En aritmetisk progresjon er en følge der hvert neste ledd er større enn det forrige med et bestemt tall \(d\) (differansen i progresjonen). Ethvert ledd kan finnes ved formelen \(a_n = a_1 + (n-1)d\), og summen av de første \(n\) leddene ved formelen \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\). På denne siden forklares definisjonen og differansen, begge sumformlene, den karakteristiske egenskapen, hvordan man sjekker om et tall tilhører progresjonen, forskjellen fra geometrisk progresjon, typiske OGE-oppgaver og en interaktiv trener for selvtesting.
Hva er en aritmetisk progresjon
En aritmetisk progresjon er en tallfølge der hvert neste ledd dannes ved å legge til et fast tall til det forrige. Dette tallet kalles differansen i progresjonen og betegnes med bokstaven \(d\).
Definisjon med én formel: følgen \(a_1, a_2, a_3, \dots\) kalles en aritmetisk progresjon hvis likningen
gjelder for ethvert nummer \(n\).
La oss se på følgen 3, 7, 11, 15, 19, … Første ledd her er \(a_1 = 3\), og differansen \(d = 4\): hvert neste tall er nøyaktig 4 større enn det forrige. Derfor er neste ledd 23, og tallet før tre (hvis vi fortsetter bakover) ville vært én med minustegn.
Hele progresjonen bestemmes av bare to tall — første ledd \(a_1\) og differansen \(d\). Når vi kjenner dette paret, kan vi angi ethvert ledd, beregne summen av et hvilket som helst antall første ledd og sjekke om et gitt tall forekommer i følgen. Progresjonen betegnes med symbolet \((a_n)\), og leddene med \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) og så videre, der det nedre indeks alltid betyr nummeret, ikke verdien.
Differansen i en aritmetisk progresjon: hvordan finne d
Differansen er alltid neste ledd minus forrige ledd:
Rekkefølgen på subtraksjonen er viktig: hvis du subtraherer omvendt, får du motsatt fortegn på differansen. For følgen 20, 17, 14, 11, 8 er differansen \(17 - 20 = -3\), ikke \(+3\).
Fortegnet til \(d\) bestemmer fullstendig oppførselen til progresjonen:
- \(d > 0\) — progresjonen vokser, leddene øker;
- \(d < 0\) — progresjonen avtar, leddene minker;
- \(d = 0\) — alle leddene er like, for eksempel 6, 6, 6, 6, … Dette er også en aritmetisk progresjon, bare en konstant.
Hvis to ledd med forskjellige numre er kjent, finnes differansen ved formelen
Eksempel. La \(a_4 = 30\) og \(a_{10} = 6\). Da er \(d = \dfrac{6 - 30}{10 - 4} = \dfrac{-24}{6} = -4\), og første ledd er \(a_1 = a_4 - 3d = 30 + 12 = 42\). La oss sjekke begynnelsen av progresjonen: 42, 38, 34, 30 — det fjerde leddet er faktisk 30.
Differansen trenger ikke å være et heltall: for følgen 1; 1,5; 2; 2,5 er differansen 0,5, og dette er en fullverdig aritmetisk progresjon.
Formel for n-te ledd av en aritmetisk progresjon
Hovedformelen i temaet lar deg finne ethvert ledd uten å skrive ned alle de forrige:
Hvor kommer \(n - 1\) fra? For å komme fra det første leddet til det n-te, legges differansen til ikke \(n\) ganger, men én gang mindre: til det andre leddet — ett steg, til det tredje — to, til det tjuende — nitten.
Eksempel. For progresjonen 3, 7, 11, 15, 19, … har vi \(a_1 = 3\) og \(d = 4\), så
En slik forkortet skrivemåte er veldig praktisk: det er umiddelbart tydelig at \(a_{20} = 4\cdot 20 - 1 = 79\), og \(a_{100} = 399\). Den antyder også differansen: for enhver aritmetisk progresjon er formelen for det n-te leddet lineær, av formen \(a_n = dn + c\), og koeffisienten foran \(n\) er differansen.
Noen ganger er første ledd ukjent, men et annet er gitt. Da fungerer den samme ideen i generell form: \(a_n = a_k + (n - k)d\).
Karakteristisk egenskap ved en aritmetisk progresjon
Ethvert ledd i progresjonen, unntatt det første, er lik det aritmetiske gjennomsnittet av sine naboer:
Det er nettopp derfor progresjonen kalles aritmetisk. Denne likningen fungerer også motsatt: hvis i en følge hvert midterste ledd er lik halvparten av summen av naboene, så er følgen en aritmetisk progresjon. En slik påstand kalles et kjennetegn på en aritmetisk progresjon, og i oppgaver brukes den for å bevise at tre tall danner en progresjon.
Eksempel. Tallene 7, \(x\), 23 er tre påfølgende ledd i en progresjon. Da er \(x = \dfrac{7 + 23}{2} = 15\). Sjekk: 7, 15, 23 — differansene er 8 og 8, alt stemmer.
En praktisk skrivemåte for den samme egenskapen: \(2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}\), det vil si det doblede midterste leddet er lik summen av ytterpunktene. I denne formen er egenskapen lettere å bruke når leddene er gitt som bokstavuttrykk.
Summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon
Summen \(S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n\) beregnes ved en av to formler:
Ideen bak den første formelen er den samme som, ifølge legenden, ble funnet av skolegutten Gauss da han la sammen tallene fra 1 til 100. Hvis du legger sammen det første leddet med det siste, det andre med det nest siste og så videre, vil alle parene gi samme sum. Derav \(1 + 2 + \dots + 100 = \dfrac{1 + 100}{2}\cdot 100 = 5050\).
Den andre formelen kommer fra den første ved å sette inn \(a_n = a_1 + (n-1)d\) — den trengs når det siste leddet ikke er gitt og man ikke ønsker å beregne det separat.
Eksempel. La oss finne summen av de første tjue leddene i progresjonen 3, 7, 11, 15, 19, …
Ifølge den første formelen: \(a_{20} = 79\), derfor \(S_{20} = \dfrac{3 + 79}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Ifølge den andre: \(S_{20} = \dfrac{2\cdot 3 + 19\cdot 4}{2}\cdot 20 = \dfrac{6 + 76}{2}\cdot 20 = 41\cdot 20 = 820\).
Svarene stemte overens — dette er den beste kontrollen av utregningene.
Hvordan vite om et tall tilhører en aritmetisk progresjon
Spørsmålet «er tallet et ledd i progresjonen» løses med en ligning. Et tall tilhører progresjonen hvis og bare hvis dets nummer \(n\) er et naturlig tall: 1, 2, 3 og så videre. Et brøk- eller ikke-positivt \(n\) betyr at et slikt ledd ikke finnes.
Eksempel 1. Tilhører tallet 99 progresjonen 3, 7, 11, 15, 19, …? Formelen for det n-te leddet her er \(a_n = 4n - 1\), derfor løser vi \(4n - 1 = 99\), som gir \(4n = 100\) og \(n = 25\). Nummeret er et naturlig tall — det betyr at 99 er i progresjonen, det er dens tjuefemte ledd.
Eksempel 2. Hva med tallet 2026? Fra \(4n - 1 = 2026\) får vi \(4n = 2027\) og \(n = 506{,}75\). Nummeret er et brøktall, derfor er 2026 ikke et ledd i denne progresjonen.
Et nyttig tips for en rask vurdering: for en progresjon med formelen \(a_n = 4n - 1\) gir alle ledd, når de deles på 4, en rest på 3. Tallet 2026 gir en rest på 2, og «bommer» derfor på progresjonen.
Typiske oppgaver for OGE om aritmetisk progresjon
I OGE i matematikk forekommer progresjoner hvert år, og nesten alle oppgaver koker ned til fire typer.
Finn et ledd etter nummer. Gitt \(a_1\) og \(d\) (eller de første leddene) — sett inn i \(a_n = a_1 + (n-1)d\).
Finn nummer etter verdi. Gitt et tall — sett formelen for det n-te leddet lik dette tallet og løs ligningen for \(n\).
Finn summen. Beregn \(S_n\) ved en av de to formlene; hvis \(a_n\) mangler — finn den først.
Finn antall ledd. Fra formelen for det n-te leddet får vi en praktisk konsekvens: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\).
En egen kategori er tekstoppgaver, der progresjonen er skjult i et scenario. For eksempel: den første dagen laget en arbeider 12 deler, og hver påfølgende dag — 3 deler mer enn dagen før; hvor mange deler vil han lage på 15 dager? Her er \(a_1 = 12\), \(d = 3\), \(n = 15\). Beregn det siste leddet: \(a_{15} = 12 + 14\cdot 3 = 54\). Da er \(S_{15} = \dfrac{12 + 54}{2}\cdot 15 = 33\cdot 15 = 495\) deler.
Hovedrådet for slike oppgaver: skriv først ned separat hva som er gitt (\(a_1\), \(d\), \(n\), \(a_n\), \(S_n\)) og hva som skal finnes. Halvparten av feilene på eksamen skjer ikke på grunn av formlene, men fordi man forveksler nummer med leddets verdi.
Aritmetisk og geometrisk progresjon: hva er forskjellen
Begge progresjonene er regler for hvordan man får et nytt ledd fra det forrige. Forskjellen ligger i handlingen: i en aritmetisk progresjon legges et fast tall \(d\) til leddet, i en geometrisk progresjon multipliseres leddet med et fast tall \(q\), som kalles kvotienten i progresjonen.
Derav den forskjellige oppførselen. En aritmetisk progresjon vokser jevnt, «i trinn»: 3, 7, 11, 15 — hvert steg legger til 4. En geometrisk progresjon vokser som en snøskred: 3, 6, 12, 24 — hvert steg dobler tallet, og etter ti steg vil leddet være større enn halvannet tusen.
Det er enkelt å sjekke typen av en følge: beregn differansene mellom naboleddene og deres forhold. Like differanser — aritmetisk progresjon, like forhold — geometrisk progresjon. Hvis ingen av delene stemmer, har du bare en følge: for eksempel, 1, 4, 9, 16 — dette er kvadratene av naturlige tall, og det er ingen progresjon (differanser 3, 5, 7 er forskjellige, forholdene også).
I skolepensumet behandles begge temaene etter hverandre i 9. klasse, så formlene kan lett forveksles. Husk dette: i en aritmetisk progresjon subtraheres differansen \(d\), i en geometrisk progresjon divideres kvotienten \(q\). Alt annet er konsekvenser.
Eksempler på løsning av oppgaver om aritmetisk progresjon
Eksempel 1. Finn første ledd og differanse ut fra to ledd
Gitt. \(a_3 = 14\), \(a_7 = 30\). Finn \(a_1\), \(d\) og \(a_{20}\).
Steg 1. Fra det tredje leddet til det sjuende er det nøyaktig \(7 - 3 = 4\) steg, og på hvert steg legges \(d\) til. Det betyr \(a_7 = a_3 + 4d\), altså \(30 = 14 + 4d\), som gir \(4d = 16\) og \(d = 4\).
Steg 2. Gå tilbake til det første leddet: \(a_1 = a_3 - 2d = 14 - 8 = 6\).
Steg 3. Sett opp formelen for det n-te leddet: \(a_n = 6 + (n-1)\cdot 4 = 4n + 2\).
Steg 4. Beregn det ønskede leddet: \(a_{20} = 4\cdot 20 + 2 = 82\).
Sjekk. La oss skrive begynnelsen av progresjonen: 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30. Det tredje leddet er 14, det sjuende er 30 — stemmer.
Svar: \(a_1 = 6\), \(d = 4\), \(a_{20} = 82\).
Eksempel 2. Summen av de første 30 leddene (begge formler)
Gitt. Progresjonen \(-5,\ -2,\ 1,\ 4,\ \dots\) Finn \(S_{30}\).
Steg 1. Bestem parametrene: \(a_1 = -5\), \(d = -2 - (-5) = 3\).
Steg 2. Finn det trettiende leddet: \(a_{30} = -5 + 29\cdot 3 = -5 + 87 = 82\).
Steg 3. Beregn med den første formelen: \(S_{30} = \dfrac{-5 + 82}{2}\cdot 30 = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 77\cdot 15 = 1155\).
Steg 4. Sjekk med den andre formelen. Først telleren: \(2\cdot(-5) + 29\cdot 3 = -10 + 87 = 77\).
Deretter som i steg tre: \(S_{30} = \dfrac{77}{2}\cdot 30 = 1155\).
Begge veier ga 1155 — det betyr at aritmetikken er riktig.
Svar: \(S_{30} = 1155\).
Eksempel 3. Summen av alle tosifrede tall delelig med 7
Oppgave. Finn summen av alle tosifrede tall som er delelig med 7.
Steg 1. Slike tall danner selv en aritmetisk progresjon med differansen 7. Det minste tosifrede tallet delelig med syv er 14, det største er 98 (det neste, 105, er allerede tresifret). Vi får \(a_1 = 14\), \(d = 7\), \(a_n = 98\).
Steg 2. Beregn antall ledd: \(n = \dfrac{98 - 14}{7} + 1 = \dfrac{84}{7} + 1 = 12 + 1 = 13\).
Steg 3. Beregn summen: \(S_{13} = \dfrac{14 + 98}{2}\cdot 13 = \dfrac{112}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Steg 4. Sjekk med den andre formelen. \(S_{13} = \dfrac{2\cdot 14 + 12\cdot 7}{2}\cdot 13 = \dfrac{28 + 84}{2}\cdot 13 = 56\cdot 13 = 728\).
Svar: 728.
Eksempel 4. Sjekk om et tall tilhører en progresjon
Oppgave. Er tallet 145 et ledd i progresjonen \(7,\ 12,\ 17,\ \dots\)? Hva med tallet 142?
Steg 1. Parametere for progresjonen: \(a_1 = 7\), \(d = 5\), så \(a_n = 7 + (n-1)\cdot 5 = 5n + 2\).
Steg 2. Sjekk 145: ligningen \(5n + 2 = 145\) gir \(5n = 143\) og \(n = 28{,}6\). Nummeret er et brøktall, derfor er 145 ikke et ledd i progresjonen.
Steg 3. Sjekk 142: \(5n + 2 = 142\), som gir \(5n = 140\) og \(n = 28\). Nummeret er et naturlig tall — tallet tilhører.
Steg 4. Sjekk ved innsetting. \(a_{28} = 7 + 27\cdot 5 = 7 + 135 = 142\). Riktig.
Svar: 145 tilhører ikke progresjonen; 142 tilhører og er dens 28. ledd.
Eksempel 5. Karakteristisk egenskap med bokstavledd
Oppgave. For hvilken verdi av \(x\) er tallene \(x - 3\), \(2x + 1\), \(4x - 1\) tre påfølgende ledd i en aritmetisk progresjon?
Steg 1. Ifølge den karakteristiske egenskapen er det doblede midterste leddet lik summen av ytterleddene:
Steg 2. Fjern parentesene: \(4x + 2 = 5x - 4\).
Steg 3. Løs: \(2 + 4 = 5x - 4x\), altså \(x = 6\).
Steg 4. Sjekk. Sett inn \(x = 6\): første ledd \(6 - 3 = 3\), andre \(2\cdot 6 + 1 = 13\), tredje \(4\cdot 6 - 1 = 23\). Differanser: \(13 - 3 = 10\) og \(23 - 13 = 10\) — like.
Svar: \(x = 6\), progresjonen 3, 13, 23 med differanse 10.
Eksempel 6. Hvor mange negative ledd er det i progresjonen
Oppgave. Hvor mange negative ledd er det i progresjonen \(-21,\ -18,\ -15,\ \dots\)?
Steg 1. Parametere: \(a_1 = -21\), \(d = 3\). Formelen for det n-te leddet: \(a_n = -21 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 24\).
Steg 2. Sett opp betingelsen «leddet er negativt»: \(3n - 24 < 0\), som gir \(3n < 24\) og \(n < 8\).
Steg 3. Numrene er naturlige tall, så \(n = 1, 2, \dots, 7\) passer — totalt syv ledd.
Steg 4. Sjekk grensen. \(a_7 = 3\cdot 7 - 24 = -3\) — negativ. \(a_8 = 3\cdot 8 - 24 = 0\) — null er ikke et negativt tall, så det åttende leddet telles ikke med. \(a_9 = 3\) — positiv.
Svar: syv negative ledd.
Vanlige feil i oppgaver om aritmetisk progresjon
-
I formelen for det n-te leddet skriver man $a_n = a_1 + nd$ i stedet for $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Fra det første leddet til det n-te er det ett steg mindre enn nummeret. For progresjonen \(5,\ 9,\ 13,\ \dots\) er det tiende leddet \(a_{10} = 5 + 9\cdot 4 = 41\), ikke 45. Rask sjekk av formelen: sett inn \(n = 1\) — det skal bli nøyaktig \(a_1\).
-
Differansen beregnes omvendt: $d = a_1 - a_2$, og fortegnet blir motsatt.
Differansen er neste ledd minus forrige ledd: \(d = a_2 - a_1\). For progresjonen \(40,\ 34,\ 28,\ \dots\) er det riktig \(d = 34 - 40 = -6\). Minustegnet her er ikke en feil, men et tegn på en avtagende progresjon.
-
I sumformelen glemmer man å dele på 2 eller multiplisere med $n$: man skriver $S_n = (a_1 + a_n)\cdot n$.
Man summerer par av «første med siste», det er nøyaktig \(\dfrac{n}{2}\) slike par, så det er obligatorisk å dele på 2. For progresjonen \(2,\ 9,\ 16,\ \dots\) har vi \(a_{10} = 2 + 9\cdot 7 = 65\) og \(S_{10} = \dfrac{2 + 65}{2}\cdot 10 = 67\cdot 5 = 335\), ikke 670.
-
Ved sjekk av om et tall tilhører progresjonen får man $n = 0$ eller negativ $n$ og svarer likevel «tilhører».
Nummeret på et ledd er et naturlig tall, tellingen starter med én. For eksempel, for progresjonen \(10,\ 14,\ 18,\ \dots\) gir ligningen \(10 + 4(n-1) = 6\) \(n = 0\), og dermed tilhører ikke 6 progresjonen: dette tallet ville ha stått før det første leddet.
-
Man forveksler hva som er funnet: setter leddets verdi der nummeret trengs, og omvendt.
\(a_n\) er verdien, \(n\) er det ordensmessige nummeret. Hvis oppgaven spør «hvilket nummer i rekken er leddet 142», er svaret 28, ikke 142. En nyttig vane: skriv før løsningen linjen «gitt: \(a_1 = \dots\), \(d = \dots\), finn: \(n\)».
-
Man antar at en progresjon må vokse og bestå av heltall.
Differansen kan være negativ (\(20,\ 17,\ 14,\ \dots\)), brøk (\(1\); \(1,5\); \(2\); \(2,5\)) og til og med null (\(8\), \(8\), \(8\), …). Alle tre tilfeller er gyldige aritmetiske progresjoner, og alle formlene for dem fungerer uten endringer.
Spørsmål og svar
Hva er en aritmetisk progresjon i enkle ord?
Det er en følge av tall der hvert neste tall dannes ved å legge til et fast tall \(d\) — differansen i progresjonen — til det forrige. For eksempel, 3, 7, 11, 15, 19, … — en progresjon med første ledd 3 og differanse 4.
Hva er formelen for det n-te leddet i en aritmetisk progresjon?
\(a_n = a_1 + (n-1)d\), der \(a_1\) er første ledd, \(d\) er differansen, \(n\) er nummeret. Hvis ikke det første, men et annet ledd er kjent, fungerer den generelle formen \(a_n = a_k + (n-k)d\).
Hvordan finne differansen i en aritmetisk progresjon?
Trekk fra det forrige leddet fra et hvilket som helst ledd: \(d = a_n - a_{n-1}\). Hvis to ledd med forskjellige numre er gitt, bruk \(d = \dfrac{a_k - a_m}{k-m}\). For eksempel, med \(a_5 = 23\) og \(a_9 = 43\) får vi \(d = \dfrac{43-23}{9-5} = 5\), og første ledd er \(23 - 4\cdot 5 = 3\).
Hvordan finne det første leddet i en aritmetisk progresjon?
Fra formelen for det n-te leddet: \(a_1 = a_n - (n-1)d\). For eksempel, hvis \(a_{12} = 60\) og \(d = 4\), da er \(a_1 = 60 - 11\cdot 4 = 60 - 44 = 16\). Sjekk: \(16 + 11\cdot 4 = 60\).
Hvordan finne summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon?
Ved formelen \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}\cdot n\), hvis det siste leddet er kjent, eller ved formelen \(S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot n\), hvis bare det første leddet og differansen er kjent. Begge gir samme resultat, så den andre er praktisk å bruke som en sjekk av den første.
Hvordan finne antall ledd i en aritmetisk progresjon?
Fra formelen for det n-te leddet: \(n = \dfrac{a_n - a_1}{d} + 1\). For eksempel, i progresjonen \(8,\ 13,\ 18,\ \dots,\ 98\) er differansen 5, derfor er \(n = \dfrac{98-8}{5} + 1 = 18 + 1 = 19\) ledd.
Hva er forskjellen mellom en aritmetisk og en geometrisk progresjon?
I en aritmetisk progresjon legges differansen \(d\) til hvert ledd, mens i en geometrisk progresjon multipliseres hvert ledd med kvotienten \(q\). Formler for det n-te leddet: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) mot \(b_n = b_1 q^{\,n-1}\). For å bestemme typen, beregn differansene mellom naboleddene og deres forhold: like differanser — aritmetisk, like forhold — geometrisk.
Kan differansen være negativ eller lik null?
Ja. Ved \(d < 0\) avtar progresjonen (for eksempel, 20, 17, 14, 11), ved \(d = 0\) er alle leddene like (6, 6, 6, …) — dette er en konstant progresjon. Differansen kan også være brøk: 1; 1,5; 2; 2,5 — også en aritmetisk progresjon.
I hvilket klassetrinn studeres aritmetisk progresjon?
I 9. klasse i algebra, sammen med geometrisk progresjon og tallfølger. Oppgaver om progresjoner er en del av OGE: vanligvis må man finne et ledd etter nummer, nummer etter verdi, antall ledd eller summen av de første \(n\) leddene.
