Tabliczka mnożenia: tablica Pitagorasa i jak szybko ją opanować

Mnożenie to skrócony zapis dodawania tych samych składników. Zamiast pisać \(4 + 4 + 4\), piszemy \(4 \times 3\): „cztery wzięte trzy razy”.

Liczby, które mnożymy, nazywamy czynnikami, a wynik to iloczyn. W zapisie \(4 \times 3 = 12\) czynnikami są 4 i 3, a iloczynem 12.

Najłatwiej wyobrazić sobie mnożenie jako prostokąt z kropek lub kratek: ile jest rzędów i ile kropek w każdym z nich. Taki prostokąt od razu pokazuje dodawanie, mnożenie oraz to, dlaczego zmiana kolejności czynników nie zmienia wyniku — wystarczy obrócić obrazek.

Pełna tabliczka mnożenia mieści się w jednym kwadracie 10 × 10 — nazywamy go tablicą Pitagorasa. Jak z niej korzystać: znajdujemy pierwszy czynnik w lewej kolumnie, drugi w górnym wierszu, a wynik znajduje się na ich przecięciu. Na przykład, wiersz 6 i kolumna 7 spotykają się w polu 42.

Przyjrzyj się tablicy, a odkryjesz w niej prawidłowości. Na przekątnej znajdują się kwadraty — liczby pomnożone przez siebie. Tablica jest symetryczna: pole nad przekątną jest równe polu pod nią. A każdy wiersz to liczenie z tym samym krokiem: wiersz 3 to 3, 6, 9, 12…

Tablicę warto wydrukować i powiesić nad biurkiem: kwadraty i powtarzające się wyniki są wyróżnione kolorem.

W szkole tabliczkę zazwyczaj uczy się słupkami: najpierw mnożenie przez 2, potem przez 3 i tak dalej. To te same liczby co w tablicy Pitagorasa, tylko każdy wiersz wypisany jest jako osobne przykłady. Słupki przez 1 i 10 nie są tu pokazane: przy mnożeniu przez 1 liczba się nie zmienia, a przy mnożeniu przez 10 dopisujemy do niej zero.

Słupki są dobre, by uczyć się tabliczki partiami. Ale jeśli odpowiada się tylko po kolei, łatwo przyzwyczaić się do „doliczania” od początku. Dlatego, gdy słupek jest już opanowany, warto sprawdzać go w losowej kolejności.

Tabliczka wygląda jak sto przykładów, ale tak naprawdę trzeba nauczyć się znacznie mniej.

1. Prawo przemienności. \(3 \times 8 = 8 \times 3\). Jeśli nauczysz się jednego, drugie już znasz. Ze 100 pól zostaje 55 różnych — prawie połowa tabliczki za darmo.
2. Mnożenie przez 0 i przez 1. Każda liczba pomnożona przez 0 daje 0. Pomnożona przez 1 — pozostaje sobą.
3. Mnożenie przez 10. Do liczby dopisujemy zero: \(10 \times 4 = 40\).
4. Mnożenie przez 2 — to podwajanie, liczbę dodajemy do niej samej.
5. Mnożenie przez 5 — to połowa mnożenia przez 10. Wszystkie wyniki kończą się na 0 lub 5.

Po zastosowaniu tych zasad w słupkach od 3 do 9 zostaje już tylko kilka przykładów. Każdy z nich można wyprowadzić z tego, co już znasz — techniki poniżej.

Słupek przez 9 jest najbardziej „magiczny”. Ma dwie niezawodne zasady.

Zasada sumy cyfr. W wynikach od \(9 \times 2\) do \(9 \times 10\) suma cyfr zawsze wynosi 9: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. A cyfra dziesiątek jest o jeden mniejsza od drugiego czynnika. Zatem \(9 \times 4\): dziesiątek jest 3, a jedności tyle, by razem było 9, czyli 6. Wynik to 36.

Zasada palców. Połóż dłonie przed sobą, ponumeruj palce od lewej do prawej od 1 do 10. Aby pomnożyć 9 przez liczbę, zegnij palec z tym numerem. Palce po lewej stronie od zgiętego to dziesiątki, po prawej — jedności. Zasada działa dla czynników od 1 do 10.

Jest też trzeci sposób, bez palców: pomnożyć przez 10 i odjąć samą liczbę.

Te słupki uważa się za najtrudniejsze, ale po zastosowaniu wszystkich technik zostaje w nich tylko kilka nowych przykładów: 6 × 6, 6 × 7, 6 × 8, 7 × 7, 7 × 8 i 8 × 8.

Kwadraty zapamiętuje się łatwiej niż resztę, ponieważ jest ich mało i znajdują się na przekątnej tablicy: 36, 49, 64. Znając kwadraty, można uzyskać sąsiednie wyniki w jednym kroku: \(7 \times 8\) — to \(7 \times 7\) i jeszcze jedna siódemka: \(49 + 7 = 56\). Tak samo \(6 \times 7 = 36 + 6 = 42\).

Drugi sposób — przez pięć: \(6 \times 8\) — to \(5 \times 8\) i jeszcze jedna ósemka: \(40 + 8 = 48\).

Dla 7 × 8 jest też cyfrowa podpowiedź: \(56 = 7 \times 8\) — cyfry 5, 6, 7, 8 występują po kolei.

Dzielenie to działanie odwrotne do mnożenia. Dlatego nie trzeba uczyć się osobnej „tabliczki dzielenia”: jest ona już ukryta w tabliczce mnożenia.

Z trzech liczb jednego przykładu otrzymujemy cztery poprawne równania: dwa na mnożenie i dwa na dzielenie. Jeśli wiesz, że \(7 \times 8 = 56\), to wiesz też, że \(56 \div 8 = 7\) oraz \(56 \div 7 = 8\).

Jak korzystać z tablicy Pitagorasa do dzielenia: znajdź w wierszu dzielnika dzielną — numer kolumny będzie wynikiem.

Kolejność nauki jest ważna: najpierw najprostsze słupki i zasady, które dają wiele wyników naraz, a trudne przykłady na końcu, gdy zostało ich już niewiele. Lepiej ćwiczyć po trochu każdego dnia, 10–15 minut, niż raz a długo.

Każdą naukę zaczynaj od krótkiego powtórzenia wczorajszego materiału. Odpowiadaj na głos i w losowej kolejności, a nie po kolei. Błędy wypisuj osobno: to twoja osobista lista na jutro.

Sprawdzanie się jest wygodne w zakładce „Trener” na tej stronie: możesz tam wybrać poszczególne słupki — na przykład tylko 6, 7 i 8 — i ćwiczyć właśnie je.