Triângulos semelhantes são triângulos de mesma forma, mas tamanhos diferentes: seus ângulos são respectivamente iguais e seus lados correspondentes são proporcionais. O número que indica quantas vezes um triângulo é maior que o outro é chamado de coeficiente de semelhança \(k\). Três critérios ajudam a provar a semelhança, e as razões de perímetros e áreas seguem uma regra simples: os perímetros são como \(k\), e as áreas como \(k^2\). Nesta página — definição e notação de semelhança com a ordem correta dos vértices, todos os três critérios, semelhança de triângulos retângulos e a altura de um ângulo reto, resolução de problemas do OGE «encontre o lado» e um simulador interativo.
O que são triângulos semelhantes e o coeficiente de semelhança
Dois triângulos são chamados semelhantes se duas condições forem satisfeitas:
- seus ângulos são respectivamente iguais — a cada ângulo do primeiro triângulo corresponde um ângulo igual no segundo;
- seus lados correspondentes são proporcionais — todas as três razões dão o mesmo número.
Lados correspondentes (ou análogos) são os lados que estão opostos a ângulos iguais. São eles que formam os pares entre os quais a razão é calculada.
A semelhança é denotada pelo símbolo \(\sim\):
Coeficiente de semelhança \(k\) — essa mesma razão igual de lados correspondentes:
Se \(k > 1\), o segundo triângulo é maior que o primeiro; se \(k < 1\) — menor; se \(k = 1\), os triângulos são simplesmente iguais, pois a igualdade é um caso particular de semelhança.
A ordem dos vértices na notação — não é formalidade
A notação \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) é lida estritamente por posição: \(A\) corresponde a \(A_1\), \(B\) — a \(B_1\), \(C\) — a \(C_1\). Daqui segue imediatamente quais ângulos são iguais (\(\angle A = \angle A_1\)) e quais lados são correspondentes (\(AB\) e \(A_1B_1\), \(BC\) e \(B_1C_1\), \(AC\) e \(A_1C_1\)).
Se as letras forem trocadas e escrevermos \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), obteremos outra afirmação: agora \(\angle A = \angle B_1\), e o lado \(B_1A_1\) será correspondente a \(AB\). Não se pode formar uma proporção com lados «posicionados de forma semelhante» — apenas por posição na notação. Portanto, primeiro escrevemos os pares de ângulos iguais e, em seguida, ajustamos a ordem das letras.
Três critérios de semelhança de triângulos
Não é necessário verificar todas as seis condições da definição: a semelhança é provada por um dos três critérios. Cada um é um conjunto mínimo de dados do qual a igualdade de todos os ângulos e a proporcionalidade de todos os lados se seguem automaticamente.
Como escolher um critério. Veja o que é dado no problema: se for sobre ângulos — o primeiro, se for sobre dois lados e um ângulo — o segundo, se for sobre todos os três lados — o terceiro.
- Primeiro critério (por dois ângulos) — a "cavalos de batalha" do curso escolar: quase todos os problemas do OGE são resolvidos com ele. O terceiro ângulo não precisa ser verificado, ele é igual automaticamente: a soma dos ângulos de um triângulo é sempre \(180°\). Procure pares prontos de ângulos iguais — um ângulo comum de dois triângulos, ângulos opostos pelo vértice, alternos internos e correspondentes em retas paralelas, dois ângulos retos.
- Segundo critério (por dois lados e o ângulo entre eles) exige que o ângulo esteja exatamente entre esses dois lados. Se o ângulo igual estiver oposto a um deles, o critério não funciona e a semelhança não é provada.
- Terceiro critério (por três lados) — quando não há ângulos na condição, apenas comprimentos. Escreva os lados de cada triângulo em ordem crescente e divida o menor pelo menor, o médio pelo médio, o maior pelo maior: assim os pares não serão confundidos. A semelhança existe apenas se todas as três razões coincidirem.
Para não confundir os critérios de semelhança com os critérios de igualdade, tenha em mente a diferença: na igualdade, os lados devem coincidir, na semelhança — ser proporcionais.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Razão de perímetros e áreas de triângulos semelhantes
A semelhança tem duas consequências que são frequentemente perguntadas, e uma delas é a principal armadilha do tópico.
Os perímetros são proporcionais a \(k\). Cada lado do segundo triângulo é \(k\) vezes maior que o lado correspondente do primeiro, portanto, a soma dos lados aumenta exatamente \(k\) vezes:
Todas as grandezas lineares se comportam da mesma forma, "em \(k\) vezes": alturas, medianas, bissetrizes, raios das circunferências inscrita e circunscrita, bases médias.
As áreas são proporcionais a \(k^2\). A área depende de duas dimensões ao mesmo tempo: tanto a base quanto a altura aumentam \(k\) vezes, e o produto — \(k \cdot k\) vezes:
Seja \(k = 5\). Então o perímetro é 5 vezes maior (por exemplo, era 14 cm — tornou-se 70 cm), e a área — já 25 vezes maior (era 6 cm² — tornou-se 150 cm²). A diferença é enorme, e substituir \(k\) por \(k^2\) aqui é o erro mais comum no exame.
Cálculo reverso. Se a razão das áreas for dada na condição, o coeficiente de semelhança é obtido pela raiz quadrada: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Por exemplo, se as áreas são proporcionais a \(16 : 1\), então os lados são proporcionais a \(4 : 1\).
| k | Perímetros P₂ : P₁ | Áreas S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| qualquer | k : 1 | k² : 1 |
Semelhança de triângulos retângulos e a altura de um ângulo reto
Para triângulos retângulos, o primeiro critério é simplificado: os ângulos retos são iguais por padrão, portanto, a igualdade de um ângulo agudo é suficiente para que os triângulos sejam semelhantes. Disso também decorre o critério por dois catetos: se os catetos de um são proporcionais aos catetos do outro, os triângulos são semelhantes (este é o segundo critério, pois o ângulo entre os catetos é reto).
A configuração mais útil de todo o tópico é a altura traçada do vértice do ângulo reto. Ela divide o triângulo em dois, e todos os três triângulos resultantes são semelhantes entre si.
Por quê: o triângulo \(AHC\) tem um ângulo reto em \(H\) e um ângulo \(A\) comum com o triângulo maior, então \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). O triângulo \(CHB\) tem um ângulo reto em \(H\) e um ângulo \(B\) comum, então \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Daqui, os dois triângulos pequenos também são semelhantes entre si.
Dessas semelhanças derivam as fórmulas da média geométrica (chamadas de segmentos proporcionais em um triângulo retângulo):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — a altura é a média geométrica dos segmentos em que ela divide a hipotenusa;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) e \(BC^2 = HB \cdot AB\) — um cateto é a média geométrica de toda a hipotenusa e sua projeção sobre ela.
O principal é não confundir qual segmento é "próprio": o cateto \(AC\) tem a projeção \(AH\), o cateto \(BC\) tem a projeção \(HB\). A projeção está sempre adjacente à mesma extremidade da hipotenusa que o cateto.
Problemas OGE sobre semelhança: como encontrar um lado
Quase todos os problemas sobre semelhança são resolvidos com um único algoritmo:
- Encontre um par de ângulos iguais — um ângulo comum, opostos pelo vértice, alternos internos em retas paralelas ou dois ângulos retos.
- Escreva a semelhança na ordem correta dos vértices — de modo que os ângulos iguais estejam nas mesmas posições.
- Forme uma proporção com os lados correspondentes (pegue os lados que estão nas mesmas posições na notação).
- Expresse a incógnita e calcule; no final, verifique a resposta pelo sentido — o lado do triângulo menor deve resultar menor.
Existem poucas configurações típicas no OGE, e elas devem ser reconhecidas à primeira vista:
- Uma reta paralela a um lado. Uma reta corta um pequeno triângulo semelhante ao original do triângulo. A sutileza principal: na proporção entra a razão dos lados inteiros a partir do vértice comum (\(BM : BA\)), e não dos segmentos (\(BM : MA\)).
- "Borboleta". Dois segmentos se cruzam, e suas extremidades são conectadas por retas paralelas — obtêm-se dois triângulos semelhantes, voltados um para o outro.
- Altura do ângulo reto — uma configuração da seção anterior; no OGE, ela é usada para encontrar a altura, um cateto ou um segmento da hipotenusa.
- Sombra e altura de um objeto. Os raios solares são paralelos, portanto, o objeto com sua sombra e a árvore com sua sombra formam triângulos retângulos semelhantes.
- Base média — um caso particular com \(k = 2\): ela é paralela ao lado e duas vezes menor que ele.
ângulo B comum, ângulos em M e A correspondentes
ângulos em O opostos pelo vértice, ângulos A e C alternos internos
Exemplos de resolução de problemas sobre semelhança de triângulos
Exemplo 1. Encontrar os lados pelo coeficiente de semelhança
Problema. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Sabe-se que \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) e \(PQ = 21\). Encontre \(QR\) e \(PR\).
Passo 1. Analisamos a notação por posições: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Portanto, os pares correspondentes são: \(MN\) e \(PQ\), \(NK\) e \(QR\), \(MK\) e \(PR\).
Passo 2. Calculamos o coeficiente pela única par onde ambos os lados são conhecidos:
Passo 3. Os outros lados do segundo triângulo são 3 vezes maiores que os correspondentes:
Resposta: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Verificação: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — todas as razões coincidiram.
Exemplo 2. Provar semelhança pelo segundo critério
Problema. Nos triângulos \(ABC\) e \(DEF\), sabe-se: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), e os ângulos \(A\) e \(D\) são iguais. Prove que os triângulos são semelhantes.
Passo 1. Verificamos a condição principal do segundo critério: o ângulo \(A\) está entre os lados \(AB\) e \(AC\), o ângulo \(D\) — entre \(DE\) e \(DF\). Os ângulos entre os lados dados — o critério é aplicável.
Passo 2. Calculamos as razões dos lados correspondentes:
Passo 3. Dois pares de lados são proporcionais com o mesmo coeficiente \(k = 3\), os ângulos entre eles são iguais — pelo segundo critério \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Resposta: os triângulos são semelhantes, \(k = 3\). Observe: se os ângulos iguais fossem \(B\) e \(D\), o critério não seria aplicável — o ângulo \(B\) não está entre \(AB\) e \(AC\).
Exemplo 3. Reta paralela a um lado (problema OGE)
Problema. No triângulo \(ABC\), o ponto \(M\) está no lado \(AB\), o ponto \(N\) — no lado \(BC\), de modo que \(MN \parallel AC\). Sabe-se que \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Encontre \(AC\).
Passo 1. Como \(MN \parallel AC\), os ângulos \(BMN\) e \(BAC\) são iguais como correspondentes, e o ângulo \(B\) é comum. Pelo primeiro critério \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (ordem dos vértices: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Passo 2. Encontramos o lado completo a partir do vértice comum: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Esta é a principal sutileza — na proporção entra \(BA\), e não \(MA\).
Passo 3. Formamos a proporção com os lados correspondentes:
Passo 4. Daqui, \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Resposta: \(AC = 20\). O coeficiente de semelhança aqui é 4: o triângulo maior é quatro vezes maior que o cortado.
Exemplo 4. Perímetros e áreas
Problema. Os perímetros de triângulos semelhantes são 18 cm e 45 cm. A área do triângulo menor é 16 cm². Encontre a área do maior.
Passo 1. Os perímetros são proporcionais ao coeficiente de semelhança:
Passo 2. As áreas são proporcionais ao quadrado do coeficiente: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Passo 3. Multiplicamos a área do triângulo menor por \(k^2\):
Resposta: 100 cm². Se multiplicássemos por \(k = 2{,}5\), obteríamos 40 cm² — um erro típico que faz perder todos os pontos.
Exemplo 5. Altura do vértice do ângulo reto
Problema. No triângulo retângulo \(ABC\) com ângulo reto no vértice \(C\), traça-se a altura \(CH\) para a hipotenusa. Sabe-se que \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Encontre a altura \(CH\) e a área do triângulo.
Passo 1. A altura do ângulo reto é a média geométrica dos segmentos da hipotenusa, porque \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Passo 2. Extraímos a raiz quadrada: \(CH = 6\) cm.
Passo 3. A hipotenusa \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. Calculamos a área usando a hipotenusa e a altura traçada para ela:
Resposta: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
Exemplo 6. Altura da árvore pela sombra
Problema. Uma haste vertical de 2 m de altura projeta uma sombra de 1,5 m. No mesmo momento, a sombra de uma árvore é de 9 m. Qual é a altura da árvore?
Passo 1. Os raios solares são paralelos, portanto, o ângulo de incidência do raio para a haste e para a árvore é o mesmo. A haste com sua sombra e a árvore com sua sombra formam triângulos retângulos com um ângulo agudo igual — portanto, são semelhantes.
Passo 2. Formamos a proporção «altura para sua sombra»:
Passo 3. Expressamos a altura desconhecida:
Resposta: 12 m. Verificação pelo sentido: a sombra da árvore é 6 vezes mais longa que a sombra da haste, portanto, a árvore também é 6 vezes mais alta: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Erros comuns em problemas de semelhança de triângulos
-
Consideram que as áreas de triângulos semelhantes são proporcionais a $k$: com $k = 3$, aumentam a área três vezes.
As áreas são proporcionais ao quadrado do coeficiente: com \(k = 3\), a área é \(3^2 = 9\) vezes maior. Apenas grandezas lineares — lados, perímetro, alturas, medianas — são proporcionais a \(k\). Dica de regra: a área é medida em unidades quadradas, portanto, o coeficiente também entra nela ao quadrado.
-
Ignoram a ordem dos vértices: da notação $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ formam a proporção $AB : LM$.
A correspondência dos vértices é definida pelas posições na notação: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). O correspondente a \(AB\) é \(KL\), e a \(BC\) — \(LM\). Antes de escrever a proporção, liste os pares de vértices em coluna — isso leva cinco segundos e elimina a maioria dos erros.
-
Provam a semelhança por um ângulo igual ou por dois lados proporcionais sem o ângulo.
Um ângulo igual não é suficiente: dois triângulos podem ter um ângulo igual com formas completamente diferentes. É necessário um critério completo — dois ângulos, ou dois lados e o ângulo entre eles, ou todos os três lados.
-
No segundo critério, pegam um ângulo que não está entre os lados dados.
O segundo critério funciona apenas com o ângulo entre os dois lados dados. Se \(AB\), \(AC\) são conhecidos e o ângulo \(B\) é igual, o critério não é aplicável — procure outro caminho: um par de ângulos iguais ou o terceiro lado.
-
Invertem o coeficiente: encontram $k$ como «lado menor para maior», e depois multiplicam por ele para obter o lado do triângulo maior.
Concorde consigo mesmo sobre a direção: se \(k\) é a razão dos lados do segundo triângulo para o primeiro, então os lados do primeiro são multiplicados por \(k\), e os lados do segundo são divididos por \(k\). Verificação final pelo sentido: o lado do triângulo menor deve resultar menor.
-
No problema com uma reta paralela a um lado, formam uma proporção com os segmentos: $BM : MA = MN : AC$.
Os triângulos \(BMN\) e \(BAC\) são semelhantes, e seus lados correspondentes são \(BM\) e \(BA\) (o lado inteiro a partir do vértice comum), e não o segmento \(MA\). Primeiro, encontre \(BA = BM + MA\), e só então forme a proporção.
-
Confundem semelhança com igualdade e na resposta escrevem que os lados são simplesmente iguais.
A igualdade é um caso particular de semelhança com \(k = 1\). Se \(k \ne 1\), os triângulos têm apenas ângulos iguais, e os lados diferem \(k\) vezes. Os critérios também são diferentes: para igualdade, são LAL, ALA, LLL com lados iguais, para semelhança — lados proporcionais.
Perguntas e respostas
Que triângulos são chamados semelhantes?
Semelhantes são chamados os triângulos cujos ângulos são respectivamente iguais e cujos lados correspondentes são proporcionais. Em termos mais simples, são triângulos de mesma forma, mas tamanhos diferentes. A semelhança é denotada pelo símbolo ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
O que é o coeficiente de semelhança de triângulos?
O coeficiente de semelhança k é um número igual à razão dos lados correspondentes de triângulos semelhantes: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Ele indica quantas vezes um triângulo é maior que o outro. Com k = 1, os triângulos são iguais.
Quantos critérios de semelhança de triângulos existem e quais são eles?
Existem três critérios. O primeiro — por dois ângulos: dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos de outro. O segundo — por dois lados e o ângulo entre eles: dois lados são proporcionais e os ângulos entre eles são iguais. O terceiro — por três lados: todos os três pares de lados correspondentes são proporcionais.
Como as áreas de triângulos semelhantes se relacionam?
As áreas de triângulos semelhantes são proporcionais ao quadrado do coeficiente de semelhança: S₂ : S₁ = k². Por exemplo, com k = 4, a área é 16 vezes maior. Inversamente: se as áreas são proporcionais a 25 : 1, então os lados são proporcionais a 5 : 1.
Como os perímetros de triângulos semelhantes se relacionam?
Os perímetros são proporcionais ao coeficiente de semelhança: P₂ : P₁ = k. Todos os elementos lineares — alturas, medianas, bissetrizes, bases médias, raios das circunferências inscrita e circunscrita — comportam-se da mesma forma.
Qual a diferença entre semelhança de triângulos e igualdade?
Triângulos iguais têm ângulos e lados iguais, portanto, as figuras podem ser sobrepostas. Triângulos semelhantes têm apenas ângulos iguais, e os lados são proporcionais com um coeficiente k. A igualdade é um caso particular de semelhança com k = 1.
Como provar a semelhança de triângulos retângulos?
A igualdade de um ângulo agudo é suficiente: os ângulos retos já são iguais, portanto, o primeiro critério funciona. O segundo método é a proporcionalidade dos catetos: o ângulo entre os catetos é reto, portanto, o segundo critério de semelhança é aplicável.
Por que a altura do ângulo reto gera três triângulos semelhantes?
A altura CH do ângulo reto C divide o triângulo ABC nos triângulos AHC e CHB. O AHC tem um ângulo reto em H e um ângulo A comum com ABC, o CHB tem um ângulo reto em H e um ângulo B comum, portanto, ambos são semelhantes ao original, e consequentemente, um ao outro. Daqui derivam as fórmulas CH² = AH · HB, AC² = AH · AB e BC² = HB · AB.
Em que ano se estuda semelhança de triângulos?
No 8º ano, nas aulas de geometria — logo após o tópico sobre segmentos proporcionais. Lá também se estudam os três critérios de semelhança, a razão de áreas e a aplicação da semelhança a triângulos retângulos. Posteriormente, o tópico é usado no 9º ano e em problemas do OGE.
