Nierówność wymierna to nierówność postaci \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), gdzie \(P(x)\) i \(Q(x)\) to wielomiany, a zamiast znaku \(>\) mogą występować \(<\), \(\ge\) lub \(\le\). Rozwiązuje się je metodą przedziałów: przenosimy wszystko na lewą stronę, rozkładamy na czynniki, zaznaczamy na osi liczbowej miejsca zerowe licznika i mianownika i rozstawiamy znaki. Poniżej definicja, pełny algorytm, zasada punktów wykreślonych, krotność pierwiastków, rozwiązane przykłady i trening z weryfikacją.
Co to jest nierówność wymierna
Nierówność wymierna to nierówność, której obie strony są wyrażeniami wymiernymi, czyli wielomianami i ułamkami z wielomianów. Po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę zawsze sprowadza się ona do postaci
gdzie \(P(x)\) i \(Q(x)\) to wielomiany, a na miejscu \(\vee\) stoi jeden ze znaków \(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\). Po prawej stronie musi być zero – to warunek, bez którego metoda przedziałów nie działa.
Nierówności wymierne dzielą się na dwa rodzaje. Jeśli zmienna występuje tylko w liczniku, nierówność nazywamy całkowitą wymierną: nie ma dzielenia i pasują wszystkie wartości \(x\). Jeśli zmienna jest w mianowniku, nierówność jest wymierną (ułamkową) – i wtedy od razu pojawia się ograniczenie \(Q(x) \neq 0\).
Dlaczego nie wolno mnożyć obu stron przez mianownik
Największą pokusą przy rozwiązywaniu nierówności z kreską ułamkową jest „pozbycie się mianownika” przez pomnożenie obu stron. Z równaniami tak można, z nierównościami – nie. Prosty powód: przy mnożeniu przez liczbę ujemną znak nierówności się odwraca, a znak wyrażenia \(Q(x)\) jest z góry nieznany – zależy od \(x\).
Spójrzmy na nierówność \(\frac{5}{x-3} < 1\). Pomnóżmy obie strony przez \(x - 3\), jakby to była liczba dodatnia: otrzymamy \(5 < x - 3\), czyli \(x > 8\). Sprawdźmy odpowiedź podstawieniem \(x = 0\): \(\frac{5}{0-3} = -\frac{5}{3} < 1\) – nierówność jest prawdziwa, więc zero też jest rozwiązaniem, ale nie weszło do odpowiedzi \(x > 8\). Odpowiedź została zgubiona.
Poprawna droga to przeniesienie wszystkiego na lewo i sprowadzenie do wspólnego mianownika:
Na ostatnim kroku pomnożyliśmy obie strony przez \(-1\) i odwróciliśmy znak – jest to dozwolone, ponieważ \(-1\) jest zawsze ujemne. Dalej działa metoda przedziałów, a odpowiedź to \(x \in (-\infty; 3) \cup (8; +\infty)\) – zawiera ona również zgubione zero.
Najłatwiej zapamiętać tak: nie wolno mnożyć obu stron przez wyrażenie ze zmienną, przenosić składniki – można zawsze. Przeniesienie nie zmienia znaku nierówności.
Metoda przedziałów: algorytm rozwiązywania krok po kroku
Metoda przedziałów opiera się na jednej własności: między sąsiednimi miejscami zerowymi wyrażenia wymiernego jego znak jest stały. Wystarczy więc znaleźć wszystkie punkty, w których licznik lub mianownik zeruje się, podzielić nimi oś liczbową i określić znak na każdym fragmencie – za pomocą jednego punktu próbnego lub krotności pierwiastków.
Punkty wykreślone i zamalowane: DLD i znak nierówności
Błąd w jednym nawiasie zamienia poprawne rozwiązanie w błędną odpowiedź, dlatego zasada dotycząca punktów jest warta osobnego zapamiętania. Działają dokładnie dwa względy.
Pierwszy – dziedzina dopuszczalnych wartości. Zero mianownika jest zawsze wykreślane, przy każdym znaku nierówności. W tym punkcie ułamek po prostu nie istnieje: nie wolno dzielić przez zero, dlatego liczba nie może być rozwiązaniem, nawet jeśli znak jest nierówny.
Drugi – znak ostry czy nieostry. Miejsca zerowe licznika zerują ułamek. Przy znaku nierównym (\(\le\) lub \(\ge\)) równość zeru nas satysfakcjonuje, więc punkt jest zamalowywany i wchodzi do odpowiedzi nawiasem kwadratowym. Przy znaku ostrym (\(<\) lub \(>\)) zero nie pasuje, i punkt jest wykreślany.
Na przykład, dla nierówności \(\frac{x-6}{x+1} \le 0\) punkt \(x = 6\) jest zamalowywany (zero licznika, znak nieostry), a punkt \(x = -1\) jest wykreślany (zero mianownika). Odpowiedź: \(x \in (-1; 6]\).
| Co to za punkt | Jak zaznaczamy |
|---|---|
| Zero mianownika, Q(x) = 0 | wykreślony zawsze, przy każdym znaku – punkt nie należy do DLD |
| Zero licznika, znak ostry < lub > | wykreślony ułamek jest równy zero, a potrzebny jest ściśle inny znak |
| Zero licznika, znak nieostry ≤ lub ≥ | zamalowany równość zeru pasuje, punkt wchodzi do odpowiedzi |
Krotność pierwiastków: gdzie znak się zmienia, a gdzie nie
Znaki na przedziałach nie muszą się po prostu naprzemiennie zmieniać – to najczęstsze błędne przekonanie w tym temacie. Naprzemienność działa tylko wtedy, gdy wszystkie nawiasy występują w pierwszej potędze. Zasada brzmi dokładniej przez krotność pierwiastka – wykładnik potęgi odpowiadającego nawiasu.
Przy przejściu przez pierwiastek nieparzystej krotności (potęga 1, 3, 5) znak wyrażenia się zmienia. Przy przejściu przez pierwiastek parzystej krotności (potęga 2, 4) znak się nie zmienia: nawias w parzystej potędze jest nieujemny i nie psuje znaku wyrażenia. Krotność liczy się tak samo dla licznika, jak i dla mianownika.
Weźmy \((x-9)^2(x+3) > 0\). Pierwiastki: \(x = 9\) krotności 2 i \(x = -3\) krotności 1. Na prawo od dziewiątki wyrażenie jest dodatnie. Przechodzimy przez \(9\) – krotność parzysta, znak pozostaje, na przedziale \((-3; 9)\) też jest plus. Przechodzimy przez \(-3\) – krotność nieparzysta, znak zmienia się na minus. Odpowiedź dla nierówności ostrej: \(x \in (-3; 9) \cup (9; +\infty)\), punkt \(9\) jest wykreślony, ponieważ tam wyrażenie jest równe zero. A dla nierówności nieostrej \((x-9)^2(x+3) \ge 0\) odpowiedź jest już inna: \(x \in [-3; +\infty)\) – dziewiątka jest zamalowana i „skleja” dwa przedziały w jeden.
| Krotność pierwiastka | Znak przy przejściu |
|---|---|
| Nieparzysta: (x − a), (x − a)3 | zmienia się |
| Parzysta: (x − a)2, (x − a)4 | nie zmienia się |
Oś liczbowa na przykładzie: rozstawiamy znaki
Zbierzmy wszystko razem dla nierówności \(\frac{x+7}{(x-2)(x-5)} < 0\). Miejsca zerowe licznika: \(x = -7\). Miejsca zerowe mianownika: \(x = 2\) i \(x = 5\), one też wyznaczają DLD. Wszystkie trzy nawiasy są w pierwszej potędze, dlatego znaki się naprzemiennie zmieniają. Punkt próbny \(x = 10\) w najbardziej prawym przedziale daje \(\frac{17}{8 \cdot 5} > 0\) – zaczynamy od plusa i idziemy w lewo, zmieniając znak w każdym punkcie.
Przykłady rozwiązywania nierówności wymiernych
Przykład 1. Prosta nierówność ułamkowa
Rozwiąż \(\frac{x-3}{x+5} \ge 0\).
Krok 1. Po prawej stronie jest już zero, ułamek jest już jeden – nie ma czego przenosić ani sprowadzać.
Krok 2. DLD. \(x + 5 \neq 0\), czyli \(x \neq -5\).
Krok 3. Pierwiastki. Licznik jest równy zero dla \(x = 3\), mianownik – dla \(x = -5\).
Krok 4. Punkty na osi. \(x = 3\) zamalowujemy (zero licznika, znak nieostry), \(x = -5\) wykreślamy (zero mianownika).
Krok 5. Znaki. Punkt próbny \(x = 4\): \(\frac{1}{9} > 0\) – po prawej stronie jest plus. Oba nawiasy są w pierwszej potędze, więc znaki się naprzemiennie zmieniają: na \((-5; 3)\) jest minus, na \((-\infty; -5)\) jest plus. Sprawdźmy: dla \(x = -6\) otrzymujemy \(\frac{-9}{-1} = 9 > 0\) – zgadza się.
Krok 6. Odpowiedź. Potrzebny jest znak „plus lub zero”: \(x \in (-\infty; -5) \cup [3; +\infty)\).
Przykład 2. Po prawej nie jest zero – przenosimy
Rozwiąż \(\frac{2x+1}{x-4} \le 1\).
Krok 1. Przenosimy jedynkę na lewo. Mnożenie przez \(x - 4\) jest niedozwolone, znak tego wyrażenia jest nieznany:
Krok 2. Sprowadzamy do wspólnego mianownika.
Krok 3. DLD. \(x \neq 4\).
Krok 4. Punkty. \(x = -5\) – zero licznika, znak nieostry, zamalowujemy. \(x = 4\) – zero mianownika, wykreślamy.
Krok 5. Znaki. Dla \(x = 5\) ułamek wynosi \(\frac{10}{1} > 0\). Zatem na \((4; +\infty)\) jest plus, na \((-5; 4)\) jest minus, na \((-\infty; -5)\) jest plus.
Krok 6. Odpowiedź. \(x \in [-5; 4)\). Sprawdzenie punktów granicznych: dla \(x = -5\) ułamek wynosi zero – pasuje do \(\le\); dla \(x = 4\) ułamka nie ma – nie pasuje.
Przykład 3. Pierwiastek parzystej krotności i punkt izolowany
Rozwiąż \(\frac{(x-2)^2(x+6)}{x-9} \ge 0\).
Krok 1. DLD. \(x \neq 9\).
Krok 2. Pierwiastki i krotności. \(x = 2\) – krotność 2 (parzysta), \(x = -6\) – krotność 1, \(x = 9\) – krotność 1 w mianowniku.
Krok 3. Punkty. \(x = 2\) i \(x = -6\) zamalowujemy (zera licznika przy nieostrym znaku), \(x = 9\) wykreślamy.
Krok 4. Znaki. Punkt próbny \(x = 10\): licznik dodatni, mianownik równy 1 – plus. Idziemy w lewo. Przez \(9\) (krotność nieparzysta) znak się zmienia: na \((2; 9)\) jest minus. Przez \(2\) (krotność parzysta) znak się nie zmienia: na \((-6; 2)\) też jest minus. Przez \(-6\) (krotność nieparzysta) znak się zmienia: na \((-\infty; -6)\) jest plus.
Krok 5. Odpowiedź. Bierzemy przedziały ze znakiem „plus” oraz wszystkie punkty, gdzie wyrażenie jest równe zero. Punkt \(x = 2\) leży wewnątrz przedziału z minusem, ale samo wyrażenie jest tam równe zero, więc wchodzi do odpowiedzi osobno:
Taki „samotny” punkt w odpowiedzi to pewny znak pierwiastka parzystej krotności przy nieostrym znaku.
Przykład 4. Skracanie ułamka: pułapka z DLD
Rozwiąż \(\frac{25x^2-10x+1}{5x^2+9x-2} \le 0\).
Krok 1. Rozkładamy na czynniki. Licznik to pełny kwadrat: \(25x^2-10x+1 = (5x-1)^2\). Dla mianownika liczymy wyróżnik: \(D = 81 + 40 = 121\), pierwiastki \(x_1 = \frac{1}{5}\) i \(x_2 = -2\), więc \(5x^2+9x-2 = (5x-1)(x+2)\).
Krok 2. DLD – przed jakimkolwiek skracaniem. \(5x - 1 \neq 0\) i \(x + 2 \neq 0\), czyli \(x \neq \frac{1}{5}\) i \(x \neq -2\).
Krok 3. Skracamy. \(\frac{(5x-1)^2}{(5x-1)(x+2)} = \frac{5x-1}{x+2}\), ale tylko przy \(x \neq \frac{1}{5}\) – skracanie nie przywraca wykreślonego punktu.
Krok 4. Rozwiązujemy \(\frac{5x-1}{x+2} \le 0\). Pierwiastki: \(\frac{1}{5}\) i \(-2\). Dla \(x = 1\) ułamek wynosi \(\frac{4}{3} > 0\). Zatem na \((\frac{1}{5}; +\infty)\) jest plus, na \((-2; \frac{1}{5})\) jest minus, na \((-\infty; -2)\) jest plus.
Krok 5. Przywracamy DLD. Przedział \((-2; \frac{1}{5}]\) pasowałby ze względu na znak, ale punkt \(\frac{1}{5}\) jest wykreślony: w pierwotnej nierówności mianownik \(5x^2+9x-2\) dla \(x = \frac{1}{5}\) zeruje się, ułamka tam nie ma.
Odpowiedź: \(x \in \left(-2; \frac{1}{5}\right)\) – oba nawiasy są okrągłe.
Przykład 5. Trójmian kwadratowy w liczniku
Rozwiąż \(\frac{x^2-7x+10}{x+4} < 0\).
Krok 1. Rozkładamy licznik. Z twierdzenia Viète'a suma pierwiastków wynosi 7, iloczyn 10, więc \(x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)\). Nierówność przyjmuje postać \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+4} < 0\).
Krok 2. DLD. \(x \neq -4\).
Krok 3. Punkty. Wszystkie trzy punkty są wykreślone: \(-4\) – zero mianownika, \(2\) i \(5\) – zera licznika przy znaku ostrym.
Krok 4. Znaki. Punkt próbny \(x = 6\): \(\frac{4 \cdot 1}{10} > 0\). Wszystkie nawiasy są w pierwszej potędze, więc znaki się naprzemiennie zmieniają: na \((5; +\infty)\) jest plus, na \((2; 5)\) jest minus, na \((-4; 2)\) jest plus, na \((-\infty; -4)\) jest minus.
Krok 5. Odpowiedź. Potrzebny jest ostry minus: \(x \in (-\infty; -4) \cup (2; 5)\). Kontrola podstawieniem: dla \(x = -5\) otrzymujemy \(\frac{70}{-1} < 0\), dla \(x = 3\) otrzymujemy \(\frac{-2}{7} < 0\) – oba przedziały pasują.
Częste błędy przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych
-
Mnożenie obu stron przez mianownik: z $\frac{3}{x-8} > 1$ robią $3 > x - 8$ i piszą $x < 11$.
Znak wyrażenia \(x - 8\) jest z góry nieznany, a przy mnożeniu przez liczbę ujemną znak nierówności się odwraca. Sprawdzenie: \(x = 0\) daje \(\frac{3}{-8} < 1\) – zero nie jest rozwiązaniem, chociaż weszło do odpowiedzi \(x < 11\). Poprawnie: \(\frac{3-(x-8)}{x-8} > 0\), czyli \(\frac{11-x}{x-8} > 0\), skąd \(x \in (8; 11)\).
-
Zamalowywanie zera mianownika, bo znak jest nieostry: dla $\frac{x-1}{x-7} \ge 0$ piszą odpowiedź z nawiasem kwadratowym przy siódemce.
Zero mianownika jest zawsze wykreślane, przy każdym znaku: w tym punkcie ułamek po prostu nie istnieje. Poprawna odpowiedź: \(x \in (-\infty; 1] \cup (7; +\infty)\) – przy jedynce nawias jest kwadratowy, przy siódemce okrągły.
-
Skracanie ułamka i gubienie DLD: z $\frac{(x+3)^2}{(x+3)(x-5)} \le 0$ otrzymują $\frac{x+3}{x-5} \le 0$ i włączają do odpowiedzi punkt $x = -3$.
DLD wypisujemy przed skracaniem, według pierwotnego mianownika: \(x \neq -3\) i \(x \neq 5\). Skrócony ułamek \(\frac{x+3}{x-5}\) jest niedodatni na \([-3; 5)\) – dla \(x = 0\) wynosi \(-0{,}6\), co jest wymagane dla znaku \(\le\). Ale punkt \(-3\) jest wykreślony z powodu DLD, więc odpowiedź to \((-3; 5)\), a nie \([-3; 5)\).
-
Uznawanie, że znaki na przedziałach zawsze się naprzemiennie zmieniają, i dla $\frac{(x-1)^2}{x+4} > 0$ stawianie minusa na prawo od jedynki.
Naprzemienność jest poprawna tylko dla nawiasów w pierwszej potędze. Pierwiastek \(x = 1\) ma krotność 2, więc znak przy przejściu przez niego się nie zmienia. Wyrażenie jest dodatnie na całym \((-4; +\infty)\), z wyjątkiem samej jedynki, gdzie jest równe zero. Odpowiedź: \(x \in (-4; 1) \cup (1; +\infty)\).
-
Zmiana znaku nierówności przy przenoszeniu składnika: z $\frac{x}{x-2} \le 3$ robią $\frac{x}{x-2} - 3 \ge 0$.
Przeniesienie składnika z jednej strony na drugą nie zmienia znaku nierówności – zmienia się tylko znak samego składnika. Znak odwraca się tylko przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną. Poprawnie: \(\frac{x}{x-2} - 3 \le 0\), dalej \(\frac{x-3(x-2)}{x-2} \le 0\), czyli \(\frac{6-2x}{x-2} \le 0\).
-
Zaznaczanie na osi tylko pierwiastków licznika, a mianownik sprawdzanie „potem”: dla $\frac{x+11}{x^2-16} > 0$ stawiają jeden punkt $-11$.
Na osi zaznaczamy wszystkie pierwiastki od razu – zarówno licznika, jak i mianownika, inaczej przedziały będą niepoprawne. Tutaj \(x^2-16 = (x-4)(x+4)\), więc są trzy punkty: \(-11\), \(-4\) i \(4\), a nie jeden. Wszystkie są wykreślone (znak ostry), odpowiedź: \(x \in (-11; -4) \cup (4; +\infty)\).
Pytania i odpowiedzi
Co to jest nierówność wymierna?
To nierówność, której obie strony są wyrażeniami wymiernymi (wielomianami i ułamkami z wielomianów). Po przeniesieniu wszystkiego na lewą stronę sprowadza się ona do postaci \(\frac{P(x)}{Q(x)} > 0\), gdzie \(P(x)\) i \(Q(x)\) to wielomiany, a zamiast \(>\) mogą występować \(<\), \(\le\) lub \(\ge\).
Jak rozwiązywać nierówności wymierne?
Metodą przedziałów w sześciu krokach: przenieś wszystko na lewo, aby po prawej został zer; sprowadź do wspólnego mianownika i rozłóż licznik i mianownik na czynniki; wypisz DLD (\(Q(x) \neq 0\)); zaznacz na osi liczbowej pierwiastki licznika i mianownika; rozstaw znaki na przedziałach według punktu próbnego i krotności pierwiastków; wypisz w odpowiedzi przedziały z wymaganym znakiem.
Czym nierówność wymierna (ułamkowa) różni się od całkowitej wymiernej?
W całkowitej wymiernej zmienna występuje tylko w liczniku, na przykład \((x-1)(x+4) > 0\), i DLD to wszystkie liczby rzeczywiste. W wymiernej (ułamkowej) zmienna jest w mianowniku, na przykład \(\frac{x-1}{x+4} > 0\), i pojawia się ograniczenie \(x \neq -4\). Algorytm jest przy tym taki sam – zmieniają się tylko punkty wykreślone.
Jak rozwiązywać nierówności z kreską ułamkową?
Tak samo jak każdą nierówność wymierną: najpierw przenieś wszystko na lewą stronę i sprowadź do wspólnego mianownika, a nie pozbywaj się mianownika. Na przykład, \(\frac{x}{x+2} \ge 1\) zamienia się w \(\frac{x-(x+2)}{x+2} \ge 0\), czyli \(\frac{-2}{x+2} \ge 0\). Licznik jest stały i ujemny, więc ułamek jest nieujemny tylko przy ujemnym mianowniku: \(x + 2 < 0\). Odpowiedź: \(x \in (-\infty; -2)\).
Dlaczego nie wolno mnożyć obu stron nierówności przez mianownik?
Ponieważ znak mianownika zależy od \(x\): przy mnożeniu przez wyrażenie dodatnie znak nierówności pozostaje, a przy mnożeniu przez ujemne – odwraca się. Z góry nie wiadomo, który przypadek mamy, dlatego część rozwiązań się traci, a część dodaje niepotrzebnie. Przenosić składniki można zawsze – przeniesienie nie zmienia znaku nierówności.
Jak znaleźć DLD w nierówności?
Dla nierówności wymiernej DLD to wszystkie wartości \(x\), dla których mianownik nie zeruje się. Przyrównaj mianownik do zera, rozwiąż równanie i wyklucz znalezione liczby. DLD należy wypisywać według pierwotnego mianownika, przed skróceniem ułamka – inaczej zgubisz punkty wykreślone.
Które punkty są wykreślone, a które zamalowane?
Zera mianownika są wykreślone zawsze, przy każdym znaku nierówności. Zera licznika są zamalowywane przy znaku nieostrym (\(\le\) lub \(\ge\)) i wykreślane przy ostrym (\(<\) lub \(>\)). W zapisie odpowiedzi punktowi wykreślonemu odpowiada nawias okrągły, zamalowanemu – kwadratowy.
Co to jest krotność pierwiastka i do czego jest potrzebna w metodzie przedziałów?
Krotność to potęga, w jakiej nawias występuje w rozkładzie. Przy przejściu przez pierwiastek nieparzystej krotności znak wyrażenia się zmienia, przy przejściu przez pierwiastek parzystej krotności – pozostaje taki sam. Właśnie dlatego znaki nie zawsze naprzemiennie się zmieniają: dla \((x-9)^2(x+3)\) w punkcie \(9\) znak pozostaje taki sam.
W której klasie omawia się nierówności wymierne?
W 9. klasie na lekcjach algebry, po nierównościach kwadratowych i rozkładzie wielomianów na czynniki. Metoda przedziałów jest dalej wykorzystywana dla nierówności wykładniczych, logarytmicznych i niewymiernych, a także w zadaniach egzaminów ósmoklasisty i profilowej matury.
