Решение задач по логарифмам

Я — ИИ-ассистент от Homiwork. Сейчас я помогу вам решить эти задания.

Задание 1

Функция \(y = \log_a x\) является убывающей, если основание логарифма \(a\) находится в интервале \((0, 1)\).

• a) \(y = \log_{1.1} x\) - основание \(1.1 > 1\), функция возрастающая.
• б) \(y = \log_{0.(6)} x = \log_{\frac{2}{3}} x\) - основание \(\frac{2}{3} \approx 0.666 < 1\), функция убывающая.
• в) \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\) - основание \(\frac{1}{3} < 1\), функция убывающая.
• г) \(y = \log_{\sqrt{3}} x\) - основание \(\sqrt{3} \approx 1.732 > 1\), функция возрастающая.

Таким образом, убывающие функции: б) и в).

Ответ: б) \(y = \log_{0.(6)} x\) и в) \(y = \log_{\frac{1}{3}} x\)

Задание 2

Дана функция \(f(x) = \log_2 x\). Нужно найти верное равенство.

• a) \(f(\sqrt{2}) = \log_2 \sqrt{2} = \log_2 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_2 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \neq 2\)
• б) \(f(\sqrt{2}) = \log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2} \neq -2\)
• в) \(f(\sqrt{2}) = \log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2}\)
• г) \(f(\sqrt{2}) = \log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2} \neq -\frac{1}{2}\)

Таким образом, верное равенство: в) \(f(\sqrt{2}) = \frac{1}{2}\).

Ответ: в) \(f(\sqrt{2}) = \frac{1}{2}\)

Задание 3

Сравнить \(g(-4.31)\) и \(g(-4.3)\), если \(g(x) = \log_{0.7} x\).

Так как основание логарифма \(0.7 < 1\), функция \(g(x) = \log_{0.7} x\) является убывающей. Это означает, что чем больше аргумент \(x\), тем меньше значение функции \(g(x)\).

Сравниваем аргументы: \(-4.31 < -4.3\).
Так как функция убывает, то \(g(-4.31) > g(-4.3)\).

Ответ: \(g(-4.31) > g(-4.3)\)

Задание 4

Найти производную функции \(y = \ln(3x - 1)\).

Используем правило производной сложной функции: \((\ln u)' = \frac{u'}{u}\).
В данном случае \(u = 3x - 1\), тогда \(u' = (3x - 1)' = 3\).

Следовательно, \(y' = \frac{3}{3x - 1}\).

Ответ: \(y' = \frac{3}{3x - 1}\)

Задание 5

Исследовать на четность (нечетность) функцию \(f(x) = \log_7 \frac{x+3}{x-3}\).

Функция является четной, если \(f(-x) = f(x)\), и нечетной, если \(f(-x) = -f(x)\).

Найдем \(f(-x)\):
\(f(-x) = \log_7 \frac{-x+3}{-x-3} = \log_7 \frac{-(x-3)}{-(x+3)} = \log_7 \frac{x-3}{x+3} = \log_7 \left(\frac{x+3}{x-3}\right)^{-1} = -\log_7 \frac{x+3}{x-3} = -f(x)\).

Так как \(f(-x) = -f(x)\), функция \(f(x)\) является нечетной.

Ответ: Функция \(f(x)\) является нечетной.

Задание 6

График функции \(y = f(x)\) получен из графика функции \(g(x) = \log_{\sqrt{2}} x\) сдвигом его на 5 единиц влево вдоль оси абсцисс и на 4 единицы вверх вдоль оси ординат. Найти ординату точки пересечения графика функции \(y = f(x)\) и прямой \(x = 27\).

Сдвиг на 5 единиц влево означает замену \(x\) на \((x+5)\). Сдвиг на 4 единицы вверх означает добавление 4 к функции.
Таким образом, \(f(x) = \log_{\sqrt{2}} (x+5) + 4\).

Находим ординату точки пересечения графика \(y = f(x)\) и прямой \(x = 27\):
\(f(27) = \log_{\sqrt{2}} (27+5) + 4 = \log_{\sqrt{2}} 32 + 4\).

Так как \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\), то \(\log_{\sqrt{2}} 32 = \log_{2^{\frac{1}{2}}} 2^5 = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10\).

Следовательно, \(f(27) = 10 + 4 = 14\).

Ответ: Ордината точки пересечения равна 14.

Ассистент: ## Задание 7

Найти область определения функции \(f(x) = \log_{x-4} (6x - x^2)\).

Область определения логарифмической функции определяется следующими условиями:
1. Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1: \(x - 4 > 0\) и \(x - 4 \neq 1\).
2. Аргумент логарифма должен быть положительным: \(6x - x^2 > 0\).

Решаем первое условие:
* \(x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4\)
* \(x - 4 \neq 1 \Rightarrow x \neq 5\)

Решаем второе условие:
\(6x - x^2 > 0 \Rightarrow x(6 - x) > 0 \Rightarrow x(x - 6) < 0\).
Решением этого неравенства является интервал \(0 < x < 6\).

Объединяем все условия:
* \(x > 4\)
* \(x \neq 5\)
* \(0 < x < 6\)

Пересечением этих условий является интервал \((4, 5) \cup (5, 6)\).

Ответ: Область определения функции: \((4, 5) \cup (5, 6)\).

Задание 8

Вычислить \(f'(1)\), если \(f(x) = 5^x \cdot \log_3 x\).

Сначала найдем производную функции \(f(x)\). Используем правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\).
В данном случае \(u = 5^x\) и \(v = \log_3 x\).

Производные:
* \(u' = (5^x)' = 5^x \ln 5\)
* \(v' = (\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}\)

Тогда \(f'(x) = (5^x \ln 5) \cdot \log_3 x + 5^x \cdot \frac{1}{x \ln 3}\).

Теперь найдем \(f'(1)\):
\(f'(1) = (5^1 \ln 5) \cdot \log_3 1 + 5^1 \cdot \frac{1}{1 \ln 3} = 5 \ln 5 \cdot 0 + 5 \cdot \frac{1}{\ln 3} = 0 + \frac{5}{\ln 3} = \frac{5}{\ln 3}\).

Ответ: \(f'(1) = \frac{5}{\ln 3}\)

Задание 9

Найти множество значений функции \(y = \log_{\sqrt{3}} (x^2 + 2x + 82)\).

Рассмотрим аргумент логарифма: \(x^2 + 2x + 82\). Это квадратный трехчлен. Найдем его минимум.
Выделим полный квадрат: \(x^2 + 2x + 82 = (x^2 + 2x + 1) + 81 = (x + 1)^2 + 81\).

Минимальное значение этого выражения достигается при \(x = -1\) и равно \(( -1 + 1)^2 + 81 = 81\).
Таким образом, \(x^2 + 2x + 82 \geq 81\).

Теперь рассмотрим логарифм: \(y = \log_{\sqrt{3}} (x^2 + 2x + 82)\).
Так как основание логарифма \(\sqrt{3} > 1\), функция возрастает.
Минимальное значение логарифма достигается при минимальном значении аргумента:
\(y_{min} = \log_{\sqrt{3}} 81 = \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^8 = 8\).

Так как аргумент может принимать любые значения больше или равные 81, а функция логарифма возрастает, то множество значений функции: \([8, +\infty)\).

Ответ: Множество значений функции: \([8, +\infty)\).

Я — ИИ-ассистент от Homiwork. Сейчас я помогу вам решить эти задания.

Задание 10

Построить график функции \(f(x) = \log_2 \frac{1}{|x-2|}\).

Преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
\(f(x) = \log_2 \frac{1}{|x-2|} = \log_2 ( |x-2|^{-1} ) = - \log_2 |x-2|\).

Теперь проанализируем эту функцию:
1. Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным.
\(\frac{1}{|x-2|} > 0\). Это условие выполняется для всех \(x\), кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.
\(|x-2| \neq 0 \Rightarrow x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\).
Таким образом, область определения: \(D(f) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)\).

2. Симметрия: Функция содержит \(|x-2|\), что указывает на симметрию относительно прямой \(x=2\).
   Если мы сделаем замену \(t = x-2\), то функция примет вид \(g(t) = -\log_2 |t|\). Эта функция четная относительно \(t=0\). Значит, исходная функция симметрична относительно \(x=2\).

3. Поведение при \(x \to 2\):
   При \(x \to 2\), \(|x-2| \to 0^+\).
   Тогда \(\log_2 |x-2| \to -\infty\).
   Следовательно, \(f(x) = -\log_2 |x-2| \to -(-\infty) = +\infty\).
   Прямая \(x=2\) является вертикальной асимптотой.

4. Поведение при \(x \to \pm \infty\):
   При \(x \to \pm \infty\), \(|x-2| \to +\infty\).
   Тогда \(\log_2 |x-2| \to +\infty\).
   Следовательно, \(f(x) = -\log_2 |x-2| \to -\infty\).

5. Нули функции:
   \(f(x) = 0 \Rightarrow -\log_2 |x-2| = 0 \Rightarrow \log_2 |x-2| = 0\).
   Это означает, что \(|x-2| = 2^0 = 1\).
   \(x-2 = 1\) или \(x-2 = -1\).
   \(x = 3\) или \(x = 1\).
   Точки пересечения с осью \(Ox\): \((1, 0)\) и \((3, 0)\).

6. Построение графика:

   • Начнем с графика \(y = \log_2 x\).
   • Затем построим \(y = \log_2 |x|\). Это симметричное отражение части графика \(y = \log_2 x\) для \(x>0\) относительно оси \(Oy\).
   • Далее, \(y = \log_2 |x-2|\). Это сдвиг графика \(y = \log_2 |x|\) на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота перемещается на \(x=2\).
   • Наконец, \(y = -\log_2 |x-2|\). Это отражение графика \(y = \log_2 |x-2|\) относительно оси \(Ox\).

График функции:
График будет иметь вертикальную асимптоту \(x=2\).
Функция будет возрастать от \(-\infty\) до \(+\infty\) при \(x \in (-\infty, 2)\) и убывать от \(+\infty\) до \(-\infty\) при \(x \in (2, +\infty)\).
Точки пересечения с осью \(Ox\): \((1, 0)\) и \((3, 0)\).

Примерные значения:
* \(x=0: f(0) = -\log_2 |0-2| = -\log_2 2 = -1\). Точка \((0, -1)\).
* \(x=1: f(1) = 0\).
* \(x=3: f(3) = 0\).
* \(x=4: f(4) = -\log_2 |4-2| = -\log_2 2 = -1\). Точка \((4, -1)\).

Ответ: График функции \(f(x) = \log_2 \frac{1}{|x-2|}\) представляет собой две симметричные ветви, отраженные относительно оси \(Ox\) от графика \(y = \log_2 |x-2|\), с вертикальной асимптотой \(x=2\).