Twierdzenie Viète'a wiąże pierwiastki równania kwadratowego z jego współczynnikami: dla równania zredukowanego \(x^2 + px + q = 0\) suma pierwiastków wynosi \(-p\), a iloczyn \(q\). Pozwala to na ustne znajdowanie pierwiastków — przez dobieranie, bez delty. Na tej stronie — dokładne wzory dla równania zredukowanego i dla postaci ogólnej, twierdzenie odwrotne Viète'a, algorytm dobierania pierwiastków, omówione przykłady i interaktywny symulator.
Co to jest twierdzenie Viète'a
Twierdzenie Viète'a to reguła, która wiąże pierwiastki równania kwadratowego z jego współczynnikami. Formułuje się je następująco: jeśli \(x_1\) i \(x_2\) są pierwiastkami równania kwadratowego zredukowanego \(x^2 + px + q = 0\), to
Słowami: suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi ze znakiem przeciwnym, a iloczyn pierwiastków jest równy wyrazowi wolnemu. Znak minus w sumie to najważniejszy element całego tematu: piszemy właśnie \(-p\), a nie \(p\).
Dla równania w postaci ogólnej \(ax^2 + bx + c = 0\) (gdzie \(a \neq 0\)) wzory otrzymujemy przez podzielenie przez \(a\):
Twierdzenie działa tylko wtedy, gdy istnieją pierwiastki rzeczywiste, czyli gdy \(D \ge 0\). Jeśli delta jest ujemna, nie ma czego dobierać: nie istnieją liczby rzeczywiste o takiej sumie i takim iloczynie.
Równanie zredukowane i postać ogólna: gdzie dzielić przez a
Równaniem zredukowanym nazywamy równanie kwadratowe, w którym współczynnik przy \(x^2\) jest równy jeden: \(x^2 + px + q = 0\). Właśnie dla niego twierdzenie Viète'a brzmi najkrócej, dlatego dobieranie pierwiastków zawsze zaczyna się od sprowadzenia do postaci zredukowanej.
Jeśli \(a \neq 1\), równanie najpierw dzieli się przez \(a\) wyraz po wyrazie. Na przykład, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) po podzieleniu przez \(3\) zamienia się w \(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), czyli \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). Stąd \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) i \(x_1 \cdot x_2 = 1\).
Tę samą myśl można zapisać od razu dla postaci ogólnej, nie redukując równania: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Błąd, który popełnia się najczęściej, to zastosowanie „krótkich” wzorów \(-p\) i \(q\) do równania niezredukowanego i uzyskanie sumy \(10\) zamiast \(\frac{10}{3}\).
Twierdzenie odwrotne Viète'a
Twierdzenie Viète'a ma swoje odwrotne, i to właśnie ono pozwala rozwiązywać równania przez dobieranie. Brzmi ono tak: jeśli liczby \(m\) i \(n\) są takie, że
to \(m\) i \(n\) są pierwiastkami równania \(x^2 + px + q = 0\).
Różnica jest zasadnicza. Twierdzenie proste idzie od pierwiastków do współczynników: pierwiastki są już znane, otrzymujemy związki między nimi. Twierdzenie odwrotne idzie od współczynników do pierwiastków: odgadliśmy parę liczb o wymaganej sumie i wymaganym iloczynie — i mamy pełne prawo nazwać je pierwiastkami, niczego więcej nie trzeba udowadniać.
Stąd wynika również użyteczna zasada: jeśli \(x_1\) i \(x_2\) są pierwiastkami, to wielomian rozkłada się na czynniki \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). Na przykład, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
Dobieranie pierwiastków twierdzeniem Viète'a: algorytm
Dobieranie pierwiastków to główne praktyczne zastosowanie twierdzenia. Działa ono szybciej niż delta, gdy pierwiastki są całkowite, i zajmuje pięć kroków.
Znaki pierwiastków według współczynników p i q
Jeszcze przed dobieraniem można zorientować się, jakie znaki będą miały pierwiastki — wystarczy spojrzeć na znaki \(p\) i \(q\). To znacznie skraca proces szukania: od razu widać, czy szukać pary dwóch liczb dodatnich, dwóch ujemnych, czy liczb o różnych znakach.
| p i q | Pierwiastki | Przykład |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | oba > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | oba < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | różnych znaków | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 i −p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
Twierdzenie Viète'a czy delta: co wybrać
Wzór na pierwiastki przez deltę \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) działa zawsze, ale wymaga obliczeń. Twierdzenie Viète'a działa natychmiast, ale tylko jeśli pierwiastki można odgadnąć — zazwyczaj są to małe liczby całkowite.
Praktyczna zasada jest taka:
- równanie zredukowane, a \(q\) rozkłada się na parę małych czynników → spróbuj dobierania według Viète'a, odpowiedź uzyskasz ustnie;
- współczynniki duże lub ułamkowe, pierwiastki nie dają się odgadnąć w ciągu 10–15 sekund → licz deltę;
- potrzebna jest tylko liczba pierwiastków lub znaki pierwiastków, a samych pierwiastków nie trzeba znać → wystarczy \(D\) i tabela znaków powyżej.
Warto też połączyć te metody: policzyłeś deltę i znalazłeś pierwiastki — sprawdź odpowiedź według Viète'a. Suma powinna dać \(-p\), iloczyn \(q\). Taka weryfikacja zajmuje kilka sekund i pozwala wyłapać prawie każdy błąd arytmetyczny.
Przykłady rozwiązań twierdzeniem Viète'a
Przykład 1. Dobieranie pierwiastków: oba pierwiastki dodatnie
Rozwiąż \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
Krok 1. Równanie jest zredukowane: \(p = -9\), \(q = 20\).
Krok 2. Sprawdzamy deltę: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) — dwa pierwiastki istnieją.
Krok 3. Zapisujemy związki: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
Krok 4. Przeglądamy rozkłady liczby 20: \(1\cdot 20\) (suma 21), \(2\cdot 10\) (suma 12), \(4\cdot 5\) (suma 9) — pasuje ostatnia para. Oba czynniki są dodatnie, ponieważ \(q > 0\), a \(p < 0\).
Krok 5. Sprawdzenie przez podstawienie. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
Odpowiedź: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
Przykład 2. Pierwiastki różnych znaków
Rozwiąż \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
Krok 1. Równanie jest zredukowane: \(p = 3\), \(q = -28\).
Krok 2. \(q < 0\), co oznacza, że pierwiastki są różnych znaków, a delta jest z definicji dodatnia: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
Krok 3. Związki: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
Krok 4. Rozkłady liczby 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). Potrzebna jest różnica 3 — pasuje para 4 i 7. Ponieważ suma jest ujemna, pierwiastek o większym module bierzemy ze znakiem minus: \(4\) i \(-7\).
Krok 5. Sprawdzenie. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
Odpowiedź: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
Przykład 3. Równanie w postaci ogólnej (a ≠ 1)
Rozwiąż \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
Krok 1. Współczynnik \(a = 3\), dlatego „krótkich” wzorów \(-p\) i \(q\) nie można stosować. Używamy postaci ogólnej: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
Krok 2. Iloczyn wynosi 1 — oznacza to, że pierwiastki są wzajemnie odwrotne: jeśli jeden wynosi \(t\), drugi wynosi \(\tfrac{1}{t}\). Suma \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) podpowiada \(t = 3\), ponieważ \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
Krok 3. Sprawdzenie przez podstawienie. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
Odpowiedź: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
Przykład 4. Ułóż równanie na podstawie jego pierwiastków
Zadanie. Ułóż zredukowane równanie kwadratowe, którego pierwiastkami są \(-4\) i \(6\).
Krok 1. Obliczamy sumę i iloczyn: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
Krok 2. Zgodnie z twierdzeniem odwrotnym Viète'a współczynniki wynoszą \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) i \(q = x_1 x_2 = -24\). Tutaj kryje się główna pułapka: \(p\) to suma ze znakiem przeciwnym.
Krok 3. Zapisujemy równanie: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
Krok 4. Sprawdzenie przez podstawienie. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
Odpowiedź: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). Ten sam wynik daje rozkład \((x + 4)(x - 6) = 0\).
Przykład 5. Sprawdzenie cudzej odpowiedzi twierdzeniem Viète'a
Zadanie. Uczeń rozwiązał równanie \(x^2 + 5x + 6 = 0\) i zapisał odpowiedź: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). Sprawdź, czy się nie pomylił.
Krok 1. Zgodnie z twierdzeniem Viète'a powinno być \(x_1 + x_2 = -p = -5\) i \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
Krok 2. W podanej odpowiedzi iloczyn się zgadza (\(2\cdot 3 = 6\)), ale suma nie: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). Zatem odpowiedź jest niepoprawna: zgubiono znak minus.
Krok 3. Szukamy poprawnej pary: potrzebne są liczby o iloczynie 6 i sumie \(-5\) — są to \(-2\) i \(-3\) (oba ujemne, ponieważ \(q > 0\) i \(p > 0\)).
Krok 4. Sprawdzenie przez podstawienie. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
Odpowiedź: poprawne pierwiastki to \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
Częste błędy przy pracy z twierdzeniem Viète'a
-
Gubienie minusa w sumie: pisanie $x_1 + x_2 = p$ zamiast $x_1 + x_2 = -p$.
Minus jest tylko przy sumie, iloczyn bierze się z tym samym znakiem: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). Sprawdź na prostym równaniu \(x^2 - 5x + 6 = 0\): tutaj \(p = -5\), suma pierwiastków wynosi \(5\), a pierwiastki to rzeczywiście 2 i 3.
-
Stosowanie wzorów $-p$ i $q$ do równania niezredukowanego: dla $2x^2 - 9x + 4 = 0$ mówienie „suma 9, iloczyn 4”.
Dopóki \(a \neq 1\), obowiązują wzory postaci ogólnej: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). Pierwiastki tutaj to 4 i \(\tfrac{1}{2}\), a nie 4 i 1. Albo najpierw podziel całe równanie przez \(a\).
-
Dobieranie pierwiastków bez sprawdzenia delty: dla $x^2 + x + 1 = 0$ próba znalezienia pary liczb o sumie $-1$ i iloczynie $1$.
Najpierw upewnij się, że pierwiastki istnieją: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), pierwiastków rzeczywistych brak, dobieranie jest niemożliwe. Twierdzenie Viète'a działa tylko przy \(D \ge 0\).
-
Dobieranie pary tylko według iloczynu, bez sprawdzania sumy: dla $x^2 - 8x + 12 = 0$ branie 3 i 4, ponieważ ich iloczyn wynosi 12.
Trzeba sprawdzać oba związki naraz. Dla \(x^2 - 8x + 12 = 0\) iloczyn 12 dają pary (1; 12), (2; 6), (3; 4), a sumę 8 — tylko para 2 i 6. Sprawdzenie: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) i \(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
Układając równanie na podstawie pierwiastków, branie $p$ równego sumie: dla pierwiastków 2 i 5 pisanie $x^2 + 7x + 10 = 0$.
Współczynnik \(p\) jest równy sumie ze znakiem przeciwnym: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), czyli \(x^2 - 7x + 10 = 0\). Podstawienie potwierdza: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
Uważanie, że twierdzenie Viète'a jest prawdziwe tylko dla pierwiastków całkowitych i niestosowanie go do sprawdzania odpowiedzi.
Związki \(x_1 + x_2 = -p\) i \(x_1 x_2 = q\) są spełnione dla dowolnych pierwiastków rzeczywistych — całkowitych, ułamkowych i niewymiernych. Po prostu ustne dobieranie jest wygodne dla liczb całkowitych, a dla pozostałych twierdzenie pozostaje szybkim sposobem sprawdzenia odpowiedzi znalezionej za pomocą delty.
Pytania i odpowiedzi
Jak brzmi twierdzenie Viète'a prostymi słowami?
Jeśli zredukowane równanie kwadratowe \(x^2 + px + q = 0\) ma pierwiastki, to ich suma jest równa drugiemu współczynnikowi ze znakiem przeciwnym, a iloczyn jest równy wyrazowi wolnemu: \(x_1 + x_2 = -p\) i \(x_1 x_2 = q\).
Ile wynoszą suma i iloczyn pierwiastków równania $ax^2 + bx + c = 0$?
Dla równania w postaci ogólnej suma pierwiastków wynosi \(-\dfrac{b}{a}\), a iloczyn \(\dfrac{c}{a}\). Te wzory wynikają z przypadku zredukowanego przez podzielenie całego równania przez \(a\).
Czym twierdzenie odwrotne Viète'a różni się od twierdzenia prostego?
Twierdzenie proste idzie od pierwiastków do współczynników: znając pierwiastki, otrzymujemy sumę \(-p\) i iloczyn \(q\). Twierdzenie odwrotne działa odwrotnie: jeśli para liczb daje wymaganą sumę i wymagany iloczyn, to te liczby są pierwiastkami równania. To właśnie twierdzenie odwrotne pozwala rozwiązywać równania przez dobieranie.
Jak dobrać pierwiastki twierdzeniem Viète'a?
Sprowadź równanie do postaci \(x^2 + px + q = 0\), upewnij się, że \(D \ge 0\), zapisz \(x_1 + x_2 = -p\) i \(x_1 x_2 = q\), przejrzyj rozkłady liczby \(q\) na pary czynników i wybierz tę parę, której suma jest równa \(-p\). Na przykład, dla \(x^2 + 6x + 8 = 0\) potrzebne są liczby o iloczynie 8 i sumie \(-6\) — są to \(-2\) i \(-4\).
Czy twierdzenie Viète'a działa, jeśli współczynnik przy $x^2$ nie jest równy jeden?
Tak, ale w postaci ogólnej: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Krótkie wzory \(-p\) i \(q\) są prawdziwe tylko dla równania zredukowanego, dlatego przy \(a \neq 1\) równanie najpierw dzieli się przez \(a\).
Co zrobić, jeśli pierwiastków twierdzeniem Viète'a nie da się dobrać?
Oznacza to, że pierwiastki nie są całkowite lub w ogóle nie istnieją. Oblicz deltę: przy \(D < 0\) pierwiastków rzeczywistych brak, a przy \(D \ge 0\) znajdź pierwiastki ze wzoru \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), a następnie sprawdź odpowiedź twierdzeniem Viète'a.
Jak określić znaki pierwiastków, nie rozwiązując równania?
Według znaków \(p\) i \(q\) przy \(D \ge 0\): jeśli \(q > 0\) i \(p < 0\) — oba pierwiastki są dodatnie; jeśli \(q > 0\) i \(p > 0\) — oba są ujemne; jeśli \(q < 0\) — pierwiastki są różnych znaków; jeśli \(q = 0\) — jeden z pierwiastków jest równy zero.
W której klasie omawia się twierdzenie Viète'a?
W 8. klasie na lekcjach algebry, zaraz po równaniach kwadratowych i delcie. Następnie jest ono wykorzystywane przy rozkładzie trójmianu kwadratowego na czynniki \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), przy badaniu pierwiastków z parametrem oraz w zadaniach egzaminacyjnych (Ósmoklasisty, maturalnych).
