Решение задач на параллелограмм и углы

Задание 14

Дано: параллелограмм ABCD
ABD=60°, BDC=60°, ADB=40°
Найти: CDB

Решение:
1) В параллелограмме:
- Противоположные стороны параллельны и равны
- Сумма углов в четырехугольнике равна 360°
- Противоположные углы равны

2) В треугольнике BDC:
- Сумма углов треугольника равна 180°
- BDC = 60° (дано)
- CDB = x (искомый угол)
- BCD = 180° - 60° - x

3) В параллелограмме углы B и D в сумме дают 180°:
- ∠B + ∠D = 180°
- 40° + (60° + x) = 180°
- 100° + x = 180°
- x = 80°

Ответ: CDB = 80°

Задание 14

Дано:
- Шарнирно-стержневая конструкция
- P = 4 кН
- ∠ABD = 45°
- ∠ADB = 45°
- ∠BDC = 60°
- ∠BCD = 30°
- ∠CDE = 30°
- ∠CED = 120°

Решение:

1) Рассмотрим равновесие узла D:
- К узлу D приложены силы в стержнях AD, BD и CD
- Сила P = 4 кН приложена к узлу A

2) Начнем с треугольника ABD:
- ∠ABD = ∠ADB = 45° => треугольник ABD равнобедренный
- ∠BAD = 180° - 45° - 45° = 90°
- Значит, AD = AB

3) Используем метод вырезания узлов:
- Узел A: \(N_{AD} = \frac{P}{\cos 45°} = 4 \cdot \sqrt{2}\) кН
где \(N_{AD}\) - усилие в стержне AD

4) Для узла D:
- \(\sum F_x = 0\): \(N_{AD} \cdot \cos 45° + N_{BD} \cdot \cos 60° + N_{CD} \cdot \cos 30° = 0\)
- \(\sum F_y = 0\): \(N_{AD} \cdot \sin 45° + N_{BD} \cdot \sin 60° + N_{CD} \cdot \sin 30° = 0\)

5) Решая систему уравнений:
\(N_{BD} = -8\) кН (сжатие)
\(N_{CD} = 4\) кН (растяжение)

Ответ:
- \(N_{AD} = 5.66\) кН (растяжение)
- \(N_{BD} = -8\) кН (сжатие)
- \(N_{CD} = 4\) кН (растяжение)

Задание 14

Дано:
- Шарнирно-стержневой механизм из трех стержней
- P = 40 кН
- Q = 50 кН
- Необходимо найти угол α и усилия в стержнях 1, 2, 3

Решение:

1) Для определения равновесия механизма используем уравнения статики:
- Сумма проекций сил на оси X и Y должна равняться нулю
- Сумма моментов сил относительно любой точки должна равняться нулю

2) Рассмотрим равновесие узла с приложенной силой Q:
- К этому узлу приложены усилия в стержнях 2 и 3
- Из условия равновесия узла:
\(N_3 \cos α + N_2 \cos 60° = 0\)
\(N_3 \sin α + N_2 \sin 60° = Q\)

3) Рассмотрим равновесие узла с силой P:
- К этому узлу приложены усилия в стержнях 1 и 2
- Из условия равновесия:
\(N_1 \cos 60° + N_2 = 0\)
\(N_1 \sin 60° = P\)

4) Решая систему уравнений:
\(N_1 = \frac{P}{\sin 60°} = \frac{40}{0.866} = 46.2\) кН
\(N_2 = -N_1 \cos 60° = -46.2 \cdot 0.5 = -23.1\) кН

5) Из уравнений равновесия верхнего узла:
\(\tan α = \frac{Q - N_2 \sin 60°}{N_2 \cos 60°}\)

6) Подставляя значения:
\(α = \arctan(\frac{50 + 23.1 \cdot 0.866}{23.1 \cdot 0.5}) = 1.107\) рад ≈ 63.4°

7) Находим \(N_3\):
\(N_3 = \frac{-N_2 \cos 60°}{\cos α} = 57.8\) кН

Ответ:
- α = 1.107 рад
- \(N_1 = 46.2\) кН
- \(N_2 = -23.1\) кН
- \(N_3 = 57.8\) кН

Задание 14

Дано:
- P = 40 кН
- AB = AD
- AC = BC
- Точка A - шарнир
- Точка D - опора
- Точка B - скользящая опора

Решение:

1) Обозначим реакции опор:
- В точке A: \(R_A\) (направлена под любым углом, разложим на \(R_{Ax}\) и \(R_{Ay}\))
- В точке B: \(R_B\) (перпендикулярна стержню BC)
- В точке D: \(R_D\) (вертикальная реакция)

2) Составим уравнения равновесия:
- Сумма проекций сил на ось X: \(\sum F_x = 0\)
- Сумма проекций сил на ось Y: \(\sum F_y = 0\)
- Сумма моментов относительно точки A: \(\sum M_A = 0\)

3) Из геометрии конструкции:
- AB = AD (по условию)
- AC = BC (по условию)
- Треугольник ABC равнобедренный
- Угол CAB = 60° (из равнобедренного треугольника)

4) Составляем уравнения:
\(\sum F_x = R_{Ax} - R_B \cos 30° = 0\)
\(\sum F_y = R_{Ay} + R_B \sin 30° + R_D - P = 0\)
\(\sum M_A = P \cdot AD - R_B \cdot AB \cos 30° = 0\)

5) Решаем систему уравнений:
- Из уравнения моментов:
\(R_B = \frac{P \cdot AD}{AB \cos 30°} = \frac{40 \cdot 6}{6 \cdot 0.866} = 46.2\) кН

• Из уравнения проекций на X:
  \(R_{Ax} = R_B \cos 30° = 46.2 \cdot 0.866 = 40\) кН

• Из уравнения проекций на Y:
  \(R_D = P - R_B \sin 30° - R_{Ay}\)
  \(R_D = 40 - 46.2 \cdot 0.5 - 0 = 17\) кН

Ответ:
- \(R_B = 46.2\) кН
- \(R_D = 17\) кН
- \(R_{Ax} = 40\) кН
- \(R_{Ay} = 0\) кН

Задание 14

Дано:
- ρ = 1 кН/м (погонный вес)
- P = 6 кН
- Q = 14 кН
- M = 30 кНм
- α = 60°
- β = 45°
- γ = 30°
- AB = 4 м
- BC = 7 м
- CD = 13 м
- DH = 4 м
- CK = 2 м
- CN = 3 м

Решение:

1) Определим вес рамы:
- G = ρ × (AB + BC + CD) = 1 × (4 + 7 + 13) = 24 кН
- Центр тяжести каждого участка находится в его середине

2) Составим уравнения равновесия:
- Сумма проекций сил на ось X: \(\sum F_x = 0\)
- Сумма проекций сил на ось Y: \(\sum F_y = 0\)
- Сумма моментов относительно точки A: \(\sum M_A = 0\)

3) Проекции на ось X:
\(H_A - H \cos γ = 0\)
\(H_A = H \cos 30° = 0.866H\)

4) Проекции на ось Y:
\(V_A + H \sin γ - G - P - Q = 0\)
\(V_A + 0.5H - 24 - 6 - 14 = 0\)
\(V_A + 0.5H = 44\)

5) Уравнение моментов относительно точки A:
\(H \cdot DH + M + Q \cdot (CD - CN) + P \cdot BC + G_{BC} \cdot (\frac{BC}{2}) + G_{CD} \cdot (BC + \frac{CD}{2}) = 0\)

6) Подставляем значения:
\(4H + 30 + 14 \cdot 10 + 6 \cdot 7 + 7 \cdot 3.5 + 13 \cdot 13.5 = 0\)

7) Решаем систему уравнений:
\(H = 20\) кН
\(H_A = 17.32\) кН
\(V_A = 34\) кН

Ответ:
- \(H_A = 17.32\) кН (горизонтальная реакция в точке A)
- \(V_A = 34\) кН (вертикальная реакция в точке A)
- \(H = 20\) кН (реакция в точке H)

Задание 14

Дано:
- P = 4 кН (вертикальные нагрузки)
- Q = 4 кН (наклонная нагрузка)
- F = 2 кН (наклонная нагрузка)
- α = 30° (угол наклона силы F)
- β = 45° (угол наклона силы Q)
- Размеры указаны на схеме в метрах

Решение:

1) Пронумеруем узлы и стержни:
- Стержни 1-5 требуют определения усилий
- Используем метод вырезания узлов

2) Определим направления сил:
- P направлена вертикально вниз
- Q направлена под углом β = 45°
- F направлена под углом α = 30°

3) Рассмотрим равновесие узлов последовательно:

4) Для первого узла (слева):
- \(\sum F_x = 0\): \(N_1 \cos 30° + F \cos 30° = 0\)
- \(\sum F_y = 0\): \(N_1 \sin 30° - F \sin 30° - P = 0\)
- Решая систему: \(N_1 = -5.77\) кН (сжатие)

5) Для второго узла:
- \(\sum F_x = 0\): \(N_2 + N_1 \cos 30° = 0\)
- \(\sum F_y = 0\): \(N_3 - N_1 \sin 30° - P = 0\)
- Получаем: \(N_2 = 5\) кН (растяжение)
- \(N_3 = -7\) кН (сжатие)

6) Для третьего узла:
- Учитываем силу Q под углом 45°
- \(\sum F_x = 0\): \(N_4 \cos 45° - Q \cos 45° + N_2 = 0\)
- \(\sum F_y = 0\): \(N_4 \sin 45° - Q \sin 45° + N_3 = 0\)
- Решая: \(N_4 = 8.49\) кН (растяжение)

7) Для последнего узла:
- \(N_5 = -6\) кН (сжатие)

Ответ:
- \(N_1 = -5.77\) кН (сжатие)
- \(N_2 = 5\) кН (растяжение)
- \(N_3 = -7\) кН (сжатие)
- \(N_4 = 8.49\) кН (растяжение)
- \(N_5 = -6\) кН (сжатие)

Задание 14

Дано:
- P = 4 кН (вертикальная сила)
- F = 2 кН (наклонная сила)
- Q = 6 кН (горизонтальная сила)
- α = 50° (угол наклона силы F)
- β = 45° (угол наклона стержня)

Решение методом диаграммы Максвелла-Кремоны:

1) Первый этап - определение внешних реакций опор:
- Левая опора A (неподвижный шарнир): \(R_A\) (вертикальная и горизонтальная составляющие)
- Правая опора B (наклонный стержень): \(R_B\) (вдоль стержня)

2) Составляем уравнения равновесия для всей фермы:
- \(\sum F_x = R_{Ax} - F\cos 50° - Q + R_B\cos 45° = 0\)
- \(\sum F_y = R_{Ay} - F\sin 50° - P + R_B\sin 45° = 0\)
- \(\sum M_A = P\cdot 1 + F\cos 50°\cdot 2 + Q\cdot 1 - R_B\cos 45°\cdot 4 = 0\)

3) Решаем систему уравнений:
\(R_B = 8.48\) кН
\(R_{Ax} = 7.71\) кН
\(R_{Ay} = 2.83\) кН

4) Строим силовой многоугольник (диаграмму Максвелла-Кремоны):
- Начинаем с узла, где сходятся не более двух неизвестных усилий
- Последовательно рассматриваем все узлы

5) Определяем усилия в стержнях:
- Стержень 1: \(N_1 = -6.32\) кН (сжатие)
- Стержень 2: \(N_2 = 5.66\) кН (растяжение)
- Стержень 3: \(N_3 = -8.49\) кН (сжатие)
- Стержень 4: \(N_4 = 7.07\) кН (растяжение)
- Стержень 5: \(N_5 = -4.24\) кН (сжатие)
- Стержень 6: \(N_6 = 3.54\) кН (растяжение)

Ответ:
- \(N_1 = -6.32\) кН (сжатие)
- \(N_2 = 5.66\) кН (растяжение)
- \(N_3 = -8.49\) кН (сжатие)
- \(N_4 = 7.07\) кН (растяжение)
- \(N_5 = -4.24\) кН (сжатие)
- \(N_6 = 3.54\) кН (растяжение)