Решение интегралов повышенной сложности

Привет! Давай разберем эти интегралы.

Задание 9a

Интеграл: \(\int \frac{x^2}{5-x^6} dx\)

1. Преобразуем подынтегральное выражение:
   Заметим, что \(x^6 = (x^3)^2\). Тогда интеграл можно переписать как:
   \(\int \frac{x^2}{5-(x^3)^2} dx\)

2. Замена переменной:
   Пусть \(u = x^3\), тогда \(du = 3x^2 dx\), и \(x^2 dx = \frac{1}{3} du\).
   Интеграл примет вид:
   \(\frac{1}{3} \int \frac{1}{5-u^2} du\)

3. Используем формулу для интеграла вида \(\int \frac{1}{a^2 - x^2} dx\):
   \(\int \frac{1}{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C\)
   В нашем случае \(a^2 = 5\), значит \(a = \sqrt{5}\).

4. Применяем формулу:
   \(\frac{1}{3} \int \frac{1}{5-u^2} du = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{5}} \ln \left| \frac{\sqrt{5}+u}{\sqrt{5}-u} \right| + C\)

5. Возвращаемся к исходной переменной:
   Заменяем \(u\) на \(x^3\):
   \(\frac{1}{6\sqrt{5}} \ln \left| \frac{\sqrt{5}+x^3}{\sqrt{5}-x^3} \right| + C\)

Ответ:
\(\int \frac{x^2}{5-x^6} dx = \frac{1}{6\sqrt{5}} \ln \left| \frac{\sqrt{5}+x^3}{\sqrt{5}-x^3} \right| + C\)

Задание 9б

Интеграл: \(\int \frac{dx}{\sqrt{x(3x+5)}}\)

1. Преобразуем подынтегральное выражение:
   \(\int \frac{dx}{\sqrt{3x^2+5x}}\)

2. Выделяем полный квадрат под корнем:
   \(3x^2 + 5x = 3\left(x^2 + \frac{5}{3}x\right) = 3\left(x^2 + \frac{5}{3}x + \left(\frac{5}{6}\right)^2 - \left(\frac{5}{6}\right)^2\right) = 3\left(\left(x + \frac{5}{6}\right)^2 - \frac{25}{36}\right)\)

3. Перепишем интеграл:
   \(\int \frac{dx}{\sqrt{3\left(\left(x + \frac{5}{6}\right)^2 - \frac{25}{36}\right)}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{dx}{\sqrt{\left(x + \frac{5}{6}\right)^2 - \left(\frac{5}{6}\right)^2}}\)

4. Замена переменной:
   Пусть \(u = x + \frac{5}{6}\), тогда \(du = dx\).
   Интеграл примет вид:
   \(\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{du}{\sqrt{u^2 - \left(\frac{5}{6}\right)^2}}\)

5. Используем формулу для интеграла вида \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx\):
   \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C\)
   В нашем случае \(a = \frac{5}{6}\).

6. Применяем формулу:
   \(\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{du}{\sqrt{u^2 - \left(\frac{5}{6}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \ln \left|u + \sqrt{u^2 - \left(\frac{5}{6}\right)^2}\right| + C\)

7. Возвращаемся к исходной переменной:
   Заменяем \(u\) на \(x + \frac{5}{6}\):
   \(\frac{1}{\sqrt{3}} \ln \left|x + \frac{5}{6} + \sqrt{\left(x + \frac{5}{6}\right)^2 - \frac{25}{36}}\right| + C\)

8. Упростим выражение под корнем:
   \(\left(x + \frac{5}{6}\right)^2 - \frac{25}{36} = x^2 + \frac{5}{3}x + \frac{25}{36} - \frac{25}{36} = x^2 + \frac{5}{3}x\)

9. Окончательный вид интеграла:
   \(\frac{1}{\sqrt{3}} \ln \left|x + \frac{5}{6} + \sqrt{x^2 + \frac{5}{3}x}\right| + C = \frac{1}{\sqrt{3}} \ln \left|x + \frac{5}{6} + \sqrt{\frac{3x^2 + 5x}{3}}\right| + C\)

Ответ:
\(\int \frac{dx}{\sqrt{x(3x+5)}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \ln \left|x + \frac{5}{6} + \sqrt{\frac{3x^2 + 5x}{3}}\right| + C\)

Задание 9в

Интеграл: \(\int x \operatorname{arctg} \sqrt{x^2-1} dx\)

1. Замена переменной:
   Пусть \(u = \sqrt{x^2 - 1}\), тогда \(u^2 = x^2 - 1\), и \(x^2 = u^2 + 1\).
   Дифференцируем \(u^2 = x^2 - 1\): \(2u \, du = 2x \, dx\), следовательно, \(x \, dx = u \, du\).

2. Перепишем интеграл:
   \(\int \operatorname{arctg} (u) \cdot u \, du\)

3. Интегрирование по частям:
   Пусть \(v = \operatorname{arctg} (u)\), тогда \(dv = \frac{1}{1+u^2} du\).
   Пусть \(dw = u \, du\), тогда \(w = \frac{1}{2}u^2\).
   Используем формулу интегрирования по частям: \(\int v \, dw = v \cdot w - \int w \, dv\)
   \(\int \operatorname{arctg} (u) \cdot u \, du = \frac{1}{2}u^2 \operatorname{arctg} (u) - \frac{1}{2} \int \frac{u^2}{1+u^2} du\)

4. Преобразуем интеграл \(\int \frac{u^2}{1+u^2} du\):
   \(\int \frac{u^2}{1+u^2} du = \int \frac{u^2 + 1 - 1}{1+u^2} du = \int \left(1 - \frac{1}{1+u^2}\right) du = u - \operatorname{arctg} (u) + C_1\)

5. Подставим результат обратно:
   \(\frac{1}{2}u^2 \operatorname{arctg} (u) - \frac{1}{2} \int \frac{u^2}{1+u^2} du = \frac{1}{2}u^2 \operatorname{arctg} (u) - \frac{1}{2} (u - \operatorname{arctg} (u)) + C\)

6. Возвращаемся к исходной переменной:
   Заменяем \(u\) на \(\sqrt{x^2 - 1}\):
   \(\frac{1}{2}(x^2 - 1) \operatorname{arctg} (\sqrt{x^2 - 1}) - \frac{1}{2} (\sqrt{x^2 - 1} - \operatorname{arctg} (\sqrt{x^2 - 1})) + C\)

7. Упростим выражение:
   \(\frac{1}{2}(x^2 - 1) \operatorname{arctg} (\sqrt{x^2 - 1}) - \frac{1}{2}\sqrt{x^2 - 1} + \frac{1}{2}\operatorname{arctg} (\sqrt{x^2 - 1}) + C = \frac{1}{2}x^2 \operatorname{arctg} (\sqrt{x^2 - 1}) - \frac{1}{2}\sqrt{x^2 - 1} + C\)

Ответ:
\(\int x \operatorname{arctg} \sqrt{x^2-1} dx = \frac{1}{2}x^2 \operatorname{arctg} (\sqrt{x^2 - 1}) - \frac{1}{2}\sqrt{x^2 - 1} + C\)

Ассистент: Отлично, продолжаем!

Задание 10a

Интеграл: \(\int \frac{dx}{(1+x^2)\operatorname{arctg}^2 x}\)

1. Замена переменной:
   Пусть \(u = \operatorname{arctg} x\), тогда \(du = \frac{1}{1+x^2} dx\).

2. Перепишем интеграл:
   \(\int \frac{du}{u^2}\)

3. Вычислим интеграл:
   \(\int u^{-2} du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C\)

4. Возвращаемся к исходной переменной:
   Заменяем \(u\) на \(\operatorname{arctg} x\):
   \(-\frac{1}{\operatorname{arctg} x} + C\)

Ответ:
\(\int \frac{dx}{(1+x^2)\operatorname{arctg}^2 x} = -\frac{1}{\operatorname{arctg} x} + C\)

Задание 10б

Интеграл: \(\int \frac{dx}{\sqrt{5x^2-x-1}}\)

1. Преобразуем подкоренное выражение:
   \(5x^2 - x - 1 = 5\left(x^2 - \frac{1}{5}x\right) - 1 = 5\left(x^2 - \frac{1}{5}x + \left(\frac{1}{10}\right)^2 - \left(\frac{1}{10}\right)^2\right) - 1 = 5\left(\left(x - \frac{1}{10}\right)^2 - \frac{1}{100}\right) - 1 = 5\left(x - \frac{1}{10}\right)^2 - \frac{1}{20} - 1 = 5\left(x - \frac{1}{10}\right)^2 - \frac{21}{20}\)

2. Перепишем интеграл:
   \(\int \frac{dx}{\sqrt{5\left(x - \frac{1}{10}\right)^2 - \frac{21}{20}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{dx}{\sqrt{\left(x - \frac{1}{10}\right)^2 - \frac{21}{100}}}\)

3. Замена переменной:
   Пусть \(u = x - \frac{1}{10}\), тогда \(du = dx\).
   Интеграл примет вид:
   \(\frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{du}{\sqrt{u^2 - \frac{21}{100}}}\)

4. Используем формулу для интеграла вида \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx\):
   \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \ln |x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C\)
   В нашем случае \(a^2 = \frac{21}{100}\), значит \(a = \frac{\sqrt{21}}{10}\).

5. Применяем формулу:
   \(\frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{du}{\sqrt{u^2 - \frac{21}{100}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \ln \left|u + \sqrt{u^2 - \frac{21}{100}}\right| + C\)

6. Возвращаемся к исходной переменной:
   Заменяем \(u\) на \(x - \frac{1}{10}\):
   \(\frac{1}{\sqrt{5}} \ln \left|x - \frac{1}{10} + \sqrt{\left(x - \frac{1}{10}\right)^2 - \frac{21}{100}}\right| + C\)

7. Упростим выражение под корнем:
   \(\left(x - \frac{1}{10}\right)^2 - \frac{21}{100} = x^2 - \frac{1}{5}x + \frac{1}{100} - \frac{21}{100} = x^2 - \frac{1}{5}x - \frac{20}{100} = x^2 - \frac{1}{5}x - \frac{1}{5}\)
   Тогда \(5x^2 - x - 1 = 5\left(x^2 - \frac{1}{5}x - \frac{1}{5}\right)\)

8. Окончательный вид интеграла:
   \(\frac{1}{\sqrt{5}} \ln \left|x - \frac{1}{10} + \sqrt{x^2 - \frac{1}{5}x - \frac{1}{5}}\right| + C = \frac{1}{\sqrt{5}} \ln \left|x - \frac{1}{10} + \sqrt{\frac{5x^2 - x - 1}{5}}\right| + C\)

Ответ:
\(\int \frac{dx}{\sqrt{5x^2-x-1}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \ln \left|x - \frac{1}{10} + \sqrt{\frac{5x^2 - x - 1}{5}}\right| + C\)

Задание 10в

Интеграл: \(\int x^2 \cos \frac{x}{2} dx\)

1. Интегрирование по частям (дважды):
   Пусть \(u = x^2\), тогда \(du = 2x \, dx\).
   Пусть \(dv = \cos \frac{x}{2} dx\), тогда \(v = 2\sin \frac{x}{2}\).
   Используем формулу интегрирования по частям: \(\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du\)
   \(\int x^2 \cos \frac{x}{2} dx = 2x^2 \sin \frac{x}{2} - \int 2\sin \frac{x}{2} \cdot 2x \, dx = 2x^2 \sin \frac{x}{2} - 4 \int x \sin \frac{x}{2} dx\)

2. Интегрирование по частям еще раз:
   Пусть \(u = x\), тогда \(du = dx\).
   Пусть \(dv = \sin \frac{x}{2} dx\), тогда \(v = -2\cos \frac{x}{2}\).
   \(\int x \sin \frac{x}{2} dx = -2x \cos \frac{x}{2} - \int -2\cos \frac{x}{2} dx = -2x \cos \frac{x}{2} + 2 \int \cos \frac{x}{2} dx = -2x \cos \frac{x}{2} + 4\sin \frac{x}{2} + C_1\)

3. Подставим результат обратно:
   \(2x^2 \sin \frac{x}{2} - 4 \int x \sin \frac{x}{2} dx = 2x^2 \sin \frac{x}{2} - 4(-2x \cos \frac{x}{2} + 4\sin \frac{x}{2}) + C = 2x^2 \sin \frac{x}{2} + 8x \cos \frac{x}{2} - 16\sin \frac{x}{2} + C\)

Ответ:
\(\int x^2 \cos \frac{x}{2} dx = 2x^2 \sin \frac{x}{2} + 8x \cos \frac{x}{2} - 16\sin \frac{x}{2} + C\)

Ассистент: Продолжаем решать интегралы!

Задание 11a

Интеграл: \(\int \frac{x}{\sqrt{12-x^2}} dx\)

1. Замена переменной:
   Пусть \(u = 12 - x^2\), тогда \(du = -2x \, dx\), и \(x \, dx = -\frac{1}{2} du\).

2. Перепишем интеграл:
   \(\int \frac{-\frac{1}{2} du}{\sqrt{u}} = -\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du\)

3. Вычислим интеграл:
   \(-\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = -u^{1/2} + C = -\sqrt{u} + C\)

4. Возвращаемся к исходной переменной:
   Заменяем \(u\) на \(12 - x^2\):
   \(-\sqrt{12 - x^2} + C\)

Ответ:
\(\int \frac{x}{\sqrt{12-x^2}} dx = -\sqrt{12 - x^2} + C\)

Задание 11б

Интеграл: \(\int \frac{3x^2 - 2}{x^3 - 2x + 1} dx\)

1. Заметим, что производная знаменателя похожа на числитель:
   Производная \(x^3 - 2x + 1\) равна \(3x^2 - 2\).

2. Замена переменной:
   Пусть \(u = x^3 - 2x + 1\), тогда \(du = (3x^2 - 2) dx\).

3. Перепишем интеграл:
   \(\int \frac{du}{u}\)

4. Вычислим интеграл:
   \(\int \frac{du}{u} = \ln |u| + C\)

5. Возвращаемся к исходной переменной:
   Заменяем \(u\) на \(x^3 - 2x + 1\):
   \(\ln |x^3 - 2x + 1| + C\)

Ответ:
\(\int \frac{3x^2 - 2}{x^3 - 2x + 1} dx = \ln |x^3 - 2x + 1| + C\)

Задание 11в

Интеграл: \(\int \sqrt[3]{x} \ln x \, dx\)

1. Преобразуем подынтегральное выражение:
   \(\int x^{1/3} \ln x \, dx\)

2. Интегрирование по частям:
   Пусть \(u = \ln x\), тогда \(du = \frac{1}{x} dx\).
   Пусть \(dv = x^{1/3} dx\), тогда \(v = \frac{3}{4}x^{4/3}\).
   Используем формулу интегрирования по частям: \(\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du\)
   \(\int x^{1/3} \ln x \, dx = \frac{3}{4}x^{4/3} \ln x - \int \frac{3}{4}x^{4/3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{3}{4}x^{4/3} \ln x - \frac{3}{4} \int x^{1/3} dx\)

3. Вычислим интеграл \(\int x^{1/3} dx\):
   \(\int x^{1/3} dx = \frac{3}{4}x^{4/3} + C_1\)

4. Подставим результат обратно:
   \(\frac{3}{4}x^{4/3} \ln x - \frac{3}{4} \int x^{1/3} dx = \frac{3}{4}x^{4/3} \ln x - \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}x^{4/3} + C = \frac{3}{4}x^{4/3} \ln x - \frac{9}{16}x^{4/3} + C\)

Ответ:
\(\int \sqrt[3]{x} \ln x \, dx = \frac{3}{4}x^{4/3} \ln x - \frac{9}{16}x^{4/3} + C\)

Ассистент: Продолжаем решать!

Задание 12a

Интеграл: \(\int \sqrt{(5-x^2)^5} x \, dx\)

1. Преобразуем подынтегральное выражение:
   \(\int (5-x^2)^{5/2} x \, dx\)

2. Замена переменной:
   Пусть \(u = 5 - x^2\), тогда \(du = -2x \, dx\), и \(x \, dx = -\frac{1}{2} du\).

3. Перепишем интеграл:
   \(\int u^{5/2} \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int u^{5/2} du\)

4. Вычислим интеграл:
   \(-\frac{1}{2} \int u^{5/2} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7/2}}{7/2} + C = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{7} u^{7/2} + C = -\frac{1}{7} u^{7/2} + C\)

5. Возвращаемся к исходной переменной:
   Заменяем \(u\) на \(5 - x^2\):
   \(-\frac{1}{7} (5 - x^2)^{7/2} + C\)

Ответ:
\(\int \sqrt{(5-x^2)^5} x \, dx = -\frac{1}{7} (5 - x^2)^{7/2} + C\)

Задание 12б

Интеграл: \(\int \frac{10x - 9}{5x^2 - 9x + 11} dx\)

1. Заметим, что производная знаменателя похожа на числитель:
   Производная \(5x^2 - 9x + 11\) равна \(10x - 9\).

2. Замена переменной:
   Пусть \(u = 5x^2 - 9x + 11\), тогда \(du = (10x - 9) dx\).

3. Перепишем интеграл:
   \(\int \frac{du}{u}\)

4. Вычислим интеграл:
   \(\int \frac{du}{u} = \ln |u| + C\)

5. Возвращаемся к исходной переменной:
   Заменяем \(u\) на \(5x^2 - 9x + 11\):
   \(\ln |5x^2 - 9x + 11| + C\)

Ответ:
\(\int \frac{10x - 9}{5x^2 - 9x + 11} dx = \ln |5x^2 - 9x + 11| + C\)

Задание 12в

Интеграл: \(\int \operatorname{arctg} x \, dx\)

1. Интегрирование по частям:
   Пусть \(u = \operatorname{arctg} x\), тогда \(du = \frac{1}{1+x^2} dx\).
   Пусть \(dv = dx\), тогда \(v = x\).
   Используем формулу интегрирования по частям: \(\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du\)
   \(\int \operatorname{arctg} x \, dx = x \operatorname{arctg} x - \int \frac{x}{1+x^2} dx\)

2. Вычислим интеграл \(\int \frac{x}{1+x^2} dx\):
   Пусть \(w = 1 + x^2\), тогда \(dw = 2x \, dx\), и \(x \, dx = \frac{1}{2} dw\).
   \(\int \frac{x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{w} \cdot \frac{1}{2} dw = \frac{1}{2} \int \frac{dw}{w} = \frac{1}{2} \ln |w| + C_1 = \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C_1\)

3. Подставим результат обратно:
   \(x \operatorname{arctg} x - \int \frac{x}{1+x^2} dx = x \operatorname{arctg} x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C\)

Ответ:
\(\int \operatorname{arctg} x \, dx = x \operatorname{arctg} x - \frac{1}{2} \ln (1+x^2) + C\)

Ассистент: Ассистент: Продолжаем решать!

К сожалению, на изображении больше нет заданий. Если у вас есть еще задания, пожалуйста, предоставьте их.

Ассистент: Кажется, мы решили все задания с предоставленного изображения. Если у вас есть другие задания или вопросы, пожалуйста, предоставьте их!