好的，让我们来解决这个问题。

Задание 1

Дано $b_n = \frac{1}{2n}$. Требуется доказать, что $\sum_{i=1}^{n} \frac{b_i - b_{i+1}}{\sqrt{b_i}} < \sqrt{2}$.

Решение:

1. Выразим $b_i$ и $b_{i+1}$ через $i$:

   • $b_i = \frac{1}{2i}$
   • $b_{i+1} = \frac{1}{2(i+1)}$

2. Подставим эти выражения в числитель дроби:
   $b_i - b_{i+1} = \frac{1}{2i} - \frac{1}{2(i+1)} = \frac{(i+1) - i}{2i(i+1)} = \frac{1}{2i(i+1)}$

3. Подставим $b_i$ в знаменатель дроби:
   $\sqrt{b_i} = \sqrt{\frac{1}{2i}} = \frac{1}{\sqrt{2i}}$

4. Теперь подставим полученные выражения в исходную сумму:
   $\sum_{i=1}^{n} \frac{b_i - b_{i+1}}{\sqrt{b_i}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\frac{1}{2i(i+1)}}{\frac{1}{\sqrt{2i}}} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\sqrt{2i}}{2i(i+1)} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{\sqrt{i}}{i(i+1)} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{i}(i+1)}$

5. Оценим полученную сумму. Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{i}(i+1)} < \frac{1}{\sqrt{i} \cdot i} = \frac{1}{i^{3/2}}$. Однако, это не поможет нам доказать требуемое неравенство. Попробуем другой подход.

6. Преобразуем выражение $\frac{b_i - b_{i+1}}{\sqrt{b_i}}$:
   $\frac{b_i - b_{i+1}}{\sqrt{b_i}} = \frac{\frac{1}{2i} - \frac{1}{2(i+1)}}{\sqrt{\frac{1}{2i}}} = \frac{\frac{1}{2i(i+1)}}{\frac{1}{\sqrt{2i}}} = \frac{\sqrt{2i}}{2i(i+1)} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{i}(i+1)}$

7. Используем неравенство $\frac{1}{\sqrt{i}(i+1)} < \frac{1}{\sqrt{i} \cdot i} = \frac{1}{i^{3/2}}$. Это не приводит к желаемому результату.

8. Заметим, что $\frac{1}{\sqrt{i}(i+1)} = \frac{1}{\sqrt{i}} - \frac{1}{\sqrt{i+1}}$ неверно.

9. Попробуем оценить сумму, используя интеграл. Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}(x+1)}$. Тогда $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{i}(i+1)} < \int_{1}^{n} \frac{1}{\sqrt{x}(x+1)} dx$.

10. Сделаем замену $x = t^2$, тогда $dx = 2t dt$. Интеграл примет вид:
    $\int_{1}^{\sqrt{n}} \frac{1}{t(t^2+1)} 2t dt = 2 \int_{1}^{\sqrt{n}} \frac{1}{t^2+1} dt = 2 [\arctan(t)]_{1}^{\sqrt{n}} = 2 (\arctan(\sqrt{n}) - \arctan(1)) = 2 (\arctan(\sqrt{n}) - \frac{\pi}{4})$.

11. Таким образом, $\sum_{i=1}^{n} \frac{b_i - b_{i+1}}{\sqrt{b_i}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{i}(i+1)} < \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 (\arctan(\sqrt{n}) - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} (\arctan(\sqrt{n}) - \frac{\pi}{4})$.

12. Поскольку $\arctan(\sqrt{n}) < \frac{\pi}{2}$, то $\sqrt{2} (\arctan(\sqrt{n}) - \frac{\pi}{4}) < \sqrt{2} (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4} \approx \sqrt{2} \cdot \frac{3.14}{4} < \sqrt{2}$.

Ответ: $\sum_{i=1}^{n} \frac{b_i - b_{i+1}}{\sqrt{b_i}} < \sqrt{2}$.

[Объяснить подробнее]|Объясни решение этой задачи максимально подробно с пошаговыми комментариями, укажи все использованные правила и формулы
[Показать теорию]|Объясни теоретические основы и правила, которые использовались в этой задаче, приведи определения и формулы