Язык задания: Russian

В изображении содержится одно задание.

Задание 1

Вычислить $\frac{z_1(3z_2 - z_3)}{z_4}$, где $z_1 = 1 + i$, $z_2 = n + i$, $z_3 = 1 - ni$, $z_4 = 2i$, и $n = 3$.

Решение:

1. Подставим значение $n = 3$ в выражения для $z_2$ и $z_3$:

   • $z_2 = 3 + i$
   • $z_3 = 1 - 3i$

2. Вычислим $3z_2$:

   • $3z_2 = 3(3 + i) = 9 + 3i$

3. Вычислим $3z_2 - z_3$:

   • $3z_2 - z_3 = (9 + 3i) - (1 - 3i) = 9 + 3i - 1 + 3i = 8 + 6i$

4. Вычислим $z_1(3z_2 - z_3)$:

   • $z_1(3z_2 - z_3) = (1 + i)(8 + 6i) = 1 \cdot 8 + 1 \cdot 6i + i \cdot 8 + i \cdot 6i = 8 + 6i + 8i + 6i^2 = 8 + 14i - 6 = 2 + 14i$

5. Вычислим $\frac{z_1(3z_2 - z_3)}{z_4}$:

   • $\frac{z_1(3z_2 - z_3)}{z_4} = \frac{2 + 14i}{2i} = \frac{2 + 14i}{2i} \cdot \frac{-2i}{-2i} = \frac{-4i - 28i^2}{-4i^2} = \frac{-4i + 28}{4} = \frac{28 - 4i}{4} = 7 - i$

Ответ:

$\frac{z_1(3z_2 - z_3)}{z_4} = 7 - i$

[Объяснить подробнее]|Объясни решение этой задачи максимально подробно с пошаговыми комментариями, укажи все использованные правила и формулы
[Проверить другим способом]|Реши эту же задачу альтернативным методом, сравни результаты и объясни преимущества каждого способа
[Показать теорию]|Объясни теоретические основы и правила, которые использовались в этой задаче, приведи определения и формулы

Язык задания: Russian

В изображении содержится одно задание.

Задание 1

Вычислить $\frac{z_1(3z_2 - z_3)}{z_4}$, где $z_1 = 1 + i$, $z_2 = n + i$, $z_3 = 1 - ni$, $z_4 = 2i$, и $n = 7$.

Решение:

1. Подставим значение $n = 7$ в выражения для $z_2$ и $z_3$:

   • $z_2 = 7 + i$
   • $z_3 = 1 - 7i$

2. Вычислим $3z_2$:

   • $3z_2 = 3(7 + i) = 21 + 3i$

3. Вычислим $3z_2 - z_3$:

   • $3z_2 - z_3 = (21 + 3i) - (1 - 7i) = 21 + 3i - 1 + 7i = 20 + 10i$

4. Вычислим $z_1(3z_2 - z_3)$:

   • $z_1(3z_2 - z_3) = (1 + i)(20 + 10i) = 1 \cdot 20 + 1 \cdot 10i + i \cdot 20 + i \cdot 10i = 20 + 10i + 20i + 10i^2 = 20 + 30i - 10 = 10 + 30i$

5. Вычислим $\frac{z_1(3z_2 - z_3)}{z_4}$:

   • $\frac{z_1(3z_2 - z_3)}{z_4} = \frac{10 + 30i}{2i} = \frac{10 + 30i}{2i} \cdot \frac{-2i}{-2i} = \frac{-20i - 60i^2}{-4i^2} = \frac{-20i + 60}{4} = \frac{60 - 20i}{4} = 15 - 5i$

Ответ:

$\frac{z_1(3z_2 - z_3)}{z_4} = 15 - 5i$

[Объяснить подробнее]|Объясни решение этой задачи максимально подробно с пошаговыми комментариями, укажи все использованные правила и формулы
[Проверить другим способом]|Реши эту же задачу альтернативным методом, сравни результаты и объясни преимущества каждого способа
[Показать теорию]|Объясни теоретические основы и правила, которые использовались в этой задаче, приведи определения и формулы

Язык задания: Russian

В изображении содержится одно задание.

Задание 1

Вычислить $\frac{z_1(3z_2 - z_3)}{z_4}$, где $z_1 = 1 + i$, $z_2 = n + i$, $z_3 = 1 - ni$, $z_4 = 2i$, и $n = 3$.

Решение:

1. Подставим значение $n = 3$ в выражения для $z_2$ и $z_3$:

   • $z_2 = 3 + i$
   • $z_3 = 1 - 3i$

2. Вычислим $3z_2$:

   • $3z_2 = 3(3 + i) = 9 + 3i$

3. Вычислим $3z_2 - z_3$:

   • $3z_2 - z_3 = (9 + 3i) - (1 - 3i) = 9 + 3i - 1 + 3i = 8 + 6i$

4. Вычислим $z_1(3z_2 - z_3)$:

   • $z_1(3z_2 - z_3) = (1 + i)(8 + 6i) = 1 \cdot 8 + 1 \cdot 6i + i \cdot 8 + i \cdot 6i = 8 + 6i + 8i + 6i^2 = 8 + 14i - 6 = 2 + 14i$

5. Вычислим $\frac{z_1(3z_2 - z_3)}{z_4}$:

   • $\frac{z_1(3z_2 - z_3)}{z_4} = \frac{2 + 14i}{2i} = \frac{2 + 14i}{2i} \cdot \frac{-2i}{-2i} = \frac{-4i - 28i^2}{-4i^2} = \frac{-4i + 28}{4} = \frac{28 - 4i}{4} = 7 - i$

Ответ:

$\frac{z_1(3z_2 - z_3)}{z_4} = 7 - i$

[Объяснить подробнее]|Объясни решение этой задачи максимально подробно с пошаговыми комментариями, укажи все использованные правила и формулы
[Проверить другим способом]|Реши эту же задачу альтернативным методом, сравни результаты и объясни преимущества каждого способа
[Показать теорию]|Объясни теоретические основы и правила, которые использовались в этой задаче, приведи определения и формулы

Язык задания: Ukrainian

На изображении два задания.

Задание 1

Вычислить $\frac{z_1(3z_2 - z_3)}{z_4}$, где $z_1 = 1 + i$, $z_2 = n + i$, $z_3 = 1 - ni$, $z_4 = 2i$, и $n = 3$.

Решение:

1. Подставим значение $n = 3$ в выражения для $z_2$ и $z_3$:

   • $z_2 = 3 + i$
   • $z_3 = 1 - 3i$

2. Вычислим $3z_2$:

   • $3z_2 = 3(3 + i) = 9 + 3i$

3. Вычислим $3z_2 - z_3$:

   • $3z_2 - z_3 = (9 + 3i) - (1 - 3i) = 9 + 3i - 1 + 3i = 8 + 6i$

4. Вычислим $z_1(3z_2 - z_3)$:

   • $z_1(3z_2 - z_3) = (1 + i)(8 + 6i) = 1 \cdot 8 + 1 \cdot 6i + i \cdot 8 + i \cdot 6i = 8 + 6i + 8i + 6i^2 = 8 + 14i - 6 = 2 + 14i$

5. Вычислим $\frac{z_1(3z_2 - z_3)}{z_4}$:

   • $\frac{z_1(3z_2 - z_3)}{z_4} = \frac{2 + 14i}{2i} = \frac{2 + 14i}{2i} \cdot \frac{-2i}{-2i} = \frac{-4i - 28i^2}{-4i^2} = \frac{-4i + 28}{4} = \frac{28 - 4i}{4} = 7 - i$

Ответ:

$\frac{z_1(3z_2 - z_3)}{z_4} = 7 - i$

Задание 2

Представить в тригонометрической и показательной формах комплексные числа: $z = \sqrt{3n} + ni$, если $1 \le n \le 8$.

Поскольку $n$ может принимать значения от 1 до 8, нужно рассмотреть 8 различных комплексных чисел.

Общая теория:

• Тригонометрическая форма комплексного числа: $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r = |z|$ - модуль комплексного числа, а $\varphi$ - его аргумент.
• Показательная форма комплексного числа: $z = re^{i\varphi}$.
• Модуль комплексного числа: $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $z = a + bi$.
• Аргумент комплексного числа: $\varphi = \arctan \frac{b}{a}$. Необходимо учитывать квадрант, в котором находится комплексное число.

Решение:

Рассмотрим каждый случай для $n$ от 1 до 8.

1. n = 1:

   • $z = \sqrt{3} + i$
   • $r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$
   • $\varphi = \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6}$
   • Тригонометрическая форма: $z = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$
   • Показательная форма: $z = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$

2. n = 2:

   • $z = \sqrt{6} + 2i$
   • $r = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 2^2} = \sqrt{6 + 4} = \sqrt{10}$
   • $\varphi = \arctan \frac{2}{\sqrt{6}} = \arctan \sqrt{\frac{2}{3}}$
   • Тригонометрическая форма: $z = \sqrt{10}(\cos (\arctan \sqrt{\frac{2}{3}}) + i \sin (\arctan \sqrt{\frac{2}{3}}))$
   • Показательная форма: $z = \sqrt{10}e^{i\arctan \sqrt{\frac{2}{3}}}$

3. n = 3:

   • $z = 3 + 3i$
   • $r = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
   • $\varphi = \arctan \frac{3}{3} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$
   • Тригонометрическая форма: $z = 3\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$
   • Показательная форма: $z = 3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$

4. n = 4:

   • $z = \sqrt{12} + 4i = 2\sqrt{3} + 4i$
   • $r = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{12 + 16} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$
   • $\varphi = \arctan \frac{4}{2\sqrt{3}} = \arctan \frac{2}{\sqrt{3}}$
   • Тригонометрическая форма: $z = 2\sqrt{7}(\cos (\arctan \frac{2}{\sqrt{3}}) + i \sin (\arctan \frac{2}{\sqrt{3}}))$
   • Показательная форма: $z = 2\sqrt{7}e^{i\arctan \frac{2}{\sqrt{3}}}$

5. n = 5:

   • $z = \sqrt{15} + 5i$
   • $r = \sqrt{(\sqrt{15})^2 + 5^2} = \sqrt{15 + 25} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
   • $\varphi = \arctan \frac{5}{\sqrt{15}} = \arctan \sqrt{\frac{5}{3}}$
   • Тригонометрическая форма: $z = 2\sqrt{10}(\cos (\arctan \sqrt{\frac{5}{3}}) + i \sin (\arctan \sqrt{\frac{5}{3}}))$
   • Показательная форма: $z = 2\sqrt{10}e^{i\arctan \sqrt{\frac{5}{3}}}$

6. n = 6:

   • $z = \sqrt{18} + 6i = 3\sqrt{2} + 6i$
   • $r = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 6^2} = \sqrt{18 + 36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$
   • $\varphi = \arctan \frac{6}{3\sqrt{2}} = \arctan \sqrt{2}$
   • Тригонометрическая форма: $z = 3\sqrt{6}(\cos (\arctan \sqrt{2}) + i \sin (\arctan \sqrt{2}))$
   • Показательная форма: $z = 3\sqrt{6}e^{i\arctan \sqrt{2}}$

7. n = 7:

   • $z = \sqrt{21} + 7i$
   • $r = \sqrt{(\sqrt{21})^2 + 7^2} = \sqrt{21 + 49} = \sqrt{70}$
   • $\varphi = \arctan \frac{7}{\sqrt{21}} = \arctan \sqrt{\frac{7}{3}}$
   • Тригонометрическая форма: $z = \sqrt{70}(\cos (\arctan \sqrt{\frac{7}{3}}) + i \sin (\arctan \sqrt{\frac{7}{3}}))$
   • Показательная форма: $z = \sqrt{70}e^{i\arctan \sqrt{\frac{7}{3}}}$

8. n = 8:

   • $z = \sqrt{24} + 8i = 2\sqrt{6} + 8i$
   • $r = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + 8^2} = \sqrt{24 + 64} = \sqrt{88} = 2\sqrt{22}$
   • $\varphi = \arctan \frac{8}{2\sqrt{6}} = \arctan \frac{4}{\sqrt{6}} = \arctan \frac{2\sqrt{6}}{3}$
   • Тригонометрическая форма: $z = 2\sqrt{22}(\cos (\arctan \frac{2\sqrt{6}}{3}) + i \sin (\arctan \frac{2\sqrt{6}}{3}))$
   • Показательная форма: $z = 2\sqrt{22}e^{i\arctan \frac{2\sqrt{6}}{3}}$

Ответ:

Выше приведены тригонометрические и показательные формы для каждого значения $n$ от 1 до 8.

[Объяснить подробнее]|Объясни решение этой задачи максимально подробно с пошаговыми комментариями, укажи все использованные правила и формулы
[Примеры для n=5,6,7,8]|Покажи решение для случаев n=5, n=6, n=7 и n=8 максимально подробно с пошаговыми комментариями
[Показать теорию]|Объясни теоретические основы и правила, которые использовались в этой задаче, приведи определения и формулы

Ассистент: Язык задания: Ukrainian

Задание 2 (n=3)

Представить комплексное число $z = \sqrt{3n} + ni$ в тригонометрической и показательной формах, если $n = 3$.

Решение:

1. Подставляем значение n = 3:

   • $z = \sqrt{3 \cdot 3} + 3i = \sqrt{9} + 3i = 3 + 3i$

2. Находим модуль комплексного числа:

   • Модуль комплексного числа $z = a + bi$ вычисляется по формуле: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
   • В нашем случае $a = 3$ и $b = 3$.
   • $|z| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

3. Находим аргумент комплексного числа:

   • Аргумент комплексного числа $\varphi$ вычисляется по формуле: $\varphi = \arctan \frac{b}{a}$.
   • В нашем случае $a = 3$ и $b = 3$.
   • $\varphi = \arctan \frac{3}{3} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$ (или $45^\circ$). Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, комплексное число находится в первой четверти, поэтому найденное значение аргумента является верным.

4. Записываем тригонометрическую форму:

   • Тригонометрическая форма комплексного числа: $z = r(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, где $r = |z|$ и $\varphi$ - аргумент.
   • $z = 3\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$

5. Записываем показательную форму:

   • Показательная форма комплексного числа: $z = re^{i\varphi}$, где $r = |z|$ и $\varphi$ - аргумент.
   • $z = 3\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$

Как это записать в тетрадь:

Запишите в тетрадь следующее:

Завдання 2. n = 3

1. Комплексне число:
   $z = \sqrt{3n} + ni = \sqrt{3 \cdot 3} + 3i = 3 + 3i$

2. Модуль:
   $|z| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

3. Аргумент:
   $\varphi = \arctan \frac{3}{3} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$

4. Тригонометрична форма:
   $z = 3\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$

5. Показникова форма:
   $z = 3\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$

Ответ:

• Тригонометрическая форма: $z = 3\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$
• Показательная форма: $z = 3\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}}$

[Объяснить подробнее]|Объясни решение этой задачи максимально подробно с пошаговыми комментариями, укажи все использованные правила и формулы
[Показать теорию]|Объясни теоретические основы и правила, которые использовались в этой задаче, приведи определения и формулы

Ассистент: Язык задания: Ukrainian

На изображении два задания.

Задание 3.3a

Вычислить $(2 + 2i)^7$, используя формулу Муавра.

Решение:

1. Представим комплексное число в тригонометрической форме:

   • $z = 2 + 2i$
   • $r = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
   • $\varphi = \arctan \frac{2}{2} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$
   • $z = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$

2. Применим формулу Муавра:

   • Формула Муавра: $(r(\cos \varphi + i \sin \varphi))^n = r^n (\cos (n\varphi) + i \sin (n\varphi))$
   • $(2 + 2i)^7 = \left( 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^7 = (2\sqrt{2})^7 \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right)$

3. Вычислим $(2\sqrt{2})^7$:

   • $(2\sqrt{2})^7 = 2^7 (\sqrt{2})^7 = 128 \cdot 2^{7/2} = 128 \cdot 2^3 \sqrt{2} = 128 \cdot 8 \sqrt{2} = 1024\sqrt{2}$

4. Вычислим $\cos \frac{7\pi}{4}$ и $\sin \frac{7\pi}{4}$:

   • $\frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$, то есть угол находится в четвертой четверти.
   • $\cos \frac{7\pi}{4} = \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
   • $\sin \frac{7\pi}{4} = \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

5. Подставим значения в формулу:

   • $(2 + 2i)^7 = 1024\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1024\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (1 - i) = 1024 \cdot \frac{2}{2} (1 - i) = 1024 (1 - i) = 1024 - 1024i$

Ответ:

$(2 + 2i)^7 = 1024 - 1024i$

Задание 3.3б

Вычислить $\sqrt[3]{i}$, используя формулу Муавра.

Решение:

1. Представим комплексное число $i$ в тригонометрической форме:

   • $i = 0 + 1i$
   • $r = \sqrt{0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$
   • $\varphi = \arctan \frac{1}{0} = \frac{\pi}{2}$
   • $i = 1 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$

2. Применим формулу для корней комплексного числа:

   • $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n} \right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$
   • $\sqrt[3]{i} = \sqrt[3]{1} \left( \cos \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} \right) = \cos \frac{\pi + 4\pi k}{6} + i \sin \frac{\pi + 4\pi k}{6}$

3. Найдем корни для $k = 0, 1, 2$:

   • k = 0:
     • $z_0 = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}$
   • k = 1:
     • $z_1 = \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}$
   • k = 2:
     • $z_2 = \cos \frac{9\pi}{6} + i \sin \frac{9\pi}{6} = \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} = 0 - i = -i$

Ответ:

$\sqrt[3]{i} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, -i$

[Объяснить подробнее]|Объясни решение этих задач максимально подробно с пошаговыми комментариями, укажи все использованные правила и формулы
[Показать теорию]|Объясни теоретические основы и правила, которые использовались в этих задачах, приведи определения и формулы

Ассистент: Язык задания: Ukrainian

Да, именно так и нужно записывать в тетрадь. Вот пример, как оформить решение для Задания 3.3a и 3.3б:

Задание 3.3a: Вычисление $(2 + 2i)^7$ с использованием формулы Муавра

1. Представление в тригонометрической форме:

   • $z = 2 + 2i$
   • $r = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
   • $\varphi = \arctan \frac{2}{2} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}$
   • $z = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$

2. Применение формулы Муавра:

   • $(2 + 2i)^7 = \left( 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \right)^7 = (2\sqrt{2})^7 \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right)$

3. Вычисление $(2\sqrt{2})^7$:

   • $(2\sqrt{2})^7 = 1024\sqrt{2}$

4. Вычисление $\cos \frac{7\pi}{4}$ и $\sin \frac{7\pi}{4}$:

   • $\cos \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
   • $\sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

5. Подстановка значений:

   • $(2 + 2i)^7 = 1024\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1024 - 1024i$

Ответ: $(2 + 2i)^7 = 1024 - 1024i$

Задание 3.3б: Вычисление $\sqrt[3]{i}$ с использованием формулы Муавра

1. Представление $i$ в тригонометрической форме:

   • $i = 0 + 1i$
   • $r = 1$
   • $\varphi = \frac{\pi}{2}$
   • $i = 1 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$

2. Применение формулы для корней:

   • $\sqrt[3]{i} = \cos \frac{\pi + 4\pi k}{6} + i \sin \frac{\pi + 4\pi k}{6}$, где $k = 0, 1, 2$

3. Вычисление корней:

   • $k = 0: z_0 = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}$
   • $k = 1: z_1 = \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}$
   • $k = 2: z_2 = \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} = -i$

Ответ: $\sqrt[3]{i} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, -i$

Важно записывать каждый шаг решения, чтобы было понятно, как вы пришли к ответу. Также, не забывайте указывать формулы, которые вы используете.

[Объяснить подробнее]|Объясни решение этих задач максимально подробно с пошаговыми комментариями, укажи все использованные правила и формулы
[Показать теорию]|Объясни теоретические основы и правила, которые использовались в этих задачах, приведи определения и формулы