O teorema dos cossenos relaciona os três lados de um triângulo e um dos seus ângulos: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Ele funciona em qualquer triângulo, por isso no 9º ano ele substitui o teorema de Pitágoras onde não há ângulo reto. Com ele, encontra-se o terceiro lado se os outros dois e o ângulo entre eles forem conhecidos, e pela consequência \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) — qualquer ângulo por três lados e o tipo de triângulo. Na página — a formulação e todas as três formas da fórmula, a demonstração, a tabela de cossenos, o lembrete «senos ou cossenos», a resolução de problemas do OGE e um simulador para autoavaliação.
Teorema dos cossenos: formulação e fórmula
O teorema dos cossenos funciona em qualquer triângulo — ele não precisa de um ângulo reto. Ele relaciona três lados e um ângulo, por isso com ele se encontra um lado se os outros dois lados e o ângulo entre eles forem conhecidos.
Formulação. O quadrado de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles.
Aqui \(a\), \(b\), \(c\) são os lados do triângulo, e \(C\) é o ângulo entre os lados \(a\) e \(b\); o lado \(c\) está oposto a este ângulo. As letras podem ser quaisquer — a fórmula é simétrica, por isso tem três formas equivalentes:
A regra principal de substituição: pegue o ângulo que está entre os dois lados do produto, e encontre o lado oposto a ele. Se você pegar o ângulo «vizinho», todos os números serão da condição, e a resposta — incorreta.
Por que o teorema de Pitágoras é um caso particular do teorema dos cossenos
Substituindo na fórmula um ângulo reto, ou seja, \(C = 90°\). O cosseno de um ângulo reto é zero, portanto o terceiro termo se anula completamente:
Obteve-se exatamente o teorema de Pitágoras, conhecido do 8º ano. Por isso o teorema dos cossenos é chamado de sua generalização: Pitágoras é um «caso particular para 90°», e o teorema dos cossenos funciona para todos os ângulos de uma vez.
O termo \(-2ab\cos C\) é útil para entender como uma correção para a não retitude do ângulo:
- o ângulo é agudo, \(\cos C > 0\) — a correção é subtraída, o lado \(c\) fica mais curto do que Pitágoras daria;
- o ângulo é reto, \(\cos C = 0\) — não há correção, resta \(c^2 = a^2 + b^2\);
- o ângulo é obtuso, \(\cos C < 0\) — a correção é adicionada, o lado \(c\) fica mais longo.
Demonstração do teorema dos cossenos
A demonstração escolar mais curta é a coordenada. Colocamos o vértice \(C\) na origem e o lado \(b = CA\) ao longo do eixo x. Então as coordenadas dos vértices são:
- \(C(0;\ 0)\) — a origem;
- \(A(b;\ 0)\) — um ponto no eixo x a uma distância \(b\) da origem;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — um vértice a uma distância \(a\) da origem em um ângulo \(C\) com o eixo x.
O lado \(c\) é o comprimento do segmento \(AB\). Calculamos usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Expandimos os parênteses:
Agrupamos os termos com \(a^2\) e aplicamos a identidade trigonométrica fundamental \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
O que se queria demonstrar. Preste atenção: em nenhum momento foi necessário que o ângulo \(C\) fosse agudo. Se for obtuso, o cosseno é negativo, a coordenada \(a\cos C\) sai para a esquerda do eixo y, mas todos os cálculos permanecem os mesmos — por isso o teorema é válido para qualquer triângulo.
Consequência: como encontrar o ângulo por três lados
Do teorema dos cossenos, o próprio cosseno é expresso — esta é a sua principal consequência. Com ele, encontra-se o ângulo quando todos os três lados são conhecidos:
No numerador — a soma dos quadrados dos dois lados adjacentes ao ângulo, menos o quadrado do lado oposto a ele. No denominador — o dobro do produto dos lados adjacentes. Para outros ângulos, as fórmulas são as mesmas:
Ordem de resolução:
- escolher o ângulo procurado e determinar qual lado está oposto a ele — o seu quadrado vai para o numerador com sinal de menos;
- calcular a fração (o denominador é sempre positivo, o sinal é dado apenas pelo numerador);
- pela tabela de valores ou através do arco cosseno, encontrar o próprio ângulo.
Um truque útil: começar pelo maior lado. O maior ângulo está oposto a ele, e apenas ele pode ser reto ou obtuso — os outros dois ângulos em um triângulo são sempre agudos.
Cossenos de ângulos obtusos são negativos: tabela de valores
Em problemas escolares, os ângulos são quase sempre «de tabela»: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Para ângulos agudos, o cosseno é positivo, para um ângulo reto é zero, e para ângulos obtusos — negativo. Os valores para ângulos obtusos são obtidos dos valores para ângulos agudos pela regra de redução \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): por exemplo, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
O que isso significa na prática: para um ângulo obtuso, a expressão \(-2ab\cos C\) se torna um mais — menos por menos. Para o ângulo de \(120°\), a fórmula fica assim:
É aqui que se perdem pontos com mais frequência: substituem \(0{,}5\) em vez de \(-0{,}5\) e obtêm um lado mais curto que os dois dados. Isso é comprovadamente impossível — o lado oposto a um ângulo obtuso é o lado mais longo de um triângulo.
| Ângulo | Cosseno |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Como determinar o tipo de triângulo por três lados
O teorema dos cossenos permite conhecer o tipo de triângulo sem medir os ângulos com um transferidor. O sinal da fração \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) depende apenas do numerador: o denominador \(2ab\) é sempre positivo. Portanto, basta comparar o quadrado do maior lado com a soma dos quadrados dos outros dois.
Seja \(c\) o maior lado, então o maior ângulo \(C\) está oposto a ele:
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → o ângulo \(C\) é agudo. Os outros ângulos são menores que ele, o que significa que todos os três ângulos são agudos — o triângulo é acutângulo;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — o triângulo é retângulo (esta é a recíproca do teorema de Pitágoras);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → o ângulo \(C\) é obtuso — o triângulo é obtusângulo.
Não é necessário verificar os outros ângulos: um triângulo só pode ter um ângulo reto ou obtuso. E não se esqueça da desigualdade triangular — se o maior lado não for menor que a soma dos outros dois, um triângulo com tais lados simplesmente não existe.
Teorema dos senos ou cossenos: como escolher
Ambos os teoremas resolvem um problema — encontram lados e ângulos desconhecidos de um triângulo — mas são aplicados a partir de diferentes conjuntos de dados. O teorema dos senos relaciona um lado e o ângulo oposto a ele:
Daí a regra de escolha: se a condição já contém um par «lado e ângulo oposto a ele» — funciona o teorema dos senos; se tal par não existe — começamos com o teorema dos cossenos. Um lembrete sobre os quatro conjuntos de dados escolares está na tabela.
Frequentemente, um problema é resolvido em duas etapas: primeiro o teorema dos cossenos fornece o terceiro lado, e depois o teorema dos senos encontra rapidamente os ângulos restantes.
| O que é conhecido | O que aplicar |
|---|---|
| LALDois lados e o ângulo entre eles | Teorema dos cossenosencontra-se o terceiro lado |
| LLLTodos os três lados | Teorema dos cossenosencontra-se qualquer ângulo e o tipo de triângulo |
| ALAUm lado e dois ângulos | Teorema dos senosencontram-se os outros dois lados |
| LLADois lados e um ângulo oposto a um deles | Teorema dos senosencontra-se o ângulo oposto |
Teorema dos cossenos em problemas do OGE
No OGE de matemática, o teorema dos cossenos aparece em tarefas de planimetria — tanto na primeira parte quanto em problemas com resposta detalhada. Os cenários típicos são:
- Encontrar um lado por dois lados e o ângulo entre eles — aplicação direta da fórmula, mais frequentemente com ângulos de 60° ou 120°.
- Encontrar um ângulo ou seu cosseno por três lados — consequência \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Se a tarefa diz «encontre \(\cos\angle A\)», não é necessário calcular o arco cosseno: a resposta é essa própria fração, que é o que se escreve.
- Diagonais de um paralelogramo. Uma diagonal corta um triângulo de dois lados e o ângulo entre eles. Ângulos adjacentes de um paralelogramo somam 180°, portanto seus cossenos são opostos: contra o ângulo agudo está a diagonal menor, contra o obtuso — a maior.
- Tipo de triângulo por três números — comparação de \(a^2 + b^2\) com \(c^2\).
- Mediana de um triângulo. A fórmula \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) é derivada pela aplicação dupla do teorema dos cossenos a dois ângulos adjacentes na base.
Conselho para o exame: antes de calcular, marque no desenho o ângulo que está «entre» os lados conhecidos. Se tal ângulo não existir — o teorema dos cossenos ainda não é aplicável, é preciso procurar outro caminho.
Exemplos de resolução de problemas sobre o teorema dos cossenos
Exemplo 1. Encontrar um lado por dois lados e um ângulo de 60°
Problema. Em um triângulo \(ABC\), os lados \(a = 7\) e \(b = 15\), o ângulo entre eles \(C = 60°\). Encontre o lado \(c\).
Passo 1. O ângulo \(C\) está entre os lados \(a\) e \(b\) — este é exatamente o caso para o qual o teorema foi criado:
Passo 2. Substituímos os números, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Passo 3. Extraímos a raiz quadrada: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Resposta: \(13\). Verificação pelo sentido: o ângulo de \(60°\) é agudo, portanto o lado oposto a ele não é o mais longo — e de fato, \(13 < 15\).
Exemplo 2. Ângulo obtuso: menos por menos
Problema. Em um triângulo \(ABC\), sabe-se: \(AB = 6\), \(BC = 10\), ângulo \(B = 120°\). Encontre o lado \(AC\).
Passo 1. O ângulo \(B\) está entre os lados \(AB\) e \(BC\), e o lado \(AC\) está oposto a ele:
Passo 2. O ângulo é obtuso, portanto \(\cos 120° = -0{,}5\). O sinal de menos antes do produto e o sinal de menos do cosseno dão um sinal de mais:
Passo 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Resposta: \(14\). Verificação: o lado oposto a um ângulo obtuso é o lado mais longo — \(14\) é maior que \(6\) e \(10\).
Exemplo 3. Encontrar um ângulo por três lados
Problema. Os lados de um triângulo medem \(3\), \(5\) e \(7\). Encontre o seu maior ângulo.
Passo 1. O maior ângulo está oposto ao maior lado, ou seja, oposto ao lado \(7\). Vamos denotá-lo por \(C\), então \(c = 7\), e os lados adjacentes são \(a = 3\) e \(b = 5\).
Passo 2. Aplicamos a consequência:
Passo 3. O cosseno é negativo — o ângulo é obtuso. Pela tabela de valores, \(\cos 120° = -0{,}5\), então \(C = 120°\).
Resposta: \(120°\). De passagem, descobriu-se que o triângulo é obtusângulo.
Exemplo 4. Determinar o tipo de triângulo
Problema. Determine o tipo de triângulo com lados \(6\), \(7\) e \(10\).
Passo 1. Verificamos a desigualdade triangular: \(6 + 7 = 13 > 10\) — o triângulo existe. O maior lado é \(10\).
Passo 2. Comparamos a soma dos quadrados dos dois menores lados com o quadrado do maior lado:
Passo 3. \(85 < 100\), então o numerador da fração é negativo e \(\cos C < 0\) — o ângulo oposto ao lado \(10\) é obtuso. Se desejar, você também pode encontrar o próprio ângulo:
Resposta: o triângulo é obtusângulo. Atenção: visualmente isso não é óbvio — os lados são quase iguais, mas o ângulo já ultrapassou \(90°\).
Exemplo 5. Problema nível OGE: diagonal de um paralelogramo
Problema. Os lados de um paralelogramo medem \(5\) e \(8\), o ângulo agudo é \(60°\). Encontre a diagonal menor.
Passo 1. A diagonal corta um triângulo no qual dois lados (\(5\) e \(8\)) e o ângulo entre eles são conhecidos. A diagonal menor está oposta ao ângulo agudo de \(60°\).
Passo 2. Calculamos:
Passo 3. Verificação. A outra diagonal está oposta ao ângulo de \(120°\) (ângulos adjacentes de um paralelogramo somam \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), ou seja, \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). A soma dos quadrados das diagonais é \(49 + 129 = 178\), e o dobro da soma dos quadrados dos lados é \(2(25 + 64) = 178\). Coincidiu, então o cálculo está correto.
Resposta: \(7\).
Erros comuns em problemas sobre o teorema dos cossenos
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Pegam o cosseno de um ângulo obtuso com sinal de mais. Para os lados $4$ e $9$ com um ângulo de $120°$ entre eles, escrevem $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ e obtêm $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), e menos por menos dá mais: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), ou seja, \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Verificação rápida: o lado oposto a um ângulo obtuso é o lado mais longo, portanto a resposta deve ser maior que \(9\).
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Substituem um ângulo que não está entre os lados dados: na condição é dado um ângulo, e ele é pego «como está», sem olhar o desenho.
Na fórmula \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\), os lados \(a\) e \(b\) formam o ângulo \(C\), e o lado \(c\) está oposto a ele. Se o ângulo conhecido é adjacente ao lado procurado, esta fórmula não serve — é preciso outra das três ou o teorema dos senos.
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Esquecem de extrair a raiz quadrada e escrevem o quadrado do lado como resposta: obtiveram $c^2 = 225$ e escrevem «o lado é igual a 225».
A fórmula sempre dá o quadrado do lado. O último passo é obrigatório: \(c = \sqrt{225} = 15\). Leia a pergunta do problema antes de escrever a resposta.
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Confundem a ordem dos termos na consequência e escrevem $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
O numerador correto é \(a^2 + b^2 - c^2\): a soma dos quadrados dos lados adjacentes menos o quadrado do lado oposto. Ao trocar a ordem, o sinal da fração muda para o oposto, e em vez de um ângulo obtuso de \(120°\) obtém-se um agudo de \(60°\).
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Encontram o ângulo pelo módulo do cosseno: obtiveram −0,25, e na resposta escrevem um ângulo agudo, como se o cosseno fosse +0,25.
Um cosseno negativo é sempre um ângulo obtuso. O sinal não pode ser perdido: cos 60° = 0,5, e cos 120° = −0,5; o arco cosseno de um número negativo é maior que 90°.
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Tentam resolver um problema «dois lados e o ângulo entre eles» com o teorema dos senos e ficam presos na primeira linha.
O teorema dos senos precisa de um par pronto «lado e ângulo oposto». Com dois lados e o ângulo entre eles, tal par não existe — primeiro o teorema dos cossenos fornece o terceiro lado, e só depois o teorema dos senos é aplicado.
Perguntas e respostas
Como soa o teorema dos cossenos?
O quadrado de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles: c² = a² + b² − 2ab·cos C. O teorema é válido para qualquer triângulo, não apenas para um triângulo retângulo.
Como encontrar um lado de um triângulo por dois lados e o ângulo entre eles?
Substitua os dados na fórmula c² = a² + b² − 2ab·cos C e extraia a raiz quadrada. Por exemplo, com lados 4 e 6 e um ângulo de 60° entre eles: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, então c = √28 ≈ 5,3.
Como encontrar um ângulo de um triângulo se três lados são conhecidos?
Pela consequência do teorema dos cossenos: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), onde c é o lado oposto ao ângulo procurado. Por exemplo, para os lados 2, 3 e 4, o cosseno do maior ângulo é (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, ou seja, o ângulo é obtuso, aproximadamente 104°.
Por que o teorema de Pitágoras é um caso particular do teorema dos cossenos?
Porque para um ângulo reto, cos 90° = 0, e o termo −2ab·cos C se anula. Da fórmula resta c² = a² + b² — esta é a teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo.
O teorema dos cossenos funciona em um triângulo obtusângulo?
Sim, e funciona sem alterações. Para um ângulo obtuso, o cosseno é negativo, portanto o termo −2ab·cos C se torna positivo e é adicionado à soma dos quadrados. É por causa disso que o lado oposto a um ângulo obtuso acaba sendo o lado mais longo.
Quando aplicar o teorema dos senos e quando aplicar o teorema dos cossenos?
O teorema dos senos é necessário quando a condição já contém um par «lado e ângulo oposto a ele» — por exemplo, um lado e dois ângulos são dados. O teorema dos cossenos é para quando tal par não existe: dois lados e o ângulo entre eles são dados, ou todos os três lados. Frequentemente, um problema é resolvido em duas etapas: primeiro os cossenos, depois os senos.
Como determinar o tipo de triângulo por três lados?
Compare o quadrado do maior lado c² com a soma dos quadrados dos outros dois. Se a² + b² > c² — o triângulo é acutângulo, se a² + b² = c² — retângulo, se a² + b² < c² — obtusângulo. O sinal desta diferença coincide com o sinal do cosseno do maior ângulo.
Em que ano se estuda o teorema dos cossenos?
No 9º ano, nas aulas de geometria, no tópico «Relações entre lados e ângulos de um triângulo» — juntamente com o teorema dos senos. Mais tarde, ele é constantemente usado em problemas do OGE e do ENEM de planimetria e estereometria.
