{
"subject": "алгебра",
"lang": "ru",
"title": "Решение уравнений с квадратными выражениями в скобках",
"description": "Подробное решение двух уравнений, содержащих квадратные выражения в скобках и их степени",
"keywords": ["квадратные уравнения", "алгебраические уравнения", "замена переменной", "решение уравнений", "квадрат разности"]
}

Давайте решим эти уравнения пошагово! 📝

1️⃣ Решим первое уравнение: $(x^2-x)^2-8(x^2-x)+12=0$

Сделаем замену: пусть $y=x^2-x$
Тогда уравнение примет вид:
$y^2-8y+12=0$

Это обычное квадратное уравнение. Решаем:
$y^2-8y+12=0$
$D=64-48=16$
$y_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{8\pm4}{2}$
$y_1=6$
$y_2=2$

Теперь вернёмся к исходной переменной:
$x^2-x=6$ или $x^2-x=2$

Решаем первое уравнение:
$x^2-x-6=0$
$(x-3)(x+2)=0$
$x_1=3$ или $x_2=-2$

Решаем второе уравнение:
$x^2-x-2=0$
$(x-2)(x+1)=0$
$x_3=2$ или $x_4=-1$

Ответ: $x \in {-2;-1;2;3}$

2️⃣ Решим второе уравнение: $(x^2-1)^2+2(x^2-1)=15$

Сделаем замену: пусть $y=x^2-1$
Тогда уравнение примет вид:
$y^2+2y=15$
$y^2+2y-15=0$

Решаем квадратное уравнение:
$D=4+60=64$
$y_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{-2\pm8}{2}$
$y_1=3$
$y_2=-5$

Возвращаемся к исходной переменной:
$x^2-1=3$ или $x^2-1=-5$

Из первого уравнения:
$x^2=4$
$x_{1,2}=\pm2$

Из второго уравнения:
$x^2=-4$
Решений нет (в действительных числах)

Ответ: $x=\pm2$

{
"subject": "алгебра",
"lang": "ru",
"title": "Решение уравнений с произведением многочленов",
"description": "Подробное решение двух уравнений с произведением квадратных выражений и числовыми коэффициентами",
"keywords": ["алгебраические уравнения", "произведение многочленов", "квадратные выражения", "метод группировки", "корни уравнения"]
}

Давайте решим эти уравнения пошагово! 📝

1️⃣ Решим первое уравнение: $(x^2+4x)(x^2+4x-14)+60=0$

Обозначим $x^2+4x = y$, тогда первый множитель это $y$, а второй $y-14$
Получаем: $y(y-14)+60=0$
$y^2-14y+60=0$

Решаем квадратное уравнение:
$D=196-240=-44$
Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

Возвращаясь к исходному уравнению: уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет решений

2️⃣ Решим второе уравнение: $(x^2-5x)(x^2-5x+20)=-24$

Снова сделаем замену: пусть $y=x^2-5x$
Тогда уравнение примет вид: $y(y+20)=-24$
$y^2+20y+24=0$

Решаем квадратное уравнение:
$D=400-96=304$
$y_{1,2}=\frac{-20\pm\sqrt{304}}{2}=\frac{-20\pm\sqrt{304}}{2}$

$y_1=\frac{-20+\sqrt{304}}{2}=-4$
$y_2=\frac{-20-\sqrt{304}}{2}=-16$

Возвращаемся к исходной переменной:
$x^2-5x=-4$ или $x^2-5x=-16$

Из первого уравнения:
$x^2-5x+4=0$
$(x-1)(x-4)=0$
$x_1=1$ или $x_2=4$

Из второго уравнения:
$x^2-5x+16=0$
Дискриминант этого уравнения: $D=25-64=-39<0$
Корней нет.

Ответ: $x=1$ или $x=4$

{
"subject": "алгебра",
"lang": "ru",
"title": "Решение уравнения с произведением многочленов",
"description": "Подробное решение уравнения, содержащего произведение двух квадратных выражений, равное отрицательному числу",
"keywords": ["алгебраические уравнения", "квадратные выражения", "произведение многочленов", "замена переменной", "метод группировки"]
}

Давайте решим это уравнение пошагово! 📝

$(x^2-5x)(x^2-5x+10)=-24$

1️⃣ Сделаем замену переменной для упрощения:
Пусть $y=x^2-5x$
Тогда уравнение примет вид:
$y(y+10)=-24$

2️⃣ Раскроем скобки:
$y^2+10y+24=0$

3️⃣ Решаем квадратное уравнение:
$D=100-96=4$
$y_{1,2}=\frac{-10\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{-10\pm2}{2}$
$y_1=-6$
$y_2=-4$

4️⃣ Возвращаемся к исходной переменной:
$x^2-5x=-6$ или $x^2-5x=-4$

5️⃣ Решаем первое уравнение:
$x^2-5x+6=0$
$(x-2)(x-3)=0$
$x_1=2$ или $x_2=3$

6️⃣ Решаем второе уравнение:
$x^2-5x+4=0$
$(x-1)(x-4)=0$
$x_3=1$ или $x_4=4$

Ответ: $x \in {1;2;3;4}$

Проверка: подставляя каждое из найденных значений в исходное уравнение, убеждаемся, что они являются корнями. ✅

{
"subject": "математика",
"lang": "ru",
"title": "Решение задач на множества и координатную плоскость",
"description": "Разбор задач на множества чисел, кратные числа, изображение множеств на координатной прямой и плоскости",
"keywords": ["множества", "кратные числа", "координатная прямая", "координатная плоскость", "неравенства"],
"grade": 9,
"url_subject": "math"
}

Давайте решим эти задачи пошагово! 📝

B2.
а) Имеем:
- A - множество чисел, кратных 5
- B - множество чисел, кратных 10
- C - множество чисел, кратных 20

Поскольку каждое число, кратное 20, кратно 10, а каждое число, кратное 10, кратно 5, то:
C ⊂ B ⊂ A

Верное утверждение: 2) A ⊂ B ⊂ C - неверно
3) A ⊇ C ⊇ B - верно

б) Аналогично:
- A - множество чисел, кратных 3
- B - множество чисел, кратных 15
- C - множество чисел, кратных 30

Поскольку 15 = 3 × 5 и 30 = 15 × 2, то:
C ⊂ B ⊂ A

Верное утверждение: 3) C ⊂ B ⊂ A

B3.
а) |a - 3| < 4 означает, что расстояние от точки a до точки 3 меньше 4
Решение: -1 < a < 7

3

-1

7

б) |1 - t| > 2 означает, что расстояние от точки t до точки 1 больше 2
Решение: t < -1 или t > 3

B4. Изобразим на координатной плоскости:
а) y < 2x + 1
б) y > 3x - 1

y = 2x + 1

B5.
а) A - множество чисел, кратных 3
B - множество чисел, кратных 6
C - множество чисел, кратных 12

Поскольку 6 = 2 × 3 и 12 = 2 × 6, то:
C ⊂ B ⊂ A

Верный ответ: 2) B ⊂ C и 3) A ⊂ C

б) A - множество чисел, кратных 5
B - множество чисел, кратных 10
C - множество чисел, кратных 20

Верный ответ: 3) C ⊂ A

{
"subject": "математика",
"lang": "ru",
"title": "Решение задач на отношения между множествами кратных чисел",
"description": "Подробное объяснение отношений включения между множествами кратных чисел с примерами",
"keywords": ["множества", "кратные числа", "отношение включения", "теория множеств"],
"grade": 9,
"url_subject": "math"
}

Давайте разберём это задание более детально! 📚

B2. а) Рассмотрим множества:
- A = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ...} (числа, кратные 5)
- B = {10, 20, 30, 40, ...} (числа, кратные 10)
- C = {20, 40, 60, 80, ...} (числа, кратные 20)

Важное правило: Если число a делится на число b, то все числа, кратные a, будут также кратны b.

Давайте проверим отношения между множествами:
1. Все числа, кратные 20, делятся на 10 (20 = 10 × 2), поэтому C ⊆ B
2. Все числа, кратные 10, делятся на 5 (10 = 5 × 2), поэтому B ⊆ A

Значит, получаем цепочку включений: C ⊆ B ⊆ A

Это можно проиллюстрировать с помощью диаграммы Эйлера:

A (кратные 5)
B (кратные 10)
C (кратные 20)

Проверяем утверждения:
1) A ⊂ B ⊂ C - неверно, так как включение идёт в обратном порядке
2) C ⊆ B ⊆ A - верно ✅
3) A ⊇ C ⊇ B - неверно, так как B содержит C, а не наоборот

б) Аналогично рассмотрим:
- A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...} (кратные 3)
- B = {15, 30, 45, 60, ...} (кратные 15)
- C = {30, 60, 90, ...} (кратные 30)

Поскольку:
- 30 = 15 × 2, значит C ⊆ B
- 15 = 3 × 5, значит B ⊆ A

Получаем: C ⊆ B ⊆ A

Верное утверждение: 3) C ⊂ B ⊂ A ✅

Это можно проверить на конкретных числах:
- 30 ∈ C, также 30 ∈ B и 30 ∈ A
- 15 ∈ B и 15 ∈ A, но 15 ∉ C
- 3 ∈ A, но 3 ∉ B и 3 ∉ C

Решим эти задачи с визуализацией! 📊

1️⃣ Для пункта а):

<!-- Подписи множеств -->
<text x="30" y="70">A (кратные 5)</text>
<text x="150" y="130">B (кратные 10)</text>
<text x="150" y="150">C (кратные 20)</text>

<!-- Примеры чисел -->
<text x="60" y="140">5, 15, 25</text>
<text x="100" y="180">10, 30</text>
<text x="140" y="160">20, 40, 60</text>

2️⃣ Для пункта б):

<!-- Подписи множеств -->
<text x="30" y="70">A (кратные 3)</text>
<text x="150" y="130">B (кратные 15)</text>
<text x="150" y="150">C (кратные 30)</text>

<!-- Примеры чисел -->
<text x="60" y="140">3, 6, 9, 12</text>
<text x="100" y="180">15, 45</text>
<text x="140" y="160">30, 60, 90</text>

Проверка решения:

а) Для первого случая:
- Множество A содержит все числа, кратные 5: {5, 10, 15, 20, 25, 30, ...}
- Множество B содержит все числа, кратные 10: {10, 20, 30, 40, ...}
- Множество C содержит все числа, кратные 20: {20, 40, 60, ...}

Верно, что C ⊂ B ⊂ A, так как:
- Каждое число из C делится на 20, значит делится и на 10 (поэтому C ⊂ B)
- Каждое число из B делится на 10, значит делится и на 5 (поэтому B ⊂ A)

б) Для второго случая:
- Множество A содержит все числа, кратные 3: {3, 6, 9, 12, 15, ...}
- Множество B содержит все числа, кратные 15: {15, 30, 45, ...}
- Множество C содержит все числа, кратные 30: {30, 60, 90, ...}

Верно, что C ⊂ B ⊂ A, так как:
- Каждое число из C делится на 30, значит делится и на 15 (поэтому C ⊂ B)
- Каждое число из B делится на 15, значит делится и на 3 (поэтому B ⊂ A)

Поэтому верный ответ в обоих случаях показывает правильное включение множеств от меньшего к большему: C ⊂ B ⊂ A.