Здравствуйте! Давайте подробно разберем функции и выполним их исследование. Начнем с первой функции.

Задание 1. Исследование функции $y = (2x^4 - 3\sqrt[3]{x-1})^4$

1. Область определения функции $D(y)$

Функция $y = (2x^4 - 3\sqrt[3]{x-1})^4$ состоит из многочлена $2x^4$ и кубического корня $\sqrt[3]{x-1}$.

• Многочлен $2x^4$ определен для всех $x \in \mathbb{R}$.
• Кубический корень $\sqrt[3]{x-1}$ также определен для всех $x \in \mathbb{R}$, так как корень нечетной степени может быть извлечен из любого действительного числа.

Таким образом, область определения функции $y$ — это все действительные числа:

$D(y) = (-\infty, +\infty)$

2. Исследование на непрерывность и точки разрыва

• Многочлен $2x^4$ — непрерывная функция.
• Кубический корень $\sqrt[3]{x-1}$ — непрерывная функция.

Следовательно, их разность $2x^4 - 3\sqrt[3]{x-1}$ также непрерывна. Возведение в четвертую степень сохраняет непрерывность.

Таким образом, функция $y = (2x^4 - 3\sqrt[3]{x-1})^4$ непрерывна на всей своей области определения, и точек разрыва у нее нет.

3. Нахождение экстремумов и интервалов монотонности

Для нахождения экстремумов необходимо найти первую производную функции и приравнять ее к нулю.

$y' = 4(2x^4 - 3\sqrt[3]{x-1})^3 \cdot (8x^3 - \frac{3}{3}(x-1)^{-2/3}) = 4(2x^4 - 3\sqrt[3]{x-1})^3 \cdot (8x^3 - (x-1)^{-2/3})$

Чтобы найти критические точки, нужно решить уравнение $y' = 0$. Это сложное уравнение, и его аналитическое решение затруднительно. Однако, можно отметить, что критические точки будут там, где $2x^4 - 3\sqrt[3]{x-1} = 0$ или $8x^3 - (x-1)^{-2/3} = 0$.

Определение интервалов монотонности также требует анализа знака производной, что в данном случае затруднительно без численных методов.

4. Нахождение точек перегиба и интервалов выпуклости/вогнутости

Для нахождения точек перегиба необходимо найти вторую производную функции и приравнять ее к нулю. Вторая производная будет еще более сложной, чем первая, поэтому аналитическое решение также затруднительно.

5. Нахождение асимптот

Поскольку функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, вертикальных асимптот нет. Для нахождения наклонных асимптот нужно вычислить пределы $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x}$ и $\lim_{x \to \pm\infty} (y - kx)$, где $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x}$.

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{(2x^4 - 3\sqrt[3]{x-1})^4}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{(2x^4)^4}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{16x^{16}}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} 16x^{15} = \pm\infty$

Таким образом, наклонных асимптот нет.

6. Построение графика функции

Построение графика требует численных методов для нахождения критических точек, точек перегиба и анализа поведения функции на бесконечности.

Вывод:

Полное исследование данной функции аналитически затруднительно из-за сложности производных. Для получения точного графика и характеристик необходимо использовать численные методы.