Здравствуйте! Давайте решим задания по порядку.

Задание 1

Используем формулы сокращенного умножения:

1. $(a + \sqrt{c})(a - \sqrt{c})$

   • Это разность квадратов: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
   • В нашем случае: $a^2 - (\sqrt{c})^2 = a^2 - c$

2. $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$

   • Также разность квадратов: $(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y$

Ответ:
1. $a^2 - c$
2. $x - y$

Задание 2

Сокращаем дроби:

а) $\frac{b^2 - 5}{b - \sqrt{5}}$

• Представим числитель как разность квадратов: $b^2 - 5 = (b - \sqrt{5})(b + \sqrt{5})$
• Тогда дробь: $\frac{(b - \sqrt{5})(b + \sqrt{5})}{b - \sqrt{5}}$
• Сокращаем $(b - \sqrt{5})$: $b + \sqrt{5}$

б) $\frac{m + \sqrt{6}}{6 - m^2}$

• Представим знаменатель как разность квадратов: $6 - m^2 = (\sqrt{6} - m)(\sqrt{6} + m)$
• Тогда дробь: $\frac{m + \sqrt{6}}{(\sqrt{6} - m)(\sqrt{6} + m)}$
• Сокращаем $(m + \sqrt{6})$: $\frac{1}{\sqrt{6} - m}$

Ответ:
а) $b + \sqrt{5}$
б) $\frac{1}{\sqrt{6} - m}$

Задание 3

Избавляемся от иррациональности в знаменателе:

1. $\frac{3}{\sqrt{b}}$

   • Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{b}$: $\frac{3\sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{3\sqrt{b}}{b}$

2. $\frac{4}{\sqrt{a + b}}$

   • Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{a + b}$: $\frac{4\sqrt{a + b}}{\sqrt{a + b} \cdot \sqrt{a + b}} = \frac{4\sqrt{a + b}}{a + b}$

3. $\frac{8}{3\sqrt{2}}$

   • Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $\frac{8\sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

Ответ:
1. $\frac{3\sqrt{b}}{b}$
2. $\frac{4\sqrt{a + b}}{a + b}$
3. $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Отлично! Вот решение первых трех заданий.

Задание 1

Используем формулы сокращенного умножения:

1. $(a + \sqrt{c})(a - \sqrt{c})$

   • Это разность квадратов: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
   • В нашем случае: $a^2 - (\sqrt{c})^2 = a^2 - c$

2. $(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$

   • Также разность квадратов: $(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x - y$

Ответ:
1. $a^2 - c$
2. $x - y$

Задание 2

Сокращаем дроби:

а) $\frac{b^2 - 5}{b - \sqrt{5}}$

• Представим числитель как разность квадратов: $b^2 - 5 = (b - \sqrt{5})(b + \sqrt{5})$
• Тогда дробь: $\frac{(b - \sqrt{5})(b + \sqrt{5})}{b - \sqrt{5}}$
• Сокращаем $(b - \sqrt{5})$: $b + \sqrt{5}$

б) $\frac{m + \sqrt{6}}{6 - m^2}$

• Представим знаменатель как разность квадратов: $6 - m^2 = (\sqrt{6} - m)(\sqrt{6} + m)$
• Тогда дробь: $\frac{m + \sqrt{6}}{(\sqrt{6} - m)(\sqrt{6} + m)}$
• Сокращаем $(m + \sqrt{6})$: $\frac{1}{\sqrt{6} - m}$

Ответ:
а) $b + \sqrt{5}$
б) $\frac{1}{\sqrt{6} - m}$

Задание 3

Избавляемся от иррациональности в знаменателе:

1. $\frac{3}{\sqrt{b}}$

   • Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{b}$: $\frac{3\sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{3\sqrt{b}}{b}$

2. $\frac{4}{\sqrt{a + b}}$

   • Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{a + b}$: $\frac{4\sqrt{a + b}}{\sqrt{a + b} \cdot \sqrt{a + b}} = \frac{4\sqrt{a + b}}{a + b}$

3. $\frac{8}{3\sqrt{2}}$

   • Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $\frac{8\sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{8\sqrt{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

Ответ:
1. $\frac{3\sqrt{b}}{b}$
2. $\frac{4\sqrt{a + b}}{a + b}$
3. $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Задание 4

Вычисляем значения выражений с корнями:

1. $\sqrt{196 \cdot 0.81 \cdot 0.36}$

   • $\sqrt{196} = 14$
   • $\sqrt{0.81} = 0.9$
   • $\sqrt{0.36} = 0.6$
   • $14 \cdot 0.9 \cdot 0.6 = 7.56$

2. $\sqrt{1.44 \cdot 1.21 - 1.44 \cdot 0.4}$

   • Вынесем 1.44 за скобки: $\sqrt{1.44(1.21 - 0.4)}$
   • $\sqrt{1.44 \cdot 0.81}$
   • $\sqrt{1.44} = 1.2$
   • $\sqrt{0.81} = 0.9$
   • $1.2 \cdot 0.9 = 1.08$

Ответ:
1. $7.56$
2. $1.08$

Задание 5

Вычисляем значения выражений:

1. $3\sqrt{(-2)^6}$

   • $(-2)^6 = 64$
   • $3\sqrt{64} = 3 \cdot 8 = 24$

2. $\sqrt{96 \cdot 486}$

   • Разложим числа на множители: $\sqrt{16 \cdot 6 \cdot 81 \cdot 6}$
   • $\sqrt{16 \cdot 81 \cdot 6^2} = 4 \cdot 9 \cdot 6 = 216$

3. $\sqrt{750 \cdot 270}$

   • Разложим числа на множители: $\sqrt{25 \cdot 30 \cdot 9 \cdot 30}$
   • $\sqrt{25 \cdot 9 \cdot 30^2} = 5 \cdot 3 \cdot 30 = 450$

Ответ:
1. $24$
2. $216$
3. $450$

Ассистент: Да, конечно, вот решение оставшихся заданий:

Задание 1 (Вариант 2)

Определим значения выражений, если $A = 1$, $B = 0$, $C = 0$.

1. $\overline{A} \land B \lor C$

   • $\overline{A} = \overline{1} = 0$
   • $0 \land 0 = 0$
   • $0 \lor 0 = 0$

2. $A \lor B \lor C$

   • $1 \lor 0 = 1$
   • $1 \lor 0 = 1$

3. $\overline{A \lor B} \land C$

   • $A \lor B = 1 \lor 0 = 1$
   • $\overline{A \lor B} = \overline{1} = 0$
   • $0 \land 0 = 0$

4. $\overline{A} \lor B \lor C$

   • $\overline{A} = \overline{1} = 0$
   • $0 \lor 0 = 0$
   • $0 \lor 0 = 0$

Ответ:
1. $0$
2. $1$
3. $0$
4. $0$

Задание 2 (Вариант 2)

Какое логическое выражение равносильно выражению $(A \lor B) \lor C$?

• По закону ассоциативности дизъюнкции: $(A \lor B) \lor C = A \lor (B \lor C) = A \lor B \lor C$

Ответ:
1) $A \lor B \lor C$

Задание 3 (Вариант 2)

В отборочном забеге участвуют 5 спортсменок: Петрова, Белова, Комарова, Митина и Громова. Две лучшие спортсменки выходят в финал соревнований. До начала соревнований болельщиками были сделаны следующие прогнозы:

1. Петрова выйдет в финал.
2. Белова выйдет в финал.
3. Комарова выйдет в финал.

По окончании соревнований оказалось, что только один прогноз подтвердился. Какие спортсменки вышли в финал?

• Рассмотрим каждый случай:

  • Если Петрова вышла в финал, то прогнозы 2 и 3 неверны. Значит, Белова и Комарова не вышли в финал. В финал вышла Петрова и кто-то из Митиной и Громовой.
  • Если Белова вышла в финал, то прогнозы 1 и 3 неверны. Значит, Петрова и Комарова не вышли в финал. В финал вышла Белова и кто-то из Митиной и Громовой.
  • Если Комарова вышла в финал, то прогнозы 1 и 2 неверны. Значит, Петрова и Белова не вышли в финал. В финал вышла Комарова и кто-то из Митиной и Громовой.

• Так как только один прогноз подтвердился, рассмотрим варианты:

  • Предположим, что Петрова вышла в финал. Тогда Белова и Комарова не вышли. Значит, в финале Петрова и кто-то еще (Митина или Громова).
  • Предположим, что Белова вышла в финал. Тогда Петрова и Комарова не вышли. Значит, в финале Белова и кто-то еще (Митина или Громова).
  • Предположим, что Комарова вышла в финал. Тогда Петрова и Белова не вышли. Значит, в финале Комарова и кто-то еще (Митина или Громова).

• Поскольку только один прогноз верен, рассмотрим, какие варианты возможны:

  • Если Петрова и Митина вышли в финал, то прогноз 1 верен.
  • Если Петрова и Громова вышли в финал, то прогноз 1 верен.
  • Если Белова и Митина вышли в финал, то прогноз 2 верен.
  • Если Белова и Громова вышли в финал, то прогноз 2 верен.
  • Если Комарова и Митина вышли в финал, то прогноз 3 верен.
  • Если Комарова и Громова вышли в финал, то прогноз 3 верен.

• Так как только один прогноз верен, и нам не дано дополнительной информации, мы не можем точно определить, кто именно вышел в финал. Однако, мы знаем, что одна из спортсменок (Петрова, Белова или Комарова) вышла в финал, а вторая финалистка - либо Митина, либо Громова.

Ответ:
Невозможно точно определить, но одна из финалисток - либо Петрова, либо Белова, либо Комарова, а вторая - либо Митина, либо Громова.