Uma circunferência gera dois tipos principais de ângulos: o ângulo central — com vértice no centro, e o ângulo inscrito — com vértice na própria circunferência. A relação entre eles é simples: o ângulo central é igual ao arco que ele subtende, e o ângulo inscrito é igual à metade desse arco. Nesta página você encontra definições, o teorema do ângulo inscrito com todos os seus corolários, desenhos claros, exercícios resolvidos passo a passo e um simulador interativo onde pode se testar na hora.
Tipos de ângulos numa circunferência: central e inscrito
Trace dois segmentos a partir de um mesmo ponto dentro de uma circunferência — você obtém um ângulo. Dependendo de onde está o seu vértice, existem dois tipos principais de ângulos numa circunferência:
- Ângulo central — ângulo com vértice no centro \(O\) da circunferência. Seus lados são raios.
- Ângulo inscrito — ângulo cujo vértice está na circunferência e cujos lados a cortam (ou seja, são cordas).
Cada um desses ângulos subtende um arco — a parte da circunferência que fica dentro do ângulo. É justamente o arco que liga o ângulo central ao inscrito: ambos são expressos pela sua medida em graus.
Se o vértice do ângulo ficar dentro do círculo (mas não no centro) ou fora dele, esse já não é um ângulo inscrito nem central: para esses ângulos existem fórmulas próprias, explicadas no final da página.
∠AOC = arco AC = 120°
∠ABC = ½ arco AC = 60°
Teorema do ângulo inscrito e a medida do ângulo inscrito
O ângulo central é igual ao arco que ele subtende — é assim que se define a medida em graus de um arco. Se \(\angle AOC = 120°\), então o arco \(AC\) também é igual a \(120°\).
Teorema do ângulo inscrito: um ângulo inscrito é medido pela metade do arco que ele subtende:
Daqui decorre a relação fundamental entre o ângulo inscrito e o central: o ângulo inscrito é a metade do ângulo central que subtende o mesmo arco:
A medida do ângulo inscrito não depende de em que ponto exato da circunferência está o seu vértice — importa apenas o arco que ele subtende. Por isso vale a pena memorizar o desenho abaixo como a «imagem-chave» de todo o tema: um arco verde com dois ângulos voltados para ele.
Ângulo inscrito e ângulo central: propriedades e corolários
Do teorema do ângulo inscrito decorrem diretamente as propriedades em que se baseiam a maioria dos exercícios escolares:
- Ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco são iguais. Cada um deles é igual à metade do mesmo arco — logo, são iguais entre si, independentemente de onde estejam os seus vértices.
- Um ângulo inscrito que subtende um diâmetro é reto. O diâmetro divide a circunferência em duas semicircunferências de \(180°\) cada, por isso esse ângulo é igual a \(180° : 2 = 90°\). O contrário também é verdadeiro: se um ângulo inscrito é reto, então ele subtende um diâmetro.
- Um ângulo inscrito pode ser obtuso. Se o arco é maior que \(180°\), o ângulo é maior que \(90°\) — a fórmula «metade do arco» funciona sem exceções.
Essas propriedades também funcionam «ao contrário»: por exemplo, pela igualdade de ângulos que subtendem o mesmo segmento, prova-se que quatro pontos estão na mesma circunferência.
Ângulos inscritos e circunscritos: um quadrilátero na circunferência
Se os quatro vértices de um quadrilátero estão na circunferência, ele é chamado de cíclico (e a circunferência é circunscrita a ele). Os ângulos desse quadrilátero são ângulos inscritos, por isso o mesmo teorema se aplica a eles.
- A soma dos ângulos opostos de um quadrilátero cíclico é \(180°\). Os ângulos \(A\) e \(C\) subtendem dois arcos que juntos formam a circunferência inteira (\(360°\)), por isso \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Um ângulo externo de um quadrilátero cíclico é igual ao ângulo interno do vértice oposto. O ângulo externo é suplementar ao seu próprio ângulo interno, exatamente como o ângulo oposto.
- A propriedade da soma dos ângulos também funciona como critério: se num quadrilátero as somas dos ângulos opostos forem de \(180°\), é possível circunscrever uma circunferência ao seu redor. Por isso qualquer retângulo pode ser inscrito numa circunferência, enquanto um losango (exceto o quadrado) não pode.
Além dos ângulos inscritos, os exercícios costumam trazer também os ângulos circunscritos — ângulos entre duas tangentes traçadas a partir de um mesmo ponto externo à circunferência. Um ângulo circunscrito é igual à semidiferença dos arcos que ele intercepta.
Exemplos resolvidos sobre ângulos inscritos e centrais
Exemplo 1. Ângulo inscrito a partir de um arco
Problema. O ângulo inscrito \(ABC\) subtende o arco \(AC\), igual a \(120°\). Encontre \(\angle ABC\).
Passo 1. Lembramos o teorema: um ângulo inscrito é igual à metade do arco que ele subtende.
Passo 2. Substituímos: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Resposta: \(60°\).
Exemplo 2. Ângulo central a partir do inscrito
Problema. O ângulo inscrito \(ABC\) é igual a \(40°\). Encontre o ângulo central \(AOC\), que subtende o mesmo arco \(AC\).
Passo 1. Um ângulo central é o dobro do inscrito que subtende o mesmo arco: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Passo 2. Calculamos: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). De quebra, descobrimos o arco: \(AC = 80°\).
Resposta: \(80°\).
Exemplo 3. Ângulo que subtende um diâmetro
Problema. \(AC\) é um diâmetro de uma circunferência, o ponto \(B\) está na circunferência, \(\angle BAC = 35°\). Encontre \(\angle BCA\).
Passo 1. O ângulo \(ABC\) subtende o diâmetro \(AC\), logo \(\angle ABC = 90°\) — o triângulo \(ABC\) é retângulo.
Passo 2. A soma dos ângulos de um triângulo é \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Resposta: \(55°\).
Exemplo 4. Quadrilátero cíclico
Problema. O quadrilátero \(ABCD\) está inscrito numa circunferência, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Encontre os ângulos \(C\) e \(D\).
Passo 1. As somas dos ângulos opostos de um quadrilátero cíclico são iguais a \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Passo 2. Da mesma forma, \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Verificação. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — a soma dos ângulos do quadrilátero confere.
Resposta: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Erros frequentes em exercícios sobre ângulos numa circunferência
-
Confundir o ângulo inscrito com o central: tomar a metade do arco para o ângulo com vértice no centro (ou o contrário).
Primeiro observe o vértice. Vértice no centro \(O\) — é um ângulo central, igual ao arco inteiro. Vértice na circunferência — é um ângulo inscrito, igual à metade do arco.
-
Usar o arco errado: para o ângulo inscrito, considerar o arco onde está o seu vértice.
Um ângulo inscrito subtende o arco que fica «dentro» do ângulo — o vértice está sempre no outro arco. Na notação \(\angle ABC\), o ângulo subtende o arco \(AC\) que não contém o ponto \(B\).
-
Multiplicar e dividir por 2 «no sentido errado»: dividir em vez de multiplicar ao passar do ângulo inscrito para o central.
Lembre-se: o inscrito é «pequeno» (metade do arco), o central é «grande» (o arco inteiro). Do inscrito para o central — multiplicar por 2; do central para o inscrito — dividir.
-
Considerar inscrito qualquer ângulo cujos lados cortem a circunferência — por exemplo, um ângulo entre cordas que se cruzam dentro do círculo.
Um ângulo inscrito precisa ter o vértice na própria circunferência. Um ângulo com vértice dentro do círculo é igual à semissoma dos arcos interceptados; com vértice fora do círculo, à semidiferença: são fórmulas diferentes.
-
Num quadrilátero cíclico, igualar a $180°$ a soma dos ângulos adjacentes em vez dos opostos.
A propriedade só vale para vértices opostos: \(\angle A + \angle C = 180°\) e \(\angle B + \angle D = 180°\). Os ângulos adjacentes de um quadrilátero cíclico podem ter qualquer valor.
Perguntas e respostas
Quanto vale um ângulo inscrito?
Um ângulo inscrito é igual à metade do arco que ele subtende. Por exemplo, se o arco é de 120°, o ângulo inscrito é de 60°. Este é o teorema do ângulo inscrito — a fórmula principal do tema.
Como se relacionam o ângulo inscrito e o central que subtendem o mesmo arco?
O ângulo central é o dobro do inscrito: ∠AOC = 2·∠ABC. O ângulo central é igual ao próprio arco, enquanto o inscrito é igual à sua metade.
Por que um ângulo inscrito que subtende um diâmetro é igual a 90°?
Um diâmetro subtende uma semicircunferência — um arco de 180°. O ângulo inscrito é igual à metade do arco: 180° : 2 = 90°. Por isso, qualquer triângulo em que um lado seja o diâmetro da sua circunferência circunscrita é um triângulo retângulo.
Um ângulo inscrito pode ser obtuso?
Sim. Se o arco subtendido pelo ângulo for maior que 180°, o ângulo é obtuso: por exemplo, a um arco de 210° corresponde um ângulo inscrito de 105°. Mesmo assim, um ângulo inscrito é sempre menor que 180°.
O que é um ângulo circunscrito e em que ele difere do inscrito?
Um ângulo circunscrito é formado por duas tangentes traçadas a uma circunferência a partir de um mesmo ponto externo. Seu vértice fica fora da circunferência, e ele é igual à semidiferença dos arcos interceptados. O ângulo inscrito tem o vértice na circunferência e é igual à metade de um único arco.
Que outros tipos de ângulos numa circunferência existem?
Além do central e do inscrito, existem o ângulo entre cordas (vértice dentro do círculo — semissoma dos arcos), o ângulo entre secantes a partir de um ponto externo (semidiferença dos arcos) e o ângulo entre uma tangente e uma corda (metade do arco encerrado). Todos eles são expressos por meio dos arcos da circunferência.
