Bulatan menghasilkan dua jenis sudut utama: sudut pusat — dengan bucu di pusat, dan sudut terinscribed — dengan bucu pada lilitan bulatan itu sendiri. Hubungan antara keduanya adalah mudah: sudut pusat adalah sama dengan lengkok yang disandarinya, manakala sudut terinscribed adalah separuh daripadanya. Halaman ini mengandungi definisi, teorem sudut terinscribed dengan semua akibatnya, rajah visual, penyelesaian masalah langkah demi langkah, dan jurulatih interaktif untuk anda menguji diri sendiri.
Jenis sudut dalam bulatan: sudut pusat dan sudut terinscribed
Jika kita melukis dua segmen garis dari satu titik dalam bulatan, kita akan mendapat satu sudut. Bergantung kepada kedudukan bucunya, terdapat dua jenis utama sudut dalam bulatan:
- Sudut pusat — sudut dengan bucu di pusat bulatan \(O\). Sisi-sisinya adalah jejari.
- Sudut terinscribed — sudut yang bucunya terletak pada bulatan, dan sisi-sisinya memotong bulatan (iaitu perentas).
Setiap sudut ini bersandar pada lengkok — bahagian bulatan yang terletak di dalam sudut tersebut. Lengkok inilah yang menghubungkan sudut pusat dan sudut terinscribed: kedua-duanya dinyatakan melalui ukuran darjah lengkok tersebut.
Jika bucu sudut berada di dalam bulatan (tetapi bukan di pusat) atau di luar bulatan — ia bukan lagi sudut terinscribed atau sudut pusat: terdapat formula berbeza untuk sudut sedemikian, yang akan dibincangkan di akhir halaman.
∠AOC = lengkok AC = 120°
∠ABC = ½ lengkok AC = 60°
Teorem sudut terinscribed dan saiz sudut terinscribed
Sudut pusat adalah sama dengan lengkok yang disandarinya — begitulah ukuran darjah lengkok diperkenalkan. Jika \(\angle AOC = 120°\), maka lengkok \(AC\) juga \(120°\).
Teorem sudut terinscribed: sudut terinscribed diukur sebagai separuh daripada lengkok yang disandarinya:
Daripada sini, hubungan utama antara sudut terinscribed dan sudut pusat adalah: sudut terinscribed adalah separuh daripada sudut pusat yang bersandar pada lengkok yang sama:
Saiz sudut terinscribed tidak bergantung kepada di mana tepatnya bucu itu berada pada bulatan — hanya lengkok yang disandarinya yang penting. Oleh itu, rajah di bawah perlu diingat sebagai "gambar kerja" bagi keseluruhan topik ini: lengkok hijau dan dua sudut yang menghadapnya.
Sudut terinscribed dan sudut pusat: sifat dan akibat
Daripada teorem sudut terinscribed, sifat-sifat yang menjadi asas kepada kebanyakan masalah sekolah dapat diterbitkan:
- Sudut terinscribed yang bersandar pada lengkok yang sama adalah sama. Setiap satunya adalah separuh daripada lengkok yang sama — bermakna ia juga sama antara satu sama lain, di mana sahaja bucunya berada.
- Sudut terinscribed yang bersandar pada diameter adalah sudut tegak. Diameter membahagikan bulatan kepada dua semibulatan sebanyak \(180°\), jadi sudut sedemikian adalah \(180° : 2 = 90°\). Begitu juga sebaliknya: jika sudut terinscribed adalah sudut tegak, maka ia bersandar pada diameter.
- Sudut terinscribed boleh menjadi sudut cakah. Jika lengkok lebih besar daripada \(180°\), sudutnya lebih besar daripada \(90°\) — formula "separuh daripada lengkok" berfungsi tanpa pengecualian.
Sifat-sifat ini juga berfungsi secara "songsang": sebagai contoh, melalui kesamaan sudut yang bersandar pada satu segmen, kita boleh membuktikan bahawa empat titik terletak pada bulatan yang sama.
Sudut terinscribed dan sudut circumscribed: sisi empat dalam bulatan
Jika keempat-empat bucu sisi empat terletak pada bulatan, ia dipanggil sisi empat kitaran (dan bulatan itu adalah bulatan circumscribed di sekelilingnya). Sudut-sudut sisi empat sedemikian adalah sudut terinscribed, jadi teorem yang sama terpakai.
- Hasil tambah sudut bertentangan dalam sisi empat kitaran adalah \(180°\). Sudut \(A\) dan \(C\) bersandar pada dua lengkok yang bersama-sama membentuk keseluruhan bulatan (\(360°\)), jadi \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Sudut luaran sisi empat kitaran adalah sama dengan sudut dalaman pada bucu bertentangan. Sudut luaran melengkapkan sudut dalamannya sehingga \(180°\) — sama seperti sudut bertentangannya.
- Sifat hasil tambah sudut juga merupakan petanda: jika hasil tambah sudut bertentangan sisi empat adalah \(180°\), bulatan boleh dilukis di sekelilingnya. Oleh itu, mana-mana segi empat tepat boleh diinscribed dalam bulatan, manakala rombus (kecuali segi empat sama) tidak boleh.
Selain sudut terinscribed, dalam masalah geometri kita juga sering menemui sudut circumscribed — sudut antara dua tangen yang dilukis dari satu titik di luar bulatan. Sudut circumscribed adalah sama dengan separuh perbezaan lengkok yang dipotongnya pada bulatan.
Contoh penyelesaian masalah sudut terinscribed dan sudut pusat
Contoh 1. Sudut terinscribed daripada lengkok
Masalah. Sudut terinscribed \(ABC\) bersandar pada lengkok \(AC\) yang bernilai \(120°\). Cari \(\angle ABC\).
Langkah 1. Ingat teorem: sudut terinscribed adalah separuh daripada lengkok yang disandarinya.
Langkah 2. Gantikan nilai: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Jawapan: \(60°\).
Contoh 2. Sudut pusat daripada sudut terinscribed
Masalah. Sudut terinscribed \(ABC\) adalah \(40°\). Cari sudut pusat \(AOC\) yang bersandar pada lengkok \(AC\) yang sama.
Langkah 1. Sudut pusat adalah dua kali ganda sudut terinscribed yang bersandar pada lengkok yang sama: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Langkah 2. Kira: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Kita juga tahu lengkoknya: \(AC = 80°\).
Jawapan: \(80°\).
Contoh 3. Sudut yang bersandar pada diameter
Masalah. \(AC\) adalah diameter bulatan, titik \(B\) terletak pada bulatan, \(\angle BAC = 35°\). Cari \(\angle BCA\).
Langkah 1. Sudut \(ABC\) bersandar pada diameter \(AC\), jadi \(\angle ABC = 90°\) — segi tiga \(ABC\) adalah segi tiga bersudut tegak.
Langkah 2. Hasil tambah sudut dalam segi tiga adalah \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Jawapan: \(55°\).
Contoh 4. Sisi empat kitaran
Masalah. Sisi empat \(ABCD\) diinscribed dalam bulatan, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Cari sudut \(C\) dan \(D\).
Langkah 1. Hasil tambah sudut bertentangan dalam sisi empat kitaran adalah \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Langkah 2. Begitu juga \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Semakan. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — hasil tambah sudut sisi empat adalah tepat.
Jawapan: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Kesilapan biasa dalam masalah sudut bulatan
-
Keliru antara sudut terinscribed dengan sudut pusat: mengambil separuh daripada lengkok untuk sudut pusat (atau sebaliknya).
Lihat bucunya dahulu. Bucu di pusat \(O\) — sudut pusat, ia sama dengan lengkok sepenuhnya. Bucu pada bulatan — sudut terinscribed, ia adalah separuh daripada lengkok.
-
Mengambil lengkok yang salah: untuk sudut terinscribed, mereka mengira lengkok di mana bucunya terletak.
Sudut terinscribed bersandar pada lengkok yang terletak "di dalam" sudut tersebut — bucunya sentiasa berada pada lengkok yang satu lagi. Dalam tatatanda \(\angle ABC\), sudut itu bersandar pada lengkok \(AC\) yang tidak mengandungi titik \(B\).
-
Mendarab dan membahagi dengan 2 "ke arah yang salah": membahagi daripada sudut terinscribed ke sudut pusat, bukannya mendarab.
Ingat: terinscribed — "kecil" (separuh lengkok), pusat — "besar" (lengkok penuh). Daripada terinscribed ke pusat — darab 2, daripada pusat ke terinscribed — bahagi 2.
-
Menganggap mana-mana sudut yang sisinya memotong bulatan sebagai sudut terinscribed — contohnya, sudut antara perentas yang bersilang di dalam bulatan.
Bucu sudut terinscribed mesti terletak pada bulatan itu sendiri. Sudut dengan bucu di dalam bulatan adalah sama dengan separuh hasil tambah lengkok yang dipotong, dengan bucu di luar bulatan — separuh perbezaan lengkok: ini adalah formula yang berbeza.
-
Dalam sisi empat kitaran, menyamakan hasil tambah sudut bersebelahan dengan $180°$ bukannya sudut bertentangan.
Sifat ini hanya berfungsi untuk bucu bertentangan: \(\angle A + \angle C = 180°\) dan \(\angle B + \angle D = 180°\). Sudut bersebelahan dalam sisi empat kitaran boleh jadi apa-apa nilai.
Soalan lazim
Berapakah nilai sudut terinscribed?
Sudut terinscribed adalah separuh daripada lengkok yang disandarinya. Contohnya, jika lengkok adalah 120°, sudut terinscribed adalah 60°. Inilah teorem sudut terinscribed — formula utama bagi topik ini.
Bagaimanakah hubungan antara sudut terinscribed dan sudut pusat yang bersandar pada lengkok yang sama?
Sudut pusat adalah dua kali ganda sudut terinscribed: ∠AOC = 2·∠ABC. Sudut pusat adalah sama dengan lengkok itu sendiri, manakala sudut terinscribed adalah separuh daripadanya.
Mengapa sudut terinscribed yang bersandar pada diameter adalah 90°?
Diameter merentasi semibulatan — lengkok 180°. Sudut terinscribed adalah separuh daripada lengkok: 180° : 2 = 90°. Oleh itu, mana-mana segi tiga yang mempunyai satu sisi sebagai diameter bulatan circumscribed adalah segi tiga bersudut tegak.
Bolehkah sudut terinscribed menjadi sudut cakah?
Ya. Jika lengkok yang disandari sudut itu lebih besar daripada 180°, sudut itu adalah cakah: contohnya, lengkok 210° sepadan dengan sudut terinscribed 105°. Walau bagaimanapun, sudut terinscribed sentiasa kurang daripada 180°.
Apakah itu sudut circumscribed dan bagaimana ia berbeza daripada sudut terinscribed?
Sudut circumscribed dibentuk oleh dua tangen yang dilukis ke bulatan dari satu titik luar. Bucunya terletak di luar bulatan, dan ia sama dengan separuh perbezaan lengkok yang dipotong. Bagi sudut terinscribed, bucunya terletak pada bulatan, dan ia sama dengan separuh daripada satu lengkok.
Apakah jenis sudut lain yang terdapat dalam bulatan?
Selain sudut pusat dan terinscribed, terdapat sudut antara perentas (bucu di dalam bulatan — separuh hasil tambah lengkok), sudut antara garisan secant dari titik luar (separuh perbezaan lengkok), dan sudut antara tangen dan perentas (separuh daripada lengkok yang terkandung di dalamnya). Kesemuanya dinyatakan melalui lengkok bulatan.
