Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego o tę samą liczbę \(d\) (różnicę ciągu). Dowolny wyraz wyznacza się wzorem \(a_n = a_1 + (n-1)d\), a sumę \(n\) początkowych wyrazów wzorem \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). Na tej stronie omówiono definicję i różnicę, oba wzory na sumę, własność charakterystyczną, sprawdzanie przynależności liczby do ciągu, różnicę względem ciągu geometrycznego, typowe zadania egzaminacyjne oraz interaktywny trener do samodzielnej nauki.
Czym jest ciąg arytmetyczny
Ciąg arytmetyczny to ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz powstaje z poprzedniego poprzez dodanie tej samej liczby. Liczbę tę nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy literą \(d\).
Definicja jednym wzorem: ciąg \(a_1, a_2, a_3, \dots\) nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeśli dla dowolnego numeru \(n\) zachodzi równość
Weźmy ciąg 3, 7, 11, 15, 19, … Pierwszy wyraz to \(a_1 = 3\), a różnica \(d = 4\): każda kolejna liczba jest większa od poprzedniej dokładnie o 4. Dlatego kolejny wyraz wynosi 23, a przed trójką (gdyby kontynuować wstecz) stałaby jedynka ze znakiem minus.
Cały ciąg jest określony przez zaledwie dwie liczby — pierwszy wyraz \(a_1\) oraz różnicę \(d\). Znając tę parę, można podać dowolny wyraz, obliczyć sumę dowolnej liczby początkowych wyrazów i sprawdzić, czy dana liczba występuje w ciągu. Ciąg oznaczamy symbolem \((a_n)\), a jego wyrazy jako \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) i tak dalej, gdzie indeks dolny zawsze oznacza numer, a nie wartość.
Różnica ciągu arytmetycznego: jak znaleźć d
Różnica to zawsze kolejny wyraz minus poprzedni:
Kolejność odejmowania jest ważna: jeśli odejmiesz odwrotnie, znak różnicy będzie przeciwny. Dla ciągu 20, 17, 14, 11, 8 różnica wynosi \(17 - 20 = -3\), a nie \(+3\).
Znak \(d\) całkowicie określa zachowanie ciągu:
- \(d > 0\) — ciąg jest rosnący, wyrazy się zwiększają;
- \(d < 0\) — ciąg jest malejący, wyrazy się zmniejszają;
- \(d = 0\) — wszystkie wyrazy są jednakowe, np. 6, 6, 6, 6, … To również ciąg arytmetyczny, po prostu stały.
Jeśli znane są dwa wyrazy o różnych numerach, różnicę znajdujemy ze wzoru
Przykład. Niech \(a_4 = 30\) i \(a_{10} = 6\). Wtedy \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), a pierwszy wyraz wynosi \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). Sprawdźmy początek ciągu: 42, 38, 34, 30 — czwarty wyraz to rzeczywiście 30.
Różnica nie musi być liczbą całkowitą: w ciągu 1; 1,5; 2; 2,5 różnica wynosi 0,5 i jest to pełnoprawny ciąg arytmetyczny.
Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
Główny wzór tematu pozwala znaleźć dowolny wyraz bez wypisywania wszystkich poprzednich:
Skąd bierze się \(n - 1\)? Aby dojść od pierwszego wyrazu do \(n\)-tego, różnicę dodajemy nie \(n\) razy, lecz o raz mniej: do drugiego wyrazu — jeden krok, do trzeciego — dwa, do dwudziestego — dziewiętnaście.
Przykład. Dla ciągu 3, 7, 11, 15, 19, … mamy \(a_1 = 3\) i \(d = 4\), zatem
Taki zwinięty zapis jest bardzo wygodny: od razu widać, że \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), a \(a_{100} = 399\). Przy okazji podpowiada on różnicę: w każdym ciągu arytmetycznym wzór na \(n\)-ty wyraz jest liniowy, postaci \(a_n = dn + c\), a współczynnik przed \(n\) to właśnie różnica.
Czasami pierwszy wyraz jest nieznany, ale podany jest inny. Wtedy działa ta sama idea w postaci ogólnej: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Własność charakterystyczna ciągu arytmetycznego
Każdy wyraz ciągu, poza pierwszym, jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów:
Właśnie dlatego ciąg nazywamy arytmetycznym. Ta równość działa również w drugą stronę: jeśli w ciągu każdy środkowy wyraz jest równy półsumie sąsiadów, to ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Takie stwierdzenie nazywamy cechą ciągu arytmetycznego i w zadaniach używamy go, aby udowodnić, że trzy liczby tworzą ciąg.
Przykład. Liczby 7, \(x\), 23 — trzy kolejne wyrazy ciągu. Wtedy \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Sprawdzenie: 7, 15, 23 — różnice 8 i 8, wszystko się zgadza.
Wygodna forma zapisu tej samej własności: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), czyli podwojony środkowy wyraz jest równy sumie skrajnych. W tej postaci własność łatwiej stosować, gdy wyrazy są podane jako wyrażenia literowe.
Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
Sumę \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) obliczamy za pomocą jednego z dwóch wzorów:
Idea pierwszego wzoru jest tą samą, którą według legendy odkrył uczeń Gauss, dodając liczby od 1 do 100. Jeśli dodać pierwszy wyraz do ostatniego, drugi do przedostatniego i tak dalej, wszystkie pary dadzą tę samą sumę. Stąd \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Drugi wzór wynika z pierwszego po podstawieniu \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — jest potrzebny, gdy ostatni wyraz nie jest podany i nie chcemy go liczyć osobno.
Przykład. Obliczmy sumę pierwszych dwudziestu wyrazów ciągu 3, 7, 11, 15, 19, …
Z pierwszego wzoru: \(a_{20} = 79\), więc \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Z drugiego: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Wyniki się zgadzają — to najlepszy sposób sprawdzenia obliczeń.
Jak sprawdzić, czy liczba należy do ciągu arytmetycznego
Pytanie „czy liczba jest wyrazem ciągu” rozwiązujemy za pomocą równania. Liczba należy do ciągu wtedy i tylko wtedy, gdy jej numer \(n\) jest liczbą naturalną: 1, 2, 3 i tak dalej. Ułamkowy lub niedodatni \(n\) oznacza, że takiego wyrazu nie ma.
Przykład 1. Czy liczba 99 należy do ciągu 3, 7, 11, 15, 19, …? Wzór na \(n\)-ty wyraz to \(a_n = 4n - 1\), więc rozwiązujemy \(4n - 1 = 99\), skąd \(4n = 100\) i \(n = 25\). Numer jest naturalny — oznacza to, że 99 jest w ciągu, to jego dwudziesty piąty wyraz.
Przykład 2. A liczba 2026? Z \(4n - 1 = 2026\) otrzymujemy \(4n = 2027\) i \(n = 506{,}75\). Numer jest ułamkowy, więc 2026 nie jest wyrazem tego ciągu.
Przydatna wskazówka do szybkiego szacowania: w ciągu o wzorze \(a_n = 4n - 1\) wszystkie wyrazy przy dzieleniu przez 4 dają resztę 3. Liczba 2026 daje resztę 2, więc „mija się” z ciągiem.
Typowe zadania egzaminacyjne z ciągu arytmetycznego
Na egzaminie z matematyki ciągi pojawiają się co roku i prawie wszystkie zadania sprowadzają się do czterech schematów.
Znaleźć wyraz po numerze. Dane są \(a_1\) i \(d\) (lub kilka pierwszych wyrazów) — podstawiamy do \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Znaleźć numer po wartości. Dana jest liczba — przyrównujemy do niej wzór na \(n\)-ty wyraz i rozwiązujemy równanie względem \(n\).
Znaleźć sumę. Obliczamy \(S_n\) za pomocą jednego z dwóch wzorów; jeśli brakuje \(a_n\) — najpierw go znajdujemy.
Znaleźć liczbę wyrazów. Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz wynika wygodny wniosek: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
Osobno warto wspomnieć o zadaniu tekstowym, gdzie ciąg jest ukryty w treści. Na przykład: pierwszego dnia robotnik wykonał 12 detali, a każdego kolejnego dnia — o 3 detale więcej niż poprzedniego; ile detali wykona w ciągu 15 dni? Tutaj \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Obliczamy ostatni wyraz: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Wtedy \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) detali.
Główna rada dotycząca takich zadań: najpierw wypisz w osobnej linii, co jest dane (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) i co należy znaleźć. Połowa błędów na egzaminie nie wynika z nieznajomości wzorów, lecz z pomylenia numeru z wartością wyrazu.
Ciąg arytmetyczny i geometryczny: na czym polega różnica
Oba ciągi to reguły, według których z jednego wyrazu otrzymuje się kolejny. Różnica tkwi w działaniu: w arytmetycznym do wyrazu dodajemy tę samą liczbę \(d\), w geometrycznym — mnożymy przez tę samą liczbę \(q\), którą nazywamy ilorazem ciągu.
Stąd też różne zachowanie. Ciąg arytmetyczny rośnie równomiernie, „po stopniach”: 3, 7, 11, 15 — każdy krok dodaje 4. Geometryczny rośnie lawinowo: 3, 6, 12, 24 — każdy krok podwaja liczbę i już po dziesięciu krokach wyraz będzie większy niż półtora tysiąca.
Sprawdzenie typu ciągu jest proste: oblicz różnice sąsiednich wyrazów oraz ich ilorazy. Jednakowe różnice — ciąg arytmetyczny, jednakowe ilorazy — geometryczny. Jeśli nie zgadza się ani jedno, ani drugie, przed Tobą po prostu ciąg: na przykład 1, 4, 9, 16 — to kwadraty liczb naturalnych i nie jest to ciąg (różnice 3, 5, 7 są różne, ilorazy również).
W programie szkolnym oba tematy występują jeden po drugim w 9 klasie, więc wzory łatwo pomylić. Zapamiętaj: w arytmetycznym różnicę \(d\) dodajemy, w geometrycznym iloraz \(q\) mnożymy. Cała reszta to konsekwencje.
Przykłady rozwiązywania zadań z ciągu arytmetycznego
Przykład 1. Znajdź pierwszy wyraz i różnicę na podstawie dwóch wyrazów
Dane. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Znajdź \(a_1\), \(d\) oraz \(a_{20}\).
Krok 1. Od trzeciego wyrazu do siódmego jest dokładnie \(7 - 3 = 4\) kroki, w każdym dodawane jest \(d\). Zatem \(a_7 = a_3 + 4d\), czyli \(30 = 14 + 4d\), skąd \(4d = 16\) i \(d = 4\).
Krok 2. Wracamy wstecz do pierwszego wyrazu: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Krok 3. Zapisujemy wzór na \(n\)-ty wyraz: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Krok 4. Obliczamy potrzebny wyraz: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Sprawdzenie. Wypiszmy początek ciągu: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Trzeci wyraz to 14, siódmy to 30 — zgadza się.
Odpowiedź: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Przykład 2. Suma pierwszych 30 wyrazów (oba wzory)
Dane. Ciąg \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Znajdź \(S_{30}\).
Krok 1. Określamy parametry: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Krok 2. Znajdujemy trzydziesty wyraz: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Krok 3. Obliczamy z pierwszego wzoru: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Krok 4. Sprawdzenie drugim wzorem. Najpierw licznik: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Dalej jak w trzecim kroku: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Obie drogi dały 1155 — oznacza to, że arytmetyka jest poprawna.
Odpowiedź: \(S_{30} = 1155\).
Przykład 3. Suma wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 7
Zadanie. Znajdź sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez 7.
Krok 1. Takie liczby same tworzą ciąg arytmetyczny z różnicą 7. Najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez siedem to 14, największa to 98 (kolejna, 105, jest już trzycyfrowa). Otrzymujemy \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Krok 2. Obliczamy liczbę wyrazów: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Krok 3. Obliczamy sumę: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Krok 4. Sprawdzenie drugim wzorem. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Odpowiedź: 728.
Przykład 4. Sprawdzenie, czy liczba należy do ciągu
Zadanie. Czy liczba 145 jest wyrazem ciągu \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? A liczba 142?
Krok 1. Parametry ciągu: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), zatem \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Krok 2. Sprawdzamy 145: równanie \(5n + 2 = 145\) daje \(5n = 143\) i \(n = 28{,}6\). Numer jest ułamkowy, więc 145 nie jest wyrazem ciągu.
Krok 3. Sprawdzamy 142: \(5n + 2 = 142\), skąd \(5n = 140\) i \(n = 28\). Numer jest naturalny — liczba należy do ciągu.
Krok 4. Sprawdzenie podstawieniem. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Zgadza się.
Odpowiedź: 145 nie należy do ciągu; 142 należy i jest jego 28. wyrazem.
Przykład 5. Własność charakterystyczna z wyrazami literowymi
Zadanie. Dla jakiej wartości \(x\) liczby \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?
Krok 1. Z własności charakterystycznej podwojony środkowy wyraz jest równy sumie skrajnych:
Krok 2. Opuszczamy nawiasy: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Krok 3. Rozwiązujemy: \(2 + 4 = 5x - 4x\), czyli \(x = 6\).
Krok 4. Sprawdzenie. Podstawiamy \(x = 6\): pierwszy wyraz \(6 - 3 = 3\), drugi \(2\cdot 6 + 1 = 13\), trzeci \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Różnice: \(13 - 3 = 10\) i \(23 - 13 = 10\) — są jednakowe.
Odpowiedź: \(x = 6\), ciąg 3, 13, 23 z różnicą 10.
Przykład 6. Ile jest wyrazów ujemnych w ciągu
Zadanie. Ile wyrazów ujemnych ma ciąg \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Krok 1. Parametry: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Wzór na \(n\)-ty wyraz: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Krok 2. Zapisujemy warunek „wyraz jest ujemny”: \(3n - 24 < 0\), skąd \(3n < 24\) i \(n < 8\).
Krok 3. Numery są naturalne, więc pasują \(n = 1, 2, \dots, 7\) — łącznie siedem wyrazów.
Krok 4. Sprawdzenie granicy. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — ujemny. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — zero nie jest liczbą ujemną, więc ósmego wyrazu już nie liczymy. \(a_9 = 3\) — dodatni.
Odpowiedź: siedem wyrazów ujemnych.
Częste błędy w zadaniach z ciągu arytmetycznego
-
We wzorze na $n$-ty wyraz piszą $a_n = a_1 + nd$ zamiast $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Od pierwszego wyrazu do \(n\)-tego wykonuje się o jeden krok mniej niż wynosi numer. Dla ciągu \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) dziesiąty wyraz wynosi \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), a nie 45. Szybkie sprawdzenie wzoru: podstaw \(n = 1\) — powinno wyjść dokładnie \(a_1\).
-
Różnicę liczą odwrotnie: $d = a_1 - a_2$, przez co znak wychodzi przeciwny.
Różnica to kolejny wyraz minus poprzedni: \(d = a_2 - a_1\). Dla ciągu \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) poprawnie jest \(d = 34 - 40 = -6\). Znak minus nie jest tu błędem, lecz cechą ciągu malejącego.
-
We wzorze na sumę zapominają podzielić przez 2 lub pomnożyć przez $n$: piszą $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Sumowane są pary „pierwszy z ostatnim”, jest ich dokładnie \(\dfrac{n}{2}\), dlatego dzielenie przez 2 jest obowiązkowe. Dla ciągu \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) mamy \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) i \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), a nie 670.
-
Przy sprawdzaniu przynależności liczby otrzymują $n = 0$ lub ujemne $n$ i mimo to odpowiadają „należy”.
Numer wyrazu to liczba naturalna, liczenie zaczyna się od jedynki. Na przykład dla ciągu \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) równanie \(10 + 4(n-1) = 6\) daje \(n = 0\), co oznacza, że 6 nie należy do ciągu: ta liczba stałaby przed pierwszym wyrazem.
-
Mylą to, co zostało znalezione: podstawiają wartość wyrazu tam, gdzie potrzebny jest jego numer i odwrotnie.
\(a_n\) — to wartość, \(n\) — numer porządkowy. Jeśli w zadaniu pytają „który z kolei wyraz wynosi 142”, odpowiedzią będzie 28, a nie 142. Przydatny nawyk: wypisywanie przed rozwiązaniem wiersza „dane: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), znaleźć: \(n\)”.
-
Uważają, że ciąg musi rosnąć i składać się z liczb całkowitych.
Różnica może być ujemna (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), ułamkowa (1; 1,5; 2; 2,5) a nawet zerowa (8, 8, 8, …). Wszystkie trzy przypadki to poprawne ciągi arytmetyczne i wszystkie wzory działają dla nich bez zmian.
Pytania i odpowiedzi
Czym jest ciąg arytmetyczny w prostych słowach?
To ciąg liczb, w którym każda kolejna liczba powstaje z poprzedniej poprzez dodanie tej samej liczby \(d\) — różnicy ciągu. Na przykład 3, 7, 11, 15, 19, … — to ciąg z pierwszym wyrazem 3 i różnicą 4.
Jaki jest wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), gdzie \(a_1\) — pierwszy wyraz, \(d\) — różnica, \(n\) — numer. Jeśli znany jest nie pierwszy, a inny wyraz, działa postać ogólna \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Jak znaleźć różnicę ciągu arytmetycznego?
Odejmij od dowolnego wyrazu poprzedni: \(d = a_n - a_{n-1}\). Jeśli podane są dwa wyrazy o różnych numerach, użyj \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). Na przykład przy \(a_5 = 23\) i \(a_9 = 43\) otrzymujemy \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), a pierwszy wyraz wynosi \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Jak znaleźć pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego?
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). Na przykład, jeśli \(a_{12} = 60\) i \(d = 4\), to \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Sprawdzenie: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Jak znaleźć sumę początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego?
Ze wzoru \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), jeśli znany jest ostatni wyraz, lub ze wzoru \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), jeśli znane są tylko pierwszy wyraz i różnica. Oba dają ten sam wynik, dlatego drugi wygodnie stosować jako sprawdzenie pierwszego.
Jak znaleźć liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego?
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). Na przykład w ciągu \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) różnica wynosi 5, więc \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) wyrazów.
Czym ciąg arytmetyczny różni się od geometrycznego?
W arytmetycznym do każdego wyrazu dodajemy różnicę \(d\), a w geometrycznym każdy wyraz mnożymy przez iloraz \(q\). Wzory na \(n\)-ty wyraz: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) kontra \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). Aby określić typ, oblicz różnice sąsiednich wyrazów oraz ich ilorazy: jednakowe różnice — arytmetyczny, jednakowe ilorazy — geometryczny.
Czy różnica może być ujemna lub równa zero?
Tak. Przy \(d < 0\) ciąg maleje (na przykład 20, 17, 14, 11), przy \(d = 0\) wszystkie wyrazy są jednakowe (6, 6, 6, …) — to ciąg stały. Różnica może być również ułamkowa: 1; 1,5; 2; 2,5 — to również ciąg arytmetyczny.
W której klasie przerabia się ciąg arytmetyczny?
W 9 klasie na lekcjach algebry, razem z ciągiem geometrycznym i ciągami liczbowymi. Zadania na ciągi wchodzą w skład egzaminu (OGE): zazwyczaj wymagane jest znalezienie wyrazu po numerze, numeru po wartości, liczby wyrazów lub sumy pierwszych \(n\) wyrazów.
