Kvadratroten av tallet \(a\) er et tall hvis kvadrat er lik \(a\), og aritmetisk kvadratrot kalles bare dens ikke-negative verdi: \(\sqrt{25} = 5\). Man kan bare trekke ut roten av ikke-negative tall, men rotens egenskaper gjør omstendelige uttrykk til korte. På denne siden - definisjon og definisjonsmengde, alle egenskaper til kvadratrot med formler, tabell over kvadratrøtter fra 1 til 20, metoder for å trekke ut roten og ta ut en faktor, utdypede eksempler, vanlige feil og en interaktiv trener.
Hva er kvadratroten av et tall
Kvadratroten av tallet \(a\) er et tall hvis kvadrat er lik \(a\). Utvinning av roten og opphøyning i kvadrat er gjensidige handlinger: fra \(7^2 = 49\) følger det umiddelbart at kvadratroten av 49 er 7.
Men et positivt tall har nøyaktig to kvadratrøtter, og de skiller seg bare med fortegn: \(5^2 = 25\) og \((-5)^2 = 25\), det vil si at kvadratrøttene av 25 er både \(5\) og \(-5\). For at notasjonen \(\sqrt{25}\) skal betegne ett enkelt tall, ble det avtalt: tegnet \(\sqrt{\phantom{a}}\) brukes kun for den ikke-negative roten. Denne kalles den aritmetiske roten.
Notasjonen har sine egne navn: tegnet \(\sqrt{\phantom{a}}\) er radikal, og tallet eller uttrykket under det er uttrykket under rottegnet.
Aritmetisk kvadratrot: definisjon og definisjonsmengde
Den aritmetiske kvadratroten av et ikke-negativt tall \(a\) er et ikke-negativt tall hvis kvadrat er lik \(a\). Den betegnes \(\sqrt{a}\) og leses «rot av a».
I definisjonen er det to betingelser, og begge er like viktige:
- uttrykket under rottegnet er ikke-negativt: \(a \ge 0\);
- verdien av roten er ikke-negativ: \(\sqrt{a} \ge 0\).
Herav får vi umiddelbart: \(\sqrt{25} = 5\), og ikke \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); og notasjonen \(\sqrt{-9}\) har ingen mening i reelle tall - det finnes ikke noe tall hvis kvadrat er negativt.
Den første betingelsen definerer definisjonsmengden for et uttrykk med rot. For eksempel, \(\sqrt{x-7}\) er meningsfullt når \(x - 7 \ge 0\), det vil si når \(x \ge 7\): enhver mindre verdi av \(x\) vil plassere et negativt tall under roten.
Fra definisjonen følger også likheten \((\sqrt{a})^2 = a\) for \(a \ge 0\): å opphøye roten i kvadrat gir tilbake tallet under roten. Dette fungerer selv når vi ikke kan beregne roten nøyaktig: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
Tabell over kvadratrøtter: kvadrater av tall fra 1 til 20
Roten trekkes ut helt kun når tallet under roten er et eksakt kvadrat. Derfor fungerer kvadrattabellene også som en tabell over kvadratrøtter: den leses begge veier - \(14^2 = 196\), altså \(\sqrt{196} = 14\).
Tabellen hjelper ikke bare med heltall:
- desimaltall: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), fordi \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- vanlige brøker: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) - roten trekkes ut separat for telleren og separat for nevneren;
- runde tall: \(\sqrt{2500} = 50\), siden \(2500 = 25 \cdot 100\), og roten av hver faktor er kjent.
Egenskaper til kvadratrot
Egenskapene til kvadratrot lar deg beregne uttrykk uten å trekke ut hver rot separat, og forenkle svaret.
Roten av et produkt er lik produktet av røttene: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) for \(a \ge 0\) og \(b \ge 0\). For eksempel, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) - samme svar som \(\sqrt{144}\).
Roten av en kvotient er lik kvotienten av røttene: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) for \(a \ge 0\) og \(b > 0\). For eksempel, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). Betingelsen \(b > 0\) er streng: man kan ikke dele på null.
Roten av et kvadrat er lik absoluttverdien: \(\sqrt{a^2} = |a|\), og dette gjelder for ethvert tall \(a\). Her er den viktigste finessen i hele temaet. Hvis \(a \ge 0\), endres ingenting: \(\sqrt{7^2} = 7\). Men for negativ \(a\) blir fortegnet «rettet ut»: \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), og ikke \(-6\) - for en aritmetisk rot kan ikke være negativ.
Kvadratet av roten gir tilbake tallet under roten: \((\sqrt{a})^2 = a\) for \(a \ge 0\).
Men for sum og differanse finnes det ingen lignende egenskaper: roten av en sum er ikke lik summen av røttene. Dette er den vanligste feilen i temaet, gjennomgang - nedenfor.
| Egenskap og betingelse | Eksempel |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bfor a ≥ 0 og b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bfor a ≥ 0 og b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|for ethvert a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = afor a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bfor b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
Hvordan trekke ut kvadratrot av et tall
En kalkulator er ikke alltid tilgjengelig, og skoleoppgaver er nesten alltid valgt slik at roten kan trekkes ut. Fremgangsmåten er som følger.
- Sjekk i kvadrattabellen. Hvis tallet står i tabellen, er svaret klart: \(\sqrt{289} = 17\).
- Skill ut runde faktorer. For tall med nuller er det praktisk å skille ut \(100\), \(10\,000\), osv.: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- Faktoriser til primtall. Dette er en universell metode: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), del eksponentene med to og få \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- Gjør desimalbrøker om til vanlige brøker. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). Samtidig unngår man å miste et siffer.
- Hvis det ikke er et eksakt kvadrat - roten er irrasjonal. Da lar man den stå som et symbol i svaret (skriver slik: \(\sqrt{30}\)), eller man estimerer den mellom to nabokvadrater.
Sjekken tar et sekund: kvadrer tallet man fikk og se om man får tilbake tallet under roten. \(24^2 = 576\) - riktig.
Ta ut en faktor fra under rottegnet
Roten blir sjelden latt «rå» - alt som kan trekkes ut, tas ut. Egenskapen \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) for \(b \ge 0\) fungerer: vi leter etter den største kvadratiske divisoren til tallet under roten.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Den motsatte handlingen - å sette en faktor inn under roten: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) for \(a \ge 0\). For eksempel, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Med en negativ faktor må man være forsiktig: minus kommer ikke inn under roten og blir stående utenfor. Riktig notasjon er \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), og ikke \(\sqrt{12}\).
Hvorfor er dette nødvendig: etter å ha tatt ut en faktor, blir røtter med samme uttrykk under roten til like ledd, og de kan legges sammen. Og å sette en faktor inn under roten er den raskeste måten å sammenligne to uttrykk med røtter.
Hva er kvadratroten som ikke kan trekkes ut
Hvis tallet under roten ikke er et eksakt kvadrat, er roten et irrasjonalt tall: desimalutvidelsen er uendelig og ikke-periodisk. For eksempel, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), og den eksakte verdien skrives kun med symbolet \(\sqrt{2}\). Avrundet svar gis kun når det blir bedt om det i oppgaven.
Man kan estimere en slik rot uten kalkulator: finn to nabokvadrater som tallet under roten ligger mellom. Regelen for sammenligning fungerer: for \(a \ge 0\) og \(b \ge 0\) følger det av \(a < b\) at \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) - et større tall under roten tilsvarer en større rot.
Eksempler på beregninger med kvadratrøtter
Eksempel 1. Verdi av et uttrykk med røtter
Beregn \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
Steg 1. \(\sqrt{121} = 11\), fordi \(11^2 = 121\).
Steg 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), fordi \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
Steg 3. Roten av brøken trekkes ut for teller og nevner: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
Steg 4. Vi legger sammen: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
Svar: 11.
Eksempel 2. Rot av et produkt
Beregn \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
Steg 1. Disse røttene kan ikke trekkes ut hver for seg, så vi slår dem sammen til én: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
Steg 2. Vi beregner produktet under roten: \(8 \cdot 18 = 144\).
Steg 3. \(\sqrt{144} = 12\).
Annen vei - ta ut faktorer på forhånd: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) og \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), da blir \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). Svarene stemte.
Svar: 12.
Eksempel 3. Utvinning av rot ved faktorisering
Beregn \(\sqrt{576}\) og \(\sqrt{6400}\).
Steg 1. Tallet 576 er ikke i kvadrattabellen, så vi faktoriserer det til primtall: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
Steg 2. Vi deler eksponentene med to: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
Steg 3. Sjekk. \(24^2 = 576\) - riktig.
Steg 4. For tallet 6400 er det mer praktisk å skille ut en rund faktor: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). Sjekk: \(80^2 = 6400\).
Svar: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
Eksempel 4. Uttak av faktor og sammenslåing av like ledd
Forenkle \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
Steg 1. Vi tar ut faktorer fra under hver rot: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), altså \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
Steg 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
Steg 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
Steg 4. Vi kan kun legge sammen røtter med samme uttrykk under roten: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), og leddet med \(\sqrt{3}\) blir stående alene.
Svar: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
Eksempel 5. Rot av et kvadrattall med variabel
Forenkle \(\sqrt{(x-4)^2}\) for \(x < 4\).
Steg 1. Ifølge egenskapen for rot av et kvadrat \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) - vi skriver umiddelbart absoluttverdi, ikke \(x - 4\).
Steg 2. Vi løser opp absoluttverdien i henhold til betingelsen. Hvis \(x < 4\), er differansen \(x - 4\) negativ, og absoluttverdien av et negativt tall er det motsatte tallet: \(|x-4| = 4 - x\).
Steg 3. Sjekk. La oss ta \(x = 1\): venstre side \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), høyre side \(4 - 1 = 3\) - stemmer.
Svar: \(4 - x\). Til sammenligning, for \(x \ge 4\) ville svaret vært \(x - 4\).
Eksempel 6. Sammenligning av uttrykk med røtter
Sammenlign \(3\sqrt{5}\) og \(5\sqrt{2}\).
Steg 1. Begge tallene er positive, så vi setter faktorene inn under roten: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
Steg 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
Steg 3. Vi sammenligner tallene under roten: \(45 < 50\), og et større tall under roten tilsvarer en større rot.
Svar: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
Vanlige feil ved arbeid med kvadratrot
-
Skriver $\sqrt{a^2} = a$, og glemmer absoluttverdien.
Den korrekte likheten er \(\sqrt{a^2} = |a|\). For et negativt tall er dette avgjørende: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), og ikke \(-13\). En aritmetisk rot kan ikke være negativ, så fortegnet under roten blir «rettet ut».
-
Tror at roten av en sum er lik summen av røttene: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
Det finnes ingen slik egenskap. Først utfører vi operasjonen under roten: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), og ikke 7. Egenskaper finnes kun for produkt og kvotient: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) og \(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
Svarer at $\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) - den aritmetiske roten er alltid én og den er ikke-negativ. To verdier dukker opp i en annen oppgave: ligningen \(x^2 = 49\) har røttene \(x = 7\) og \(x = -7\). Man kan ikke forveksle rotnotasjonen med løsningen av en ligning.
-
Skriver $\sqrt{-16} = -4$, resonnerer «minus ganger minus».
Et negativt tall kan ikke stå under roten: \((-4)^2 = 16\), og ikke \(-16\), så \(\sqrt{-16}\) eksisterer ikke i reelle tall. Men uttrykket \(-\sqrt{16} = -4\) er helt korrekt - minus står foran roten, ikke under den.
-
Setter en negativ faktor inn under roten: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Regelen \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) fungerer kun for \(a \ge 0\). Minus blir stående utenfor: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). Sjekk med fortegn: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), og \(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) - tallene er motsatte.
-
Mister et siffer i desimalbrøken: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
Sjekk med omvendt kvadrering: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), stemmer ikke. Riktig er \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), siden \(0{,}2^2 = 0{,}04\). En pålitelig metode er å gå over til vanlig brøk: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
Er sikre på at roten alltid er mindre enn tallet selv.
Dette gjelder kun for tall større enn én. På intervallet fra 0 til 1 er det motsatt: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), og \(0{,}5\) er større enn \(0{,}25\). For 0 og 1 er roten lik tallet selv.
Spørsmål og svar
Hva er aritmetisk kvadratrot med enkle ord?
Det er et ikke-negativt tall som, når det kvadreres, gir tallet under roten. Det skrives \(\sqrt{a}\), der uttrykket under roten må være ikke-negativt: \(a \ge 0\). For eksempel, \(\sqrt{64} = 8\), fordi \(8 \ge 0\) og \(8^2 = 64\).
Hva er forskjellen mellom kvadratrot og aritmetisk kvadratrot?
Et positivt tall har to kvadratrøtter - motsatte fortegn. Aritmetisk kalles kun den ikke-negative av dem, og det er den som betegnes med tegnet \(\sqrt{\phantom{a}}\). Derfor er \(\sqrt{25} = 5\), selv om ligningen \(x^2 = 25\) har to røtter: 5 og \(-5\).
Hvordan trekke ut kvadratrot av et tall uten kalkulator?
Sjekk først tallet i kvadrattabellen. Hvis det ikke er der - faktoriser det og skill ut eksakte kvadrater: \(784 = 16 \cdot 49\), derfor \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). Sjekk alltid svaret med motsatt handling: \(28^2 = 784\).
Kan man trekke ut kvadratrot av et negativt tall?
I reelle tall - nei: kvadratet av ethvert tall er ikke-negativt, derfor har uttrykket \(\sqrt{-9}\) ingen mening. Det er nettopp fra denne betingelsen man finner definisjonsmengden: for eksempel, \(\sqrt{x-7}\) eksisterer kun for \(x \ge 7\).
Hva er roten av et tall i kvadrat?
Absoluttverdien av dette tallet: \(\sqrt{a^2} = |a|\). For et ikke-negativt \(a\) blir det tallet selv, for et negativt - det motsatte tallet: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
Hvordan ta ut en faktor fra under rottegnet?
Finn den største kvadratiske divisoren til tallet under roten og bruk egenskapen \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). For eksempel, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Motsatt handling - å sette en faktor inn under roten: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
Hva er kvadratroten av 2?
Tallet \(\sqrt{2}\) er irrasjonalt: desimalutvidelsen er uendelig og ikke-periodisk, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Det finnes ingen eksakt verdi som en brøk, derfor lar man det stå som symbolet \(\sqrt{2}\) i svarene, og man avrunder kun hvis oppgaven krever det.
Hvordan sammenligne to tall med røtter uten å beregne dem?
Sett faktorene inn under roten og sammenlign tallene under roten: et større tall under roten tilsvarer en større rot. For eksempel, \(\sqrt{17}\) og 4: siden \(4 = \sqrt{16}\) og \(17 > 16\), er \(\sqrt{17} > 4\).
Hvilken klasse studerer man kvadratrøtter?
I 8. klasse i algebra: først definisjonen av aritmetisk kvadratrot og dens egenskaper, deretter transformasjoner av uttrykk med røtter og løsning av ligninger av typen \(x^2 = a\). Videre dukker røtter opp i diskriminantformelen og i oppgaver i OGE og USE.
