Teorem Pithagoras - formula utama geometri Tingkatan 3: dalam segi tiga tepat, hasil tambah kuasa dua sisi tegak adalah sama dengan kuasa dua hipotenus, iaitu \(a^2 + b^2 = c^2\). Daripadanya, formula untuk mencari hipotenus dan mana-mana sisi tegak, pepenjuru segi empat, dan jarak antara titik-titik diturunkan. Halaman ini mengandungi definisi dan formula, bukti visual melalui luas, teorem songsang, segi tiga Mesir 3-4-5, analisis soalan langkah demi langkah, dan simulator interaktif untuk menguji diri anda.
Apakah teorem Pithagoras dan bagaimana bunyinya formula
Teorem Pithagoras berfungsi hanya dalam segi tiga tepat - iaitu, di mana salah satu sudut adalah \(90°\). Sisi-sisi segi tiga seperti itu mempunyai nama yang berbeza:
- sisi tegak - dua sisi yang membentuk sudut tepat;
- hipotenus - sisi bertentangan dengan sudut tepat, sisi terpanjang segi tiga.
Penyataan teorem: dalam segi tiga tepat, kuasa dua hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua sisi tegak.
Di sini \(a\) dan \(b\) ialah sisi tegak, \(c\) ialah hipotenus. Kadang-kadang teorem dinyatakan secara 'geometri': luas segi empat sama yang dibina di atas hipotenus adalah sama dengan hasil tambah luas segi empat sama yang dibina di atas sisi tegak. Ini adalah teorem yang sama, hanya dinyatakan dalam sebutan luas, bukan nombor.
Peraturan mudah membantu mengingati susunan huruf: huruf besar \(c\) sentiasa menyembunyikan sisi terpanjang. Jika anda tersilap hipotenus dengan sisi tegak dalam soalan, jawapannya akan salah.
Bukti teorem Pithagoras
Terdapat lebih daripada seratus bukti yang diketahui untuk teorem Pithagoras. Di sekolah, bukti yang paling visual dibincangkan - bukti melalui luas. Ambil dua segi empat sama yang sama dengan sisi \(a + b\) dan susun empat segi tiga tepat yang sama dengan sisi tegak \(a\) dan \(b\) di dalam setiap satu - tetapi dengan cara yang berbeza.
- Dalam segi empat sama pertama, anjakkan segi tiga ke sudut supaya dua segi empat sama tinggal bebas: satu dengan sisi \(a\) dan satu dengan sisi \(b\). Luasnya ialah \(a^2\) dan \(b^2\).
- Dalam segi empat sama kedua, susun empat segi tiga yang sama dalam corak 'kipas'. Hanya satu segi empat sama condong dengan sisi \(c\) kekal bebas, luasnya ialah \(c^2\).
- Luas segi empat sama yang besar adalah sama: setiap satu ialah \((a+b)^2\). Jumlah luas segi tiga juga sama: setiap satu mengambil \(\frac{ab}{2}\), empat segi tiga mengambil \(2ab\).
Oleh kerana keseluruhan dan bahagian yang ditolak adalah sama, bakinya juga sama: \(a^2 + b^2 = c^2\). Teorem telah dibuktikan - keseimbangan luas untuk kedua-dua segi empat sama ditulis di bawah rajah.
Cara mencari hipotenus dan sisi tegak menggunakan teorem Pithagoras
Daripada satu formula \(a^2 + b^2 = c^2\), semua formula kerja topik diperoleh: sisi yang tidak diketahui dinyatakan daripada persamaan dan punca kuasa dua diambil. Perbezaan antara kedua-dua kes hanyalah satu - dan inilah yang paling kerap berlaku kesilapan:
- hipotenus dicari melalui tambah kuasa dua sisi tegak - ia mesti lebih panjang daripada mana-mana daripadanya;
- sisi tegak - melalui tolak: kuasa dua hipotenus ditolak dengan kuasa dua sisi tegak yang diketahui, dan hasilnya mesti lebih kecil daripada hipotenus.
Jika nombor negatif diperoleh di bawah punca, itu bermakna hipotenus tersilap dengan sisi tegak - kembali ke rajah dan cari sudut tepat. Dan satu lagi butiran: punca kuasa dua adalah wajib pada akhirnya, kesilapan paling kerap berlaku pada langkah ini.
Satu ringkasan formula yang lengkap - di bawah.
| Apa yang dicari | Formula dan penjelasan |
|---|---|
| Hipotenus | c = √a2 + b2punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua sisi tegak |
| Sisi tegak a | a = √c2 − b2punca kuasa dua hasil tolak kuasa dua hipotenus dan sisi tegak yang lain |
| Sisi tegak b | b = √c2 − a2secara simetri: tolak kuasa dua sisi tegak yang lain |
| Semakan | a2 + b2 = c2 ?persamaan betul → segi tiga adalah tepat (teorem songsang) |
Teorem Pithagoras songsang dan segi tiga Mesir
Teorem Pithagoras songsang: jika kuasa dua satu sisi segi tiga adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain, maka segi tiga itu adalah tepat, dan sudut tepat terletak bertentangan dengan sisi terpanjang.
Ini adalah alat kerja: dengan tiga nombor, anda boleh mengetahui jenis segi tiga tanpa mengukurnya dengan protraktor. Urutan tindakan adalah seperti berikut:
- cari sisi terpanjang - ia adalah calon untuk hipotenus;
- kuasakan dua dua sisi yang lain dan tambahkan;
- bandingkan dengan kuasa dua sisi terpanjang.
Jika anda mendapat persamaan - segi tiga itu adalah tepat. Contohnya, sisi 6, 8 dan 10: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\), jadi segi tiga itu adalah tepat.
Set nombor bulat yang memenuhi persamaan dipanggil triplet Pithagoras. Yang paling terkenal ialah 3, 4, 5: segi tiga seperti itu dipanggil Mesir, kerana pembina di Mesir Purba mengukur 12 bahagian yang sama pada tali dan membentuknya menjadi segi tiga dengan sisi 3, 4 dan 5 untuk mendapatkan sudut tepat yang tepat di tapak pembinaan. Kaedah ini masih digunakan sehingga kini.
Di mana teorem Pithagoras digunakan: soalan dari kehidupan dan geometri
Teorem Pithagoras diperlukan setiap kali segi tiga tepat boleh dilihat dalam rajah:
- Pepenjuru segi empat. Pepenjuru membahagikan segi empat kepada dua segi tiga tepat, jadi \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\). Beginilah cara pepenjuru skrin TV atau saiz bilik dikira.
- Ketinggian segi tiga sama kaki. Ketinggian yang dilukis ke tapak membahagikannya kepada dua dan membentuk segi tiga tepat - formula yang sama berfungsi di sini.
- Pepenjuru segi empat sama. Jika sisi ialah \(a\), maka \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\).
- Jarak antara titik pada satah koordinat. Formula \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) ialah teorem Pithagoras untuk segi tiga yang dibina di atas perbezaan koordinat.
- Soalan praktikal. Tangga yang disandarkan pada dinding; ketinggian pokok berdasarkan bayangnya; panjang tali, penegang, kabel - dalam semua soalan ini, segi tiga tepat dibina dan formula digunakan.
Penting untuk diingat batasan utama: teorem Pithagoras sah hanya untuk segi tiga tepat. Jika tiada sudut tepat, sisi-sisi dihubungkan oleh teorem kosinus, yang dipelajari pada Tingkatan 3.
Contoh penyelesaian soalan teorem Pithagoras
Contoh 1. Mencari hipotenus
Soalan. Sisi tegak segi tiga tepat ialah \(9\) cm dan \(12\) cm. Cari hipotenus.
Langkah 1. Tulis teorem untuk segi tiga kita: \(c^2 = a^2 + b^2\).
Langkah 2. Kuasakan dua sisi tegak dan tambahkan:
Langkah 3. Ambil punca kuasa dua: \(c = \sqrt{225} = 15\) cm.
Jawapan: \(15\) cm. Semakan mengikut logik: hipotenus lebih panjang daripada setiap sisi tegak - seperti sepatutnya.
Contoh 2. Mencari sisi tegak
Soalan. Hipotenus segi tiga tepat ialah \(25\) cm, satu sisi tegak ialah \(7\) cm. Cari sisi tegak yang kedua.
Langkah 1. Ungkapkan sisi tegak yang tidak diketahui daripada formula \(a^2 + b^2 = c^2\): \(b^2 = c^2 - a^2\). Di sini ialah tolakan, bukan penambahan - kita mencari sisi tegak, bukan hipotenus.
Langkah 2. Gantikan nombor:
Langkah 3. Ambil punca kuasa dua: \(b = \sqrt{576} = 24\) cm.
Jawapan: \(24\) cm. Kita juga menemui triplet Pithagoras \(7 - 24 - 25\).
Contoh 3. Soalan tentang tangga
Soalan. Tangga sepanjang \(5\) m disandarkan pada dinding. Hujung bawahnya berjarak \(3\) m dari dinding. Pada ketinggian berapakah tangga menyentuh dinding?
Langkah 1. Buat rajah: dinding dan tanah membentuk sudut tepat, tangga ialah hipotenus. Jadi, \(c = 5\) m, satu sisi tegak \(a = 3\) m, ketinggian \(h\) ialah sisi tegak yang kedua.
Langkah 2. Cari sisi tegak melalui tolak:
Langkah 3. \(h = \sqrt{16} = 4\) m.
Jawapan: \(4\) m. Di hadapan kita ialah segi tiga Mesir \(3 - 4 - 5\).
Contoh 4. Semak segi tiga menggunakan teorem songsang
Soalan. Sisi segi tiga ialah \(10\), \(24\) dan \(26\). Adakah ia tepat?
Langkah 1. Cari sisi terpanjang - ia ialah \(26\). Jika segi tiga itu tepat, ia akan menjadi hipotenus.
Langkah 2. Kira hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lebih pendek: \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\).
Langkah 3. Bandingkan dengan kuasa dua sisi yang lebih besar: \(26^2 = 676\). Nombornya sama.
Jawapan: ya, segi tiga itu tepat, sudut tepat terletak bertentangan dengan sisi \(26\). Ini ialah triplet \(5 - 12 - 13\) didarab dengan \(2\).
Contoh 5. Pepenjuru segi empat
Soalan. Sisi segi empat ialah \(8\) cm dan \(15\) cm. Cari pepenjurunya.
Langkah 1. Pepenjuru membahagikan segi empat kepada dua segi tiga tepat yang sama: sisi segi empat menjadi sisi tegak, pepenjuru menjadi hipotenus.
Langkah 2. Guna formula: \(d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}\).
Langkah 3. \(d = 17\) cm.
Jawapan: \(17\) cm. Triplet Pithagoras \(8 - 15 - 17\) berfungsi di sini.
Kesilapan biasa dalam soalan teorem Pithagoras
-
Tersilap hipotenus dengan sisi tegak: meletakkan sisi terpanjang sebagai sisi tegak dan mendapat nombor negatif di bawah punca.
Hipotenus sentiasa sisi bertentangan sudut tepat dan sentiasa yang terpanjang. Mulakan penyelesaian dengan rajah: tandakan sudut tepat, dan ia akan menjadi jelas sisi mana yang terletak bertentangan dengannya.
-
Menambah sisi itu sendiri, bukan kuasa dua mereka: menulis $a + b = c$ dan untuk sisi tegak 6 dan 8 mendapat 14.
Teorem menghubungkan kuasa dua: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), jadi \(c = 10\). Hasil tambah sisi tegak sentiasa lebih besar daripada hipotenus - ini bukan jawapan, tetapi tanda kesilapan.
-
Lupa mengambil punca kuasa dua dan menulis $c^2$ bukannya $c$ dalam jawapan: 'hipotenus ialah 225'.
Selepas pengiraan, kuasa dua sisi sentiasa tinggal. Langkah terakhir ialah punca kuasa dua: \(c = \sqrt{225} = 15\). Jadikan ia peraturan untuk membaca semula soalan sebelum menulis jawapan.
-
Mencari sisi tegak melalui penambahan: $b = \sqrt{c^2 + a^2}$.
Melalui penambahan hanya hipotenus dicari. Sisi tegak - melalui tolakan: \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\). Semakan mudah: sisi tegak mesti lebih pendek daripada hipotenus.
-
Menggunakan teorem pada segi tiga tanpa sudut tepat - contohnya, segi tiga sama kaki atau segi tiga biasa dengan sisi 5, 6, 7.
Teorem Pithagoras berfungsi hanya dalam segi tiga tepat. Jika tiada sudut tepat, ia 'dicipta' terlebih dahulu - dengan melukis ketinggian - atau teorem kosinus dari kursus Tingkatan 3 digunakan.
-
Dalam teorem songsang, membandingkan dengan sisi yang salah: mengkuasa duakan dua sisi rawak dan menambahnya.
Kuasa dua sisi terpanjang mesti sama dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain. Untuk sisi 6, 8, 11, bandingkan \(6^2 + 8^2 = 100\) dan \(11^2 = 121\): tiada persamaan, segi tiga itu tidak tepat.
Soalan dan jawapan
Bagaimana formula teorem Pithagoras berbunyi?
a² + b² = c², di mana a dan b ialah sisi tegak segi tiga tepat, dan c ialah hipotenus. Dalam perkataan: kuasa dua hipotenus adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua sisi tegak.
Bagaimana mencari hipotenus jika sisi tegak diketahui?
Kuasakan dua sisi tegak, tambahkan dan ambil punca kuasa dua: c = √(a² + b²). Contohnya, dengan sisi tegak 6 dan 8, kita mendapat c = √(36 + 64) = √100 = 10.
Bagaimana mencari sisi tegak jika hipotenus dan sisi tegak yang lain diketahui?
Melalui tolak kuasa dua: a = √(c² − b²). Contohnya, dengan hipotenus 13 dan sisi tegak 5, sisi tegak yang kedua ialah √(169 − 25) = √144 = 12.
Pada tingkatan berapa teorem Pithagoras diajar?
Pada Tingkatan 3 dalam kelas geometri, dalam topik 'Segi Tiga Tepat'. Di sana juga teorem songsang Pithagoras dan triplet Pithagoras diajar, dan seterusnya teorem digunakan pada Tingkatan 3 dan dalam soalan peperiksaan.
Apakah teorem Pithagoras songsang?
Ia adalah pernyataan sebaliknya: jika kuasa dua satu sisi segi tiga adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain, maka segi tiga itu adalah tepat. Ia membolehkan penentuan jenis segi tiga berdasarkan tiga nombor, tanpa mengukur sudut.
Segi tiga apakah yang dipanggil segi tiga Mesir?
Segi tiga dengan sisi 3, 4 dan 5: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Di Mesir Purba, menggunakan tali yang dibahagikan kepada 12 bahagian yang sama, ia digunakan untuk mendapatkan sudut tepat yang tepat semasa pembinaan.
Adakah teorem Pithagoras berfungsi dalam segi tiga bukan tepat?
Tidak. Persamaan a² + b² = c² hanya berlaku apabila sudutnya tepat. Untuk segi tiga umum, teorem kosinus c² = a² + b² − 2ab·cos C digunakan, yang apabila sudut 90° menjadi tepat teorem Pithagoras.
Bagaimana membuktikan teorem Pithagoras dengan cara mudah?
Bukti sekolah yang paling visual ialah melalui luas. Dua segi empat sama yang sama dengan sisi a + b diambil, dan empat segi tiga tepat yang sama dengan sisi tegak a dan b diletakkan di dalam setiap satu. Dalam yang pertama, segi empat sama a² dan b² kekal bebas, dalam yang kedua - segi empat sama c². Oleh kerana segi empat sama besar dan segi tiga adalah sama, maka a² + b² = c².
