Segitiga serupa ialah segitiga yang mempunyai bentuk yang sama tetapi saiz yang berbeza: sudutnya masing-masing sama, dan sisi-sisi sepadannya berkadar. Bilangan yang menunjukkan betapa besarnya satu segitiga berbanding yang lain dipanggil faktor skala \(k\). Tiga ciri membantu membuktikan keserupaan, dan nisbah perimeter serta luas mematuhi peraturan mudah: perimeter berkadar seperti \(k\), dan luas seperti \(k^2\). Halaman ini merangkumi definisi dan tatatanda keserupaan dengan susunan bucu yang betul, ketiga-tiga ciri, keserupaan segitiga bersudut tepat dan ketinggian dari sudut tepat, analisis masalah OGE 'cari sisi' dan simulator interaktif.
Apakah itu segitiga serupa dan faktor skala
Dua segitiga dipanggil serupa jika kedua-dua syarat berikut dipenuhi:
- sudutnya masing-masing sama — setiap sudut segitiga pertama mempunyai sudut yang sama dalam segitiga kedua;
- sisi-sisi sepadannya berkadar — ketiga-tiga nisbah memberikan nombor yang sama.
Sisi sepadan (bersesuaian) ialah sisi yang terletak bertentangan dengan sudut yang sama. Inilah yang membentuk pasangan, di antara mana nisbah dikira.
Keserupaan ditulis dengan simbol \(\sim\):
Faktor skala \(k\) — nisbah yang sama bagi sisi-sisi sepadan:
Jika \(k > 1\), segitiga kedua lebih besar daripada yang pertama; jika \(k < 1\) — lebih kecil; jika \(k = 1\) segitiga adalah sama, kerana kesamaan adalah kes khas keserupaan.
Susunan bucu dalam tatatanda — bukan formaliti
Tatatanda \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) dibaca mengikut kedudukan: \(A\) sepadan dengan \(A_1\), \(B\) — dengan \(B_1\), \(C\) — dengan \(C_1\). Dari sini jelas sudut mana yang sama (\(\angle A = \angle A_1\)) dan sisi mana yang sepadan (\(AB\) dan \(A_1B_1\), \(BC\) dan \(B_1C_1\), \(AC\) dan \(A_1C_1\)).
Jika huruf ditukar dan ditulis \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), ia menjadi pernyataan yang berbeza: sekarang \(\angle A = \angle B_1\), dan sisi \(B_1A_1\) akan sepadan dengan \(AB\). Anda tidak boleh membentuk perkadaran berdasarkan sisi yang 'terletak serupa' — hanya mengikut kedudukan dalam tatatanda. Oleh itu, perkara pertama yang perlu dilakukan ialah menyenaraikan pasangan sudut yang sama dan kemudian menyesuaikan susunan huruf mengikutnya.
Tiga ciri keserupaan segitiga
Anda tidak perlu menyemak keenam-enam syarat daripada definisi: keserupaan dibuktikan menggunakan salah satu daripada tiga ciri. Setiap satu adalah set data minimum yang secara automatik membuktikan kesamaan semua sudut dan perkadaran semua sisi.
Cara memilih ciri. Lihat apa yang diberikan dalam masalah: jika tentang sudut — ciri pertama, jika tentang dua sisi dan sudut — ciri kedua, jika tentang ketiga-tiga sisi — ciri ketiga.
- Ciri pertama (berdasarkan dua sudut) — tulang belakang kursus sekolah: hampir semua masalah OGE diselesaikan menggunakan ciri ini. Sudut ketiga tidak perlu disemak, ia sama secara automatik: jumlah sudut dalam segitiga sentiasa \(180°\). Cari pasangan sudut yang sama yang sedia ada — sudut sepunya bagi dua segitiga, sudut bertentangan, sudut berselang-seli dan sudut sepadan apabila garis selari, dua sudut tepat.
- Ciri kedua (berdasarkan dua sisi dan sudut di antaranya) memerlukan sudut itu tepat di antara kedua-dua sisi tersebut. Jika sudut yang sama terletak bertentangan dengan salah satu daripadanya, ciri tersebut tidak berfungsi dan keserupaan tidak terbukti.
- Ciri ketiga (berdasarkan tiga sisi) — apabila tiada sudut diberikan dalam soalan, hanya panjang sisi. Senaraikan sisi setiap segitiga mengikut urutan menaik dan bahagikan sisi terpendek dengan terpendek, sisi tengah dengan tengah, sisi terpanjang dengan terpanjang: dengan cara ini pasangan tidak akan tersalah anggap. Keserupaan wujud hanya jika ketiga-tiga nisbah adalah sama.
Untuk mengelakkan kekeliruan antara ciri keserupaan dan ciri kesamaan, ingat perbezaannya: dalam kesamaan, sisi mesti bertindih, dalam keserupaan — mesti berkadar.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Nisbah perimeter dan luas segitiga serupa
Keserupaan mempunyai dua akibat yang paling kerap ditanya, dan salah satunya ialah perangkap utama topik ini.
Perimeter berkadar seperti \(k\). Setiap sisi segitiga kedua adalah \(k\) kali lebih besar daripada sisi sepadannya dalam segitiga pertama, oleh itu jumlah sisi juga meningkat tepat \(k\) kali:
Begitu juga — 'dalam \(k\) kali' — semua kuantiti linear berkelakuan: ketinggian, median, bisector, jejari bulatan dalam dan luar, garis tengah.
Luas berkadar seperti \(k^2\). Luas bergantung kepada dua dimensi sekaligus: kedua-dua tapak dan ketinggian meningkat \(k\) kali, dan hasil darabnya — \(k \cdot k\) kali:
Katakan \(k = 5\). Kemudian perimeter adalah 5 kali lebih besar (contohnya, dari 14 cm kepada 70 cm), dan luas — sudah 25 kali lebih besar (dari 6 cm² kepada 150 cm²). Perbezaannya sangat besar, dan menggantikan \(k\) bukannya \(k^2\) di sini adalah kesilapan paling kerap dalam peperiksaan.
Pergerakan songsang. Jika nisbah luas diberikan dalam soalan, faktor skala dicari dengan punca kuasa dua: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Contohnya, jika luas berkadar 16 : 1, maka sisi berkadar 4 : 1.
| k | Perimeter P₂ : P₁ | Luas S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| mana-mana | k : 1 | k² : 1 |
Keserupaan segitiga bersudut tepat dan ketinggian dari sudut tepat
Bagi segitiga bersudut tepat, ciri pertama dipermudahkan: sudut tepat adalah sama secara semula jadi, jadi kesamaan satu sudut tirus sudah mencukupi untuk segitiga menjadi serupa. Dari sini juga timbul ciri berdasarkan dua sisi: jika sisi satu segitiga berkadar dengan sisi segitiga lain, segitiga tersebut serupa (ini ialah ciri kedua, kerana sudut di antara sisi ialah sudut tepat).
Konfigurasi yang paling berguna dalam keseluruhan topik ini ialah ketinggian yang dilukis dari bucu sudut tepat. Ia membahagikan segitiga kepada dua, dan ketiga-tiga segitiga yang terhasil adalah serupa antara satu sama lain.
Mengapa begitu: segitiga \(AHC\) mempunyai sudut tepat di \(H\) dan sudut \(A\) yang sama dengan segitiga besar, jadi \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Segitiga \(CHB\) mempunyai sudut tepat di \(H\) dan sudut \(B\) yang sama, jadi \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Oleh itu, kedua-dua segitiga kecil juga serupa antara satu sama lain.
Dari keserupaan ini terhasil formula purata geometri (dipanggil segmen berkadar dalam segitiga bersudut tepat):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — ketinggian ialah purata geometri segmen yang dibahagikan olehnya pada hipotenus;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) dan \(BC^2 = HB \cdot AB\) — sisi ialah purata geometri keseluruhan hipotenus dan unjurannya padanya.
Perkara utama ialah tidak tersalah anggap segmen mana yang 'milik': sisi \(AC\) mempunyai unjuran \(AH\), sisi \(BC\) mempunyai unjuran \(HB\). Unjuran sentiasa bersambung pada hujung hipotenus yang sama dengan sisi.
Masalah OGE tentang keserupaan: cara mencari sisi
Hampir semua masalah keserupaan diselesaikan dengan satu algoritma:
- Cari pasangan sudut yang sama — sudut sepunya, sudut bertentangan, sudut berselang-seli apabila garis selari, atau dua sudut tepat.
- Tuliskan keserupaan dalam susunan bucu yang betul — supaya sudut yang sama berada pada kedudukan yang sama.
- Bentuk perkadaran daripada sisi-sisi sepadan (ambil sisi yang berada pada kedudukan yang sama dalam tatatanda).
- Ungkapkan pembolehubah tidak diketahui dan hitung; pada akhirnya, semak jawapan mengikut logik — sisi segitiga yang lebih kecil mesti didapati lebih kecil.
Konfigurasi biasa dalam OGE tidak banyak, dan ia patut dikenali serta-merta:
- Garis selari dengan sisi. Garis memotong segitiga kecil daripada segitiga asal. Perkara penting: dalam perkadaran, ambil nisbah sisi keseluruhan dari bucu sepunya (\(BM : BA\)), bukan segmen (\(BM : MA\)).
- 'Rama-rama'. Dua segmen bersilang, dan hujungnya disambungkan oleh garis selari — menghasilkan dua segitiga serupa yang berorientasi berbeza antara satu sama lain.
- Ketinggian dari sudut tepat — konfigurasi dari bahagian sebelumnya; dalam OGE, ia digunakan untuk mencari ketinggian, sisi, atau segmen hipotenus.
- Bayang dan ketinggian objek. Sinar matahari adalah selari, jadi objek dengan bayangnya dan pokok dengan bayangnya menghasilkan segitiga bersudut tepat yang serupa.
- Garis tengah — kes khas dengan \(k = 2\): ia selari dengan sisi dan separuh panjangnya.
sudut B sepunya, sudut di M dan A sepadan
sudut di O bertentangan, sudut A dan C berselang-seli
Contoh penyelesaian masalah keserupaan segitiga
Contoh 1. Mencari sisi mengikut faktor skala
Masalah. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Diketahui bahawa \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) dan \(PQ = 21\). Cari \(QR\) dan \(PR\).
Langkah 1. Analisis tatatanda mengikut kedudukan: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Jadi pasangan sepadan ialah: \(MN\) dan \(PQ\), \(NK\) dan \(QR\), \(MK\) dan \(PR\).
Langkah 2. Hitung faktor skala menggunakan satu-satunya pasangan di mana kedua-dua sisi diketahui:
Langkah 3. Sisi-sisi lain bagi segitiga kedua adalah 3 kali lebih besar daripada sisi sepadannya:
Jawapan: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Semakan: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — semua nisbah adalah sama.
Contoh 2. Membuktikan keserupaan mengikut ciri kedua
Masalah. Dalam segitiga \(ABC\) dan \(DEF\), diketahui: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), dan sudut \(A\) dan \(D\) adalah sama. Buktikan bahawa segitiga tersebut serupa.
Langkah 1. Semak syarat utama ciri kedua: sudut \(A\) terletak di antara sisi \(AB\) dan \(AC\), sudut \(D\) — di antara \(DE\) dan \(DF\). Sudut di antara sisi yang diberikan — ciri boleh digunakan.
Langkah 2. Hitung nisbah sisi sepadan:
Langkah 3. Dua pasangan sisi berkadar dengan faktor skala yang sama \(k = 3\), sudut di antaranya adalah sama — mengikut ciri kedua \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Jawapan: segitiga adalah serupa, \(k = 3\). Perhatikan: jika sudut \(B\) dan \(D\) adalah sama, ciri tersebut tidak akan berfungsi — sudut \(B\) tidak terletak di antara \(AB\) dan \(AC\).
Contoh 3. Garis selari dengan sisi (masalah OGE)
Masalah. Dalam segitiga \(ABC\), titik \(M\) terletak pada sisi \(AB\), titik \(N\) — pada sisi \(BC\), dengan \(MN \parallel AC\). Diketahui bahawa \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Cari \(AC\).
Langkah 1. Oleh kerana \(MN \parallel AC\), sudut \(BMN\) dan \(BAC\) adalah sama sebagai sudut sepadan, dan sudut \(B\) adalah sepunya. Mengikut ciri pertama \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (susunan bucu: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Langkah 2. Cari panjang keseluruhan sisi dari bucu sepunya: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Ini adalah perkara penting — dalam perkadaran, \(BA\) digunakan, bukan \(MA\).
Langkah 3. Bentuk perkadaran berdasarkan sisi sepadan:
Langkah 4. Dari sini \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Jawapan: \(AC = 20\). Faktor skala di sini ialah 4: segitiga besar adalah empat kali lebih besar daripada segitiga yang dipotong.
Contoh 4. Perimeter dan luas
Masalah. Perimeter segitiga serupa ialah 18 cm dan 45 cm. Luas segitiga yang lebih kecil ialah 16 cm². Cari luas segitiga yang lebih besar.
Langkah 1. Perimeter berkadar seperti faktor skala:
Langkah 2. Luas berkadar seperti kuasa dua faktor skala: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Langkah 3. Darabkan luas segitiga yang lebih kecil dengan \(k^2\):
Jawapan: 100 cm². Jika kita mendarab dengan \(k = 2{,}5\), kita akan mendapat 40 cm² — kesilapan biasa yang menyebabkan kehilangan semua markah.
Contoh 5. Ketinggian dari bucu sudut tepat
Masalah. Dalam segitiga bersudut tepat \(ABC\) dengan sudut tepat di bucu \(C\), ketinggian \(CH\) dilukis ke hipotenus. Diketahui bahawa \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Cari ketinggian \(CH\) dan luas segitiga.
Langkah 1. Ketinggian dari sudut tepat ialah purata geometri segmen hipotenus, kerana \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Langkah 2. Ambil punca kuasa dua: \(CH = 6\) cm.
Langkah 3. Hipotenus \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. Luas dikira menggunakan hipotenus dan ketinggian yang dilukis padanya:
Jawapan: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
Contoh 6. Ketinggian pokok berdasarkan bayang
Masalah. Tiang menegak setinggi 2 m menghasilkan bayang sepanjang 1,5 m. Pada masa yang sama, bayang pokok ialah 9 m. Berapakah ketinggian pokok?
Langkah 1. Sinar matahari adalah selari, jadi sudut penurunan sinar adalah sama untuk tiang dan pokok. Tiang dengan bayangnya dan pokok dengan bayangnya membentuk segitiga bersudut tepat dengan sudut tirus yang sama — jadi ia serupa.
Langkah 2. Bentuk perkadaran 'ketinggian kepada bayangnya':
Langkah 3. Ungkapkan ketinggian yang tidak diketahui:
Jawapan: 12 m. Semakan mengikut logik: bayang pokok adalah 6 kali lebih panjang daripada bayang tiang, jadi pokok juga 6 kali lebih tinggi: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Kesilapan lazim dalam masalah keserupaan segitiga
-
Menyangka luas segitiga serupa berkadar seperti $k$: apabila $k = 3$, luas meningkat tiga kali ganda.
Luas berkadar seperti kuasa dua faktor skala: apabila \(k = 3\), luas adalah \(3^2 = 9\) kali lebih besar. Hanya kuantiti linear — sisi, perimeter, ketinggian, median — berkadar seperti \(k\). Petua: luas diukur dalam unit persegi, jadi faktor skala juga masuk dalam kuasa dua.
-
Mengabaikan susunan bucu: daripada tatatanda $\triangle ABC \sim \triangle KLM$, membentuk perkadaran $AB : LM$.
Kesesuaian bucu ditentukan oleh kedudukan dalam tatatanda: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Sisi \(KL\) akan sepadan dengan \(AB\), dan \(LM\) — dengan \(BC\). Sebelum menulis perkadaran, senaraikan pasangan bucu secara menegak — ini mengambil masa lima saat dan menghapuskan kebanyakan kesilapan.
-
Membuktikan keserupaan berdasarkan satu sudut yang sama atau dua sisi berkadar tanpa sudut.
Satu sudut yang sama tidak mencukupi: dua segitiga boleh mempunyai sudut yang sama tetapi bentuk yang sangat berbeza. Ciri yang lengkap diperlukan — dua sudut, atau dua sisi dan sudut di antaranya, atau ketiga-tiga sisi.
-
Dalam ciri kedua, mengambil sudut yang tidak terletak di antara sisi yang diberikan.
Ciri kedua hanya berfungsi dengan sudut di antara dua sisi yang diberikan. Jika \(AB\), \(AC\) diketahui dan sudut \(B\) adalah sama, ciri tersebut tidak boleh digunakan — cari jalan lain: pasangan sudut yang sama atau sisi ketiga.
-
Membalikkan faktor skala: mencari $k$ sebagai 'sisi yang lebih kecil kepada yang lebih besar', dan kemudian mendarabnya untuk mendapatkan sisi segitiga yang lebih besar.
Tetapkan arah anda sendiri: jika \(k\) ialah nisbah sisi segitiga kedua kepada yang pertama, maka sisi segitiga pertama didarab dengan \(k\), dan sisi segitiga kedua dibahagikan dengan \(k\). Semakan akhir mengikut logik: sisi segitiga yang lebih kecil mesti didapati lebih kecil.
-
Dalam masalah dengan garis selari dengan sisi, membentuk perkadaran daripada segmen: $BM : MA = MN : AC$.
Segitiga \(BMN\) dan \(BAC\) adalah serupa, dan sisi sepadan mereka ialah \(BM\) dan \(BA\) (sisi keseluruhan dari bucu sepunya), bukan segmen \(MA\). Mula-mula cari \(BA = BM + MA\), dan barulah bentuk perkadaran.
-
Mengelirukan keserupaan dengan kesamaan dan menulis dalam jawapan bahawa sisi adalah sama.
Kesamaan ialah kes khas keserupaan apabila \(k = 1\). Jika \(k \ne 1\), segitiga hanya mempunyai sudut yang sama, dan sisi berbeza sebanyak \(k\) kali. Ciri-cirinya juga berbeza: untuk kesamaan ia ialah SAS, ASA, SSS dengan sisi yang bertindih, untuk keserupaan — sisi yang berkadar.
Soalan dan jawapan
Segitiga manakah yang dipanggil serupa?
Segitiga yang sudutnya masing-masing sama dan sisi sepadannya berkadar dipanggil serupa. Ringkasnya, ia adalah segitiga yang sama bentuk tetapi berbeza saiz. Keserupaan ditulis dengan simbol ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Apakah faktor skala segitiga?
Faktor skala k ialah nombor yang sama dengan nisbah sisi sepadan bagi segitiga serupa: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Ia menunjukkan betapa besarnya satu segitiga berbanding yang lain. Apabila k = 1, segitiga adalah sama.
Berapa banyak ciri keserupaan segitiga dan apakah ia?
Terdapat tiga ciri. Pertama — berdasarkan dua sudut: dua sudut satu segitiga sama dengan dua sudut segitiga lain. Kedua — berdasarkan dua sisi dan sudut di antaranya: dua sisi berkadar dan sudut di antaranya adalah sama. Ketiga — berdasarkan tiga sisi: ketiga-tiga pasangan sisi sepadan berkadar.
Bagaimanakah luas segitiga serupa berkadar?
Luas segitiga serupa berkadar seperti kuasa dua faktor skala: S₂ : S₁ = k². Contohnya, apabila k = 4, luas adalah 16 kali lebih besar. Sebaliknya: jika luas berkadar 25 : 1, maka sisi berkadar 5 : 1.
Bagaimanakah perimeter segitiga serupa berkadar?
Perimeter berkadar seperti faktor skala: P₂ : P₁ = k. Elemen linear seperti ketinggian, median, bisector, garis tengah, jejari bulatan dalam dan luar juga berkelakuan sama.
Apakah perbezaan antara keserupaan segitiga dan kesamaan?
Dalam segitiga yang sama, kedua-dua sudut dan sisi bertindih, jadi bentuknya boleh ditindih. Dalam segitiga serupa, hanya sudut yang sama, dan sisi berkadar dengan faktor k. Kesamaan ialah kes khas keserupaan apabila k = 1.
Bagaimanakah membuktikan keserupaan segitiga bersudut tepat?
Kesamaan satu sudut tirus sudah mencukupi: sudut tepat adalah sama secara semula jadi, jadi ciri pertama berfungsi. Kaedah kedua ialah perkadaran sisi: sudut di antara sisi ialah sudut tepat, jadi ciri kedua keserupaan boleh digunakan.
Mengapa ketinggian dari sudut tepat menghasilkan tiga segitiga serupa?
Ketinggian CH dari sudut tepat C membahagikan segitiga ABC kepada segitiga AHC dan CHB. AHC mempunyai sudut tepat di H dan sudut A yang sama dengan ABC, CHB mempunyai sudut tepat di H dan sudut B yang sama, oleh itu kedua-duanya serupa dengan yang asal, dan oleh itu antara satu sama lain. Dari sini terhasil formula CH² = AH · HB, AC² = AH · AB dan BC² = HB · AB.
Pada tingkatan manakah keserupaan segitiga diajar?
Pada tingkatan 8 dalam pelajaran geometri — sejurus selepas topik tentang segmen berkadar. Di sana juga dipelajari tiga ciri keserupaan, nisbah luas dan aplikasi keserupaan pada segitiga bersudut tepat. Topik ini seterusnya digunakan pada tingkatan 9 dan dalam masalah OGE.
