Jak rozwiązywać proporcje: własność podstawowa i rozwiązywanie zadań

Stosunek dwóch liczb to ich iloraz. Stosunek \(2:3\) (czytany „dwa do trzech”) pokazuje, ile razy jedna liczba jest większa od drugiej lub jaką część jedna stanowi z drugiej. Można go zapisać na dwa sposoby: \(2:3\) lub jako ułamek \(\frac{2}{3}\) — to to samo.

Proporcja to równość dwóch stosunków:

W proporcji są cztery liczby i mają one swoje nazwy. Liczby na krańcach zapisu to człony skrajne, liczby w środku to człony środkowe. Proporcja jest prawdziwa, gdy oba stosunki są równe tej samej liczbie.

Podstawowa własność proporcji: iloczyn członów skrajnych jest równy iloczynowi członów środkowych.

Dlaczego tak się dzieje? Pomnóżmy obie strony równania \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) przez \(b \cdot d\). Po lewej stronie skróci się \(b\), po prawej — \(d\), i zostanie dokładnie \(a \cdot d = c \cdot b\). Żadna magia — zwykła własność równań.

Właśnie to uczniowie nazywają „rozwiązywaniem proporcji na krzyż”: liczby mnoży się po przekątnej, na krzyż. Własność działa również w drugą stronę: jeśli dla czterech liczb (żadna z nich nie jest zerem) zachodzi \(a \cdot d = b \cdot c\), to można z nich utworzyć prawdziwą proporcję.

Stąd od razu dwie umiejętności: sprawdzenie, czy proporcja jest prawdziwa, i znalezienie w niej nieznanej liczby.

Z podstawowej własności wynikają dwie krótkie zasady:

• nieznany człon skrajny = iloczyn członów środkowych : znany człon skrajny;
• nieznany człon środkowy = iloczyn członów skrajnych : znany człon środkowy.

Nie trzeba ich zapamiętywać na pamięć. Wystarczy jedna uniwersalna metoda: pomnożyć na krzyż, otrzymać równanie postaci „liczba \(\cdot\, x\) = liczba” i podzielić. Rozważmy to krok po kroku na proporcji \(x : 7 = 12 : 21\).

Ostatni krok — sprawdzenie — zajmuje pięć sekund i wyłapuje prawie każdy błąd arytmetyczny, dlatego nie należy go pomijać.

Dwie wielkości nazywamy wielkościami proporcjonalnymi prosto, jeśli przy wielokrotnym zwiększeniu jednej, druga zwiększa się tyle samo razy. Kupiono dwa razy więcej zeszytów — zapłacono dwa razy więcej. U takich wielkości stały jest ich stosunek.

Wielkości są proporcjonalne odwrotnie, jeśli przy wielokrotnym zwiększeniu jednej, druga zmniejsza się tyle samo razy. Dwa razy więcej robotników — dwa razy mniej dni na tę samą pracę. U takich wielkości stały jest ich iloczyn.

Główna różnica jest widoczna w momencie, gdy zapisujemy proporcję. Dla zależności prostej jest ona tworzona „jak jest”: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). Dla zależności odwrotnej drugie wyrażenie jest odwracane: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).

Dlaczego? Dla zależności odwrotnej stały jest iloczyn: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). Podzielmy obie strony przez \(a_2 \cdot b_1\) — i otrzymamy właśnie \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). Więc „odwrócenie” to nie zaklęcie, które trzeba zapamiętać, ale konsekwencja tego, że stały pozostaje iloczyn, a nie stosunek.

Zadania tekstowe „na proporcję” rozwiązuje się według jednego scenariusza:

1. Wypisz warunek w dwóch kolumnach tak, aby te same wielkości stały jedna pod drugą (porcje pod porcjami, gramy pod gramami).
2. Oznacz szukaną wielkość przez \(x\).
3. Określ typ zależności: wyobraź sobie zwiększenie pierwszej wielkości i zobacz, czy druga rośnie, czy maleje.
4. Ułóż proporcję — dla zależności odwrotnej odwróć drugie wyrażenie.
5. Rozwiąż na krzyż i sprawdź, czy otrzymany wynik jest rozsądny.

Pokażemy na przykładzie przepisu. Na 4 porcje naleśników potrzeba 300 g mąki — ile mąki potrzeba na 6 porcji? Porcji jest więcej, więc mąki też potrzeba więcej: zależność jest prosta, proporcję układa się „jak jest”:

Na 6 porcji potrzeba 450 g mąki. Wynik jest rozsądny: porcji jest półtora raza więcej, i mąki potrzeba półtora raza więcej.

Dokładnie tak samo rozwiązuje się zadania ze skalą (odległość na mapie odnosi się do odległości w terenie tak samo, jak 1 do liczby skali) i z ceną (ilość towaru odnosi się do ilości tak samo, jak koszt do kosztu). Pełne analizy — w przykładach poniżej.

Procent to setna część liczby, dlatego każde proste zadanie na procenty zamienia się w proporcję:

Gdzieś jedna z czterech liczb jest nieznana — właśnie ją znajdujemy na krzyż.

Znaleźć część. Ile wynosi 15% z 240? Układamy \(x : 240 = 15 : 100\), zatem \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) i \(x = 36\).

Znaleźć całość. Liczba 21 stanowi 35% pewnej liczby. Układamy \(21 : x = 35 : 100\), zatem \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) i \(x = 60\).

Znaleźć procent. Ile procent stanowi 18 z 45? Układamy \(18 : 45 = p : 100\), zatem \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) i \(p = 40\), czyli 40%.

Jedna metoda — trzy różne typy zadań, niczego dodatkowego nie trzeba zapamiętywać. Osobno jest tylko pytanie „o ile procent wzrosła lub zmniejszyła się wielkość”: tam najpierw znajduje się zmianę, a potem dzieli ją przez wartość początkową — to już wzór na zmianę procentową, a nie prosta proporcja.