$

$f(x) = (x + 2025)^2$
$f(x) = 0$ при $x = -2025$
$f(f(f(x) - 2025) - 2025)) = 0$
$f(f(x) - 2025) - 2025 = -2025$
$f(f(x) - 2025) = 0$
$f(x) - 2025 = -2025$
$f(x) = 0$
$(x + 2025)^2 = 0$
$x = -2025$

Если $p = 89$, $q = 1980.25$
$x = -\frac{89}{2} \pm \sqrt{2025 - \frac{89}{2}} = -44.5 \pm \sqrt{2025 - 44.5} = -44.5 \pm \sqrt{1980.5} = -44.5 \pm 44.5$
$x_1 = -44.5 + 44.5 = 0$
$x_2 = -44.5 - 44.5 = -89$
$x_3 = -44.5$

Сумма решений: $0 + (-89) + (-44.5) = -133.5$

Если $p = -91$, $q = 2070.25$
$x = \frac{91}{2} \pm \sqrt{2025 + \frac{91}{2}} = 45.5 \pm \sqrt{2025 + 45.5} = 45.5 \pm \sqrt{2070.5} = 45.5 \pm 45.5$
$x_1 = 45.5 + 45.5 = 91$
$x_2 = 45.5 - 45.5 = 0$
$x_3 = 45.5$

Сумма решений: $91 + 0 + 45.5 = 136.5$

Ответ: 136.5