Для решения заданий из упражнения №178, связанных с квадратичными неравенствами, необходимо проанализировать каждое условие.
а) Выберите неравенство, решением которого является промежуток $[-5; 5]$.
Нам нужно найти неравенство, где значения $x$ находятся внутри корней. Это соответствует виду $x^2 - a^2 \le 0$.
1. $x^2 - 25 \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$
2. $x^2 + 25 \ge 0 \Rightarrow x \in \mathbb{R}$ (любое число)
3. $x^2 - 25 \le 0 \Rightarrow (x-5)(x+5) \le 0 \Rightarrow x \in [-5; 5]$
4. $x^2 + 25 \le 0 \Rightarrow$ решений нет.
Ответ: 3)
б) Выберите неравенство, решением которого является объединение промежутков $(-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$.
Здесь искомые значения находятся снаружи корней. Это соответствует виду $x^2 - a^2 \ge 0$.
1. $x^2 + 36 \ge 0 \Rightarrow x \in \mathbb{R}$
2. $x^2 - 36 \ge 0 \Rightarrow (x-6)(x+6) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$
3. $x^2 + 36 \le 0 \Rightarrow$ решений нет
4. $x^2 - 36 \le 0 \Rightarrow x \in [-6; 6]$
Ответ: 2)
в) Выберите неравенство, которое не имеет решений.
Неравенство не имеет решений, если выражение всегда положительно (например, $x^2 + a > 0$), а знак неравенства требует быть меньше или равно нулю.
1. $x^2 - 49 \ge 0 \Rightarrow$ есть решения
2. $x^2 + 49 \ge 0 \Rightarrow$ решением является любое число
3. $x^2 - 49 \le 0 \Rightarrow$ есть решения (от -7 до 7)
4. $x^2 + 49 \le 0 \Rightarrow$ так как $x^2 + 49$ всегда $\ge 49$, оно никогда не будет $\le 0$.
Ответ: 4)
г) Выберите неравенство, решением которого является любое действительное число.
Сумма квадрата числа и положительного числа всегда больше нуля.
1. $x^2 + 16 \ge 0 \Rightarrow$ верно для любого $x$, так как $x^2 \ge 0$, а $x^2 + 16 \ge 16$.
2. $x^2 - 16 \ge 0 \Rightarrow$ только для $|x| \ge 4$
3. $x^2 + 16 \le 0 \Rightarrow$ решений нет
4. $x^2 - 16 \le 0 \Rightarrow$ только для $x \in [-4; 4]$
Ответ: 1)
Визуализация решений (пример для пункта "а")
