Я — ИИ-ассистент от Homiwork. Сейчас я помогу вам решить эти задания.

Задание 1

Функция $y = \log_a x$ является убывающей, если основание логарифма $a$ находится в интервале $(0, 1)$.

• a) $y = \log_{1.1} x$ - основание $1.1 > 1$, функция возрастающая.
• б) $y = \log_{0.(6)} x = \log_{\frac{2}{3}} x$ - основание $\frac{2}{3} \approx 0.666 < 1$, функция убывающая.
• в) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ - основание $\frac{1}{3} < 1$, функция убывающая.
• г) $y = \log_{\sqrt{3}} x$ - основание $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, функция возрастающая.

Таким образом, убывающие функции: б) и в).

Ответ: б) $y = \log_{0.(6)} x$ и в) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$

Задание 2

Дана функция $f(x) = \log_2 x$. Нужно найти верное равенство.

• a) $f(\sqrt{2}) = \log_2 \sqrt{2} = \log_2 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_2 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \neq 2$
• б) $f(\sqrt{2}) = \log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2} \neq -2$
• в) $f(\sqrt{2}) = \log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2}$
• г) $f(\sqrt{2}) = \log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}$

Таким образом, верное равенство: в) $f(\sqrt{2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: в) $f(\sqrt{2}) = \frac{1}{2}$

Задание 3

Сравнить $g(-4.31)$ и $g(-4.3)$, если $g(x) = \log_{0.7} x$.

Так как основание логарифма $0.7 < 1$, функция $g(x) = \log_{0.7} x$ является убывающей. Это означает, что чем больше аргумент $x$, тем меньше значение функции $g(x)$.

Сравниваем аргументы: $-4.31 < -4.3$.
Так как функция убывает, то $g(-4.31) > g(-4.3)$.

Ответ: $g(-4.31) > g(-4.3)$

Задание 4

Найти производную функции $y = \ln(3x - 1)$.

Используем правило производной сложной функции: $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.
В данном случае $u = 3x - 1$, тогда $u' = (3x - 1)' = 3$.

Следовательно, $y' = \frac{3}{3x - 1}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{3x - 1}$

Задание 5

Исследовать на четность (нечетность) функцию $f(x) = \log_7 \frac{x+3}{x-3}$.

Функция является четной, если $f(-x) = f(x)$, и нечетной, если $f(-x) = -f(x)$.

Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \log_7 \frac{-x+3}{-x-3} = \log_7 \frac{-(x-3)}{-(x+3)} = \log_7 \frac{x-3}{x+3} = \log_7 \left(\frac{x+3}{x-3}\right)^{-1} = -\log_7 \frac{x+3}{x-3} = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция $f(x)$ является нечетной.

Ответ: Функция $f(x)$ является нечетной.

Задание 6

График функции $y = f(x)$ получен из графика функции $g(x) = \log_{\sqrt{2}} x$ сдвигом его на 5 единиц влево вдоль оси абсцисс и на 4 единицы вверх вдоль оси ординат. Найти ординату точки пересечения графика функции $y = f(x)$ и прямой $x = 27$.

Сдвиг на 5 единиц влево означает замену $x$ на $(x+5)$. Сдвиг на 4 единицы вверх означает добавление 4 к функции.
Таким образом, $f(x) = \log_{\sqrt{2}} (x+5) + 4$.

Находим ординату точки пересечения графика $y = f(x)$ и прямой $x = 27$:
$f(27) = \log_{\sqrt{2}} (27+5) + 4 = \log_{\sqrt{2}} 32 + 4$.

Так как $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$, то $\log_{\sqrt{2}} 32 = \log_{2^{\frac{1}{2}}} 2^5 = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10$.

Следовательно, $f(27) = 10 + 4 = 14$.

Ответ: Ордината точки пересечения равна 14.

Ассистент: ## Задание 7

Найти область определения функции $f(x) = \log_{x-4} (6x - x^2)$.

Область определения логарифмической функции определяется следующими условиями:
1. Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1: $x - 4 > 0$ и $x - 4 \neq 1$.
2. Аргумент логарифма должен быть положительным: $6x - x^2 > 0$.

Решаем первое условие:
* $x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4$
* $x - 4 \neq 1 \Rightarrow x \neq 5$

Решаем второе условие:
$6x - x^2 > 0 \Rightarrow x(6 - x) > 0 \Rightarrow x(x - 6) < 0$.
Решением этого неравенства является интервал $0 < x < 6$.

Объединяем все условия:
* $x > 4$
* $x \neq 5$
* $0 < x < 6$

Пересечением этих условий является интервал $(4, 5) \cup (5, 6)$.

Ответ: Область определения функции: $(4, 5) \cup (5, 6)$.

Задание 8

Вычислить $f'(1)$, если $f(x) = 5^x \cdot \log_3 x$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
В данном случае $u = 5^x$ и $v = \log_3 x$.

Производные:
* $u' = (5^x)' = 5^x \ln 5$
* $v' = (\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$

Тогда $f'(x) = (5^x \ln 5) \cdot \log_3 x + 5^x \cdot \frac{1}{x \ln 3}$.

Теперь найдем $f'(1)$:
$f'(1) = (5^1 \ln 5) \cdot \log_3 1 + 5^1 \cdot \frac{1}{1 \ln 3} = 5 \ln 5 \cdot 0 + 5 \cdot \frac{1}{\ln 3} = 0 + \frac{5}{\ln 3} = \frac{5}{\ln 3}$.

Ответ: $f'(1) = \frac{5}{\ln 3}$

Задание 9

Найти множество значений функции $y = \log_{\sqrt{3}} (x^2 + 2x + 82)$.

Рассмотрим аргумент логарифма: $x^2 + 2x + 82$. Это квадратный трехчлен. Найдем его минимум.
Выделим полный квадрат: $x^2 + 2x + 82 = (x^2 + 2x + 1) + 81 = (x + 1)^2 + 81$.

Минимальное значение этого выражения достигается при $x = -1$ и равно $( -1 + 1)^2 + 81 = 81$.
Таким образом, $x^2 + 2x + 82 \geq 81$.

Теперь рассмотрим логарифм: $y = \log_{\sqrt{3}} (x^2 + 2x + 82)$.
Так как основание логарифма $\sqrt{3} > 1$, функция возрастает.
Минимальное значение логарифма достигается при минимальном значении аргумента:
$y_{min} = \log_{\sqrt{3}} 81 = \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^8 = 8$.

Так как аргумент может принимать любые значения больше или равные 81, а функция логарифма возрастает, то множество значений функции: $[8, +\infty)$.

Ответ: Множество значений функции: $[8, +\infty)$.

Я — ИИ-ассистент от Homiwork. Сейчас я помогу вам решить эти задания.

Задание 10

Построить график функции $f(x) = \log_2 \frac{1}{|x-2|}$.

Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
$f(x) = \log_2 \frac{1}{|x-2|} = \log_2 ( |x-2|^{-1} ) = - \log_2 |x-2|$.

Теперь проанализируем эту функцию:
1. Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным.
$\frac{1}{|x-2|} > 0$. Это условие выполняется для всех $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.
$|x-2| \neq 0 \Rightarrow x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
Таким образом, область определения: $D(f) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

2. Симметрия: Функция содержит $|x-2|$, что указывает на симметрию относительно прямой $x=2$.
   Если мы сделаем замену $t = x-2$, то функция примет вид $g(t) = -\log_2 |t|$. Эта функция четная относительно $t=0$. Значит, исходная функция симметрична относительно $x=2$.

3. Поведение при $x \to 2$:
   При $x \to 2$, $|x-2| \to 0^+$.
   Тогда $\log_2 |x-2| \to -\infty$.
   Следовательно, $f(x) = -\log_2 |x-2| \to -(-\infty) = +\infty$.
   Прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

4. Поведение при $x \to \pm \infty$:
   При $x \to \pm \infty$, $|x-2| \to +\infty$.
   Тогда $\log_2 |x-2| \to +\infty$.
   Следовательно, $f(x) = -\log_2 |x-2| \to -\infty$.

5. Нули функции:
   $f(x) = 0 \Rightarrow -\log_2 |x-2| = 0 \Rightarrow \log_2 |x-2| = 0$.
   Это означает, что $|x-2| = 2^0 = 1$.
   $x-2 = 1$ или $x-2 = -1$.
   $x = 3$ или $x = 1$.
   Точки пересечения с осью $Ox$: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

6. Построение графика:

   • Начнем с графика $y = \log_2 x$.
   • Затем построим $y = \log_2 |x|$. Это симметричное отражение части графика $y = \log_2 x$ для $x>0$ относительно оси $Oy$.
   • Далее, $y = \log_2 |x-2|$. Это сдвиг графика $y = \log_2 |x|$ на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота перемещается на $x=2$.
   • Наконец, $y = -\log_2 |x-2|$. Это отражение графика $y = \log_2 |x-2|$ относительно оси $Ox$.

График функции:
График будет иметь вертикальную асимптоту $x=2$.
Функция будет возрастать от $-\infty$ до $+\infty$ при $x \in (-\infty, 2)$ и убывать от $+\infty$ до $-\infty$ при $x \in (2, +\infty)$.
Точки пересечения с осью $Ox$: $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

Примерные значения:
* $x=0: f(0) = -\log_2 |0-2| = -\log_2 2 = -1$. Точка $(0, -1)$.
* $x=1: f(1) = 0$.
* $x=3: f(3) = 0$.
* $x=4: f(4) = -\log_2 |4-2| = -\log_2 2 = -1$. Точка $(4, -1)$.

Ответ: График функции $f(x) = \log_2 \frac{1}{|x-2|}$ представляет собой две симметричные ветви, отраженные относительно оси $Ox$ от графика $y = \log_2 |x-2|$, с вертикальной асимптотой $x=2$.