Forkortede multiplikasjonsformler (FMS) er ferdige algebraiske identiteter som lar deg løse opp parenteser og faktorisere uttrykk uten langvarig multiplikasjon. På denne siden finner du en tabell over alle syv formlene: kvadratet av en sum og en differanse, konjugatsetningen, kuben av en sum og en differanse, samt sum og differanse av kuber. Vi går gjennom hver formel med utledning og eksempler, og til slutt finner du en interaktiv øving der du kan trene på å bruke FMS med en gang.
Hva er forkortede multiplikasjonsformler
Forkortede multiplikasjonsformler er identiteter som oppstår hvis man ganger ut parenteser én gang og husker resultatet. Etterpå trenger man ikke å gange ut parentesene hver gang: det er nok å kjenne igjen «mønsteret» og sette inn sine egne tall eller bokstaver.
I skolepensum i algebra brukes FMS i to retninger:
- fra venstre til høyre — for raskt å løse opp parenteser og opphøye et uttrykk i andre eller tredje potens;
- fra høyre til venstre — for å faktorisere et polynom (dette er nødvendig for å forkorte brøker og løse ligninger).
Totalt lærer man syv formler. Nedenfor er en tabell, og deretter en gjennomgang av hver formel for seg.
Tabell over forkortede multiplikasjonsformler
Alle de syv forkortede multiplikasjonsformlene er praktiske å ha foran seg i én tabell. Bokstavene \(a\) og \(b\) her er hvilke som helst uttrykk: et tall, en variabel eller et helt ledd som \(2x\).
| Formel | Skrivemåte |
|---|---|
| Kvadratet av en sum | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Kvadratet av en differanse | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Konjugatsetningen | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Kuben av en sum | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Kuben av en differanse | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Sum av kuber | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Differanse av kuber | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Kvadratet av en sum og kvadratet av en differanse
Kvadratet av en sum får man ved å gange \((a+b)\) med seg selv:
Med ord: kvadratet av en sum er lik kvadratet av det første leddet pluss det dobbelte produktet av det første og det andre leddet pluss kvadratet av det andre leddet. På nøyaktig samme måte utledes kvadratet av en differanse — tegnet foran det midterste leddet blir minus:
Det viktigste er å ikke glemme det midterste leddet \(2ab\): det er nettopp på grunn av dette at \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). Kvadratet av en sum og kvadratet av en differanse skiller seg kun ved tegnet foran \(2ab\), mens ytterleddene \(a^2\) og \(b^2\) alltid har pluss-tegn.
Eksempel. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
Kvadratet av en sum har en visuell geometrisk betydning: det er arealet av et stort kvadrat med sidelengde \((a+b)\).
Konjugatsetningen
Hvis man ganger sammen summen og differansen av de samme uttrykkene, vil de midterste leddene utligne hverandre:
Resultatet er konjugatsetningen: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Dette er den mest nyttige FMS-en for faktorisering: så snart du ser differansen mellom to kvadrater, bør du faktorisere det til et produkt.
Eksempel (løse opp parenteser). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Eksempel (faktorisere). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Viktig: summen av to kvadrater \(a^2 + b^2\) kan ikke faktoriseres med denne formelen — det er kun differansen som fungerer.
Kuben av en sum, kuben av en differanse, sum og differanse av kuber
Kuben av en sum og kuben av en differanse inneholder fire ledd:
I kuben av en differanse veksler tegnene: \(+\,-\,+\,-\). Igjen en vanlig felle: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — man kan ikke bare «fordele» potensen, de midterste leddene \(3a^2b\) og \(3ab^2\) må ikke glemmes.
Eksempel. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
For seg står sum og differanse av kuber — de brukes derimot til å faktorisere uttrykk:
Den andre faktoren kalles et uフルstendig kvadrat av en sum eller differanse. Tegnet i det midterste leddet er alltid motsatt av tegnet i den første parentesen: for sum av kuber er det \(-ab\), for differanse av kuber er det \(+ab\).
Eksempel. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Eksempler på bruk av forkortede multiplikasjonsformler
Eksempel 1. Løs opp parenteser: kvadratet av en sum
Oppgave. Opphøy \((2x+5)^2\) i andre potens.
Trinn 1. Vi gjenkjenner formelen for kvadratet av en sum: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), der \(a = 2x\), \(b = 5\).
Trinn 2. Vi regner ut hvert ledd:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Svar. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Eksempel 2. Bruk konjugatsetningen
Oppgave. Finn produktet \((3x-4)(3x+4)\).
Trinn 1. Vi har produktet av differansen og summen av de samme uttrykkene — dette er konjugatsetningen \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), der \(a = 3x\), \(b = 4\).
Trinn 2. Vi opphøyer hvert uttrykk i andre potens: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Svar. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Eksempel 3. Faktorisering
Oppgave. Faktorer \(x^2 - 36\) og \(x^3 + 27\).
Konjugatsetningen. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Sum av kuber. Vi ser at \(27 = 3^3\), som betyr at \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Vi bruker formelen \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) der \(a = x\), \(b = 3\):
Legg merke til tegnet \(-3x\) i det ufullstendige kvadratet — i summen av kuber har det midterste leddet minus-tegn.
Eksempel 4. Kuben av en sum
Oppgave. Løs opp parentesene \((x+2)^3\).
Trinn 1. Formelen for kuben av en sum: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), der \(a = x\), \(b = 2\).
Trinn 2. Vi regner ut leddene i rekkefølge:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Svar. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Vanlige feil ved arbeid med FMS
-
Glemmer det dobbelte produktet: skriver $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
I kvadratet av en sum og en differanse er det alltid et midterste ledd \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Det er lett å sjekke — gang ut \((a+b)(a+b)\) manuelt, så dukker det midterste leddet opp av seg selv.
-
Blander tegnene i kvadratet av en differanse og konjugatsetningen.
I kvadratet av en differanse er det kun det midterste leddet som har minus: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (ytterleddene har pluss). I konjugatsetningen står minusen mellom selve kvadratene: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Dette er to forskjellige formler.
-
«Fordeler» potensen i en kube: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Dette må man ikke gjøre. Kuben av en sum inneholder fire ledd: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Formelen \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) er noe helt annet (sum av kuber), den brukes til faktorisering.
-
Setter inn det dobbelte produktet $2ab$ i det ufullstendige kvadratet for sum/differanse av kuber.
Et ufullstendig kvadrat er \(a^2 \pm ab + b^2\), uten to-tallet foran \(ab\). Tegnet er motsatt av tegnet i den første parentesen: sum av kuber \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), differanse av kuber \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Prøver å faktorisere summen av to kvadrater $a^2 + b^2$.
Det er kun differansen mellom to kvadrater \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) som kan faktoriseres. Summen av to kvadrater \(a^2 + b^2\) kan ikke faktoriseres i skolepensum.
Spørsmål og svar
Hvor mange forkortede multiplikasjonsformler finnes det totalt?
Syv: kvadratet av en sum, kvadratet av en differanse, konjugatsetningen, kuben av en sum, kuben av en differanse, sum av kuber og differanse av kuber. Alle er samlet i tabellen ovenfor.
Hva er kvadratet av en sum lik?
Kvadratet av det første leddet pluss det dobbelte produktet av det første og det andre leddet pluss kvadratet av det andre leddet: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). I kvadratet av en differanse har det midterste leddet minus-tegn: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Hvordan faktorerer man konjugatsetningen?
Ved å bruke formelen \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). For eksempel \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Det er nok å se at begge leddene er fullstendige kvadrater, og at det står et minustegn mellom dem.
Hvorfor er ikke $(a+b)^2$ lik $a^2 + b^2$?
Fordi når man ganger ut \((a+b)(a+b)\), dukker det opp to like ledd \(ab\) som gir det midterste leddet \(2ab\). Det må ikke glemmes: det riktige er \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Hva er forskjellen på kuben av en sum og summen av kuber?
Kuben av en sum \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) er en måte å løse opp parenteser på. Summen av kuber \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) er det motsatte, altså faktorisering av et uttrykk. Dette er to forskjellige formler, ikke bland dem.
På hvilket trinn lærer man forkortede multiplikasjonsformler?
Vanligvis på 8. trinn i algebra: først kvadratet av en sum og differanse, konjugatsetningen, deretter formlene for kuber. De brukes aktivt videre for å forenkle uttrykk, forkorte brøker og løse ligninger.
