Teorem kosinus menghubungkan tiga sisi segi tiga dan salah satu sudutnya: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Ia berfungsi dalam sebarang segi tiga, oleh itu pada Tingkatan 9 ia menggantikan teorem Pythagoras di mana tiada sudut tepat. Ia digunakan untuk mencari sisi ketiga jika dua sisi lain dan sudut di antaranya diketahui, dan mengikut kesimpulan \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) — mana-mana sudut berdasarkan tiga sisi dan jenis segi tiga. Halaman ini mengandungi formulasi dan ketiga-tiga bentuk formula, bukti, jadual kosinus, nota 'sinus atau kosinus', analisis soalan OGE dan simulator untuk semakan kendiri.
Teorem kosinus: formulasi dan formula
Teorem kosinus berfungsi dalam sebarang segi tiga — ia tidak memerlukan sudut tepat. Ia menghubungkan tiga sisi dan satu sudut, oleh itu ia digunakan untuk mencari sisi jika dua sisi lain dan sudut di antaranya diketahui.
Formulasi. Kuasa dua satu sisi segi tiga adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi lain ditolak dengan dua kali hasil darab kedua-dua sisi tersebut dengan kosinus sudut di antaranya.
Di sini \(a\), \(b\), \(c\) — sisi segi tiga, dan \(C\) — sudut di antara sisi \(a\) dan \(b\); sisi \(c\) terletak bertentangan dengan sudut ini. Huruf boleh diambil apa sahaja — formula adalah simetri, oleh itu ia mempunyai tiga bentuk yang setara:
Peraturan utama untuk penggantian: ambil sudut yang terkandung di antara dua sisi dalam hasil darab, dan cari sisi yang terletak bertentangannya. Jika sudut 'berdekatan' diambil, semua nombor akan datang daripada syarat, dan jawapan akan salah.
Mengapa teorem Pythagoras adalah kes khusus teorem kosinus
Mari kita gantikan sudut tepat ke dalam formula, iaitu \(C = 90°\). Kosinus sudut tepat ialah sifar, oleh itu sebutan ketiga akan menjadi sifar sepenuhnya:
Ini adalah teorem Pythagoras yang sama, yang diketahui dari Tingkatan 8. Oleh itu, teorem kosinus dipanggil generalisasinya: Pythagoras adalah 'kes khusus pada 90°', manakala teorem kosinus berfungsi untuk semua sudut sekaligus.
Sebutan \(-2ab\cos C\) boleh difahami sebagai penyesuaian untuk sudut yang tidak tepat:
- sudut tirus, \(\cos C > 0\) — penyesuaian ditolak, sisi \(c\) menjadi lebih pendek daripada yang diberikan oleh Pythagoras;
- sudut tepat, \(\cos C = 0\) — tiada penyesuaian, tinggal \(c^2 = a^2 + b^2\);
- sudut cakah, \(\cos C < 0\) — penyesuaian ditambah, sisi \(c\) menjadi lebih panjang.
Bukti teorem kosinus
Bukti sekolah yang paling ringkas ialah menggunakan koordinat. Letakkan bucu \(C\) di asalan, dan sisi \(b = CA\) arahkan sepanjang paksi x. Maka koordinat bucu adalah seperti berikut:
- \(C(0;\ 0)\) — asalan;
- \(A(b;\ 0)\) — titik pada paksi x pada jarak \(b\) dari asalan;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — bucu pada jarak \(a\) dari asalan pada sudut \(C\) ke paksi x.
Sisi \(c\) ialah panjang segmen \(AB\). Kita mengiranya menggunakan formula jarak antara dua titik:
Buka kurungan:
Kumpulkan sebutan dengan \(a^2\) dan gunakan identiti trigonometri asas \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Yang perlu dibuktikan. Perhatikan: tiada keperluan di mana-mana bahawa sudut \(C\) adalah tirus. Jika ia cakah, kosinus adalah negatif, koordinat \(a\cos C\) bergerak ke kiri dari paksi y, tetapi semua pengiraan adalah sama — oleh itu teorem ini sah untuk mana-mana segi tiga.
Kesimpulan: cara mencari sudut berdasarkan tiga sisi
Daripada teorem kosinus, kosinus itu sendiri dinyatakan — ini adalah kesimpulan utamanya. Ia digunakan untuk mencari sudut apabila ketiga-tiga sisi diketahui:
Dalam pengangka — hasil tambah kuasa dua dua sisi yang bersebelahan dengan sudut, ditolak dengan kuasa dua sisi yang terletak bertentangan dengannya. Dalam penyebut — dua kali hasil darab sisi yang bersebelahan. Untuk sudut lain, formulanya adalah sama:
Langkah penyelesaian:
- pilih sudut yang dicari dan tentukan sisi mana yang terletak bertentangan dengannya — kuasa duanya dimasukkan ke dalam pengangka dengan tanda negatif;
- kira pecahan (penyebut sentiasa positif, tanda ditentukan hanya oleh pengangka);
- berdasarkan jadual nilai atau melalui arkkosinus, cari sudut itu sendiri.
Kaedah berguna: mulakan dengan sisi terbesar. Sisi terbesar terletak bertentangan dengan sudut terbesar, dan hanya ia yang boleh menjadi sudut tepat atau cakah — dua sudut lain dalam segi tiga sentiasa tirus.
Kosinus sudut cakah: jadual nilai
Dalam soalan sekolah, sudut hampir selalu 'dalam jadual': 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Sudut tirus mempunyai kosinus positif, sudut tepat mempunyai kosinus sifar, dan sudut cakah mempunyai kosinus negatif. Nilai untuk sudut cakah diperoleh daripada nilai untuk sudut tirus mengikut peraturan penukaran \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): contohnya, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Apa maksudnya dalam amalan: untuk sudut cakah, ungkapan \(-2ab\cos C\) menjadi tambah — negatif darab negatif. Untuk sudut \(120°\), formula kelihatan seperti ini:
Di sinilah kesilapan paling kerap berlaku: menggantikan \(0{,}5\) dengan \(-0{,}5\) dan mendapat sisi yang lebih pendek daripada kedua-dua sisi yang diberikan. Ini jelas mustahil — sisi terpanjang segi tiga terletak bertentangan dengan sudut cakah.
| Sudut | Kosinus |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Cara menentukan jenis segi tiga berdasarkan tiga sisi
Teorem kosinus membolehkan kita mengetahui jenis segi tiga tanpa mengukur sudut dengan protraktor. Tanda pecahan \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) hanya bergantung pada pengangka: penyebut \(2ab\) sentiasa positif. Ini bermakna, cukuplah untuk membandingkan kuasa dua sisi terbesar dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi lain.
Katakan \(c\) ialah sisi terbesar, maka sudut terbesar \(C\) terletak bertentangannya:
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → sudut \(C\) tirus. Sudut lain lebih kecil daripadanya, bermakna ketiga-tiga sudut adalah tirus — segi tiga bersudut tirus;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — segi tiga bersudut tepat (ini adalah teorem Pythagoras songsang);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → sudut \(C\) cakah — segi tiga bersudut cakah.
Tidak perlu menyemak sudut lain: hanya satu sudut tepat atau cakah boleh wujud dalam segi tiga. Dan jangan lupa ketaksamaan segi tiga — jika sisi terbesar tidak kurang daripada hasil tambah dua sisi lain, segi tiga dengan sisi seperti itu langsung tidak wujud.
Teorem sinus atau kosinus: cara memilih
Kedua-dua teorem menyelesaikan satu tugas — mencari sisi dan sudut segi tiga yang tidak diketahui, — tetapi digunakan berdasarkan set data yang berbeza. Teorem sinus menghubungkan sisi dan sudut bertentangannya:
Dari sini peraturan pemilihan: jika dalam syarat sudah ada pasangan 'sisi dan sudut bertentangannya' — teorem sinus berfungsi; jika tiada pasangan seperti itu — mulakan dengan teorem kosinus. Nota untuk empat set data sekolah — dalam jadual.
Selalunya soalan diselesaikan dalam dua langkah: pertama teorem kosinus memberikan sisi ketiga, dan kemudian teorem sinus dengan cepat mencari sudut yang tinggal.
| Apa yang diketahui | Apa yang digunakan |
|---|---|
| SASDua sisi dan sudut di antaranya | Teorem kosinusmencari sisi ketiga |
| SSSKetiga-tiga sisi | Teorem kosinusmencari mana-mana sudut dan jenis segi tiga |
| ASASisi dan dua sudut | Teorem sinusmencari dua sisi lain |
| SSADua sisi dan sudut bertentangan salah satunya | Teorem sinusmencari sudut bertentangan |
Teorem kosinus dalam soalan OGE
Dalam OGE matematik, teorem kosinus muncul dalam tugasan planimetri — kedua-duanya dalam bahagian pertama dan dalam soalan dengan jawapan terperinci. Plot tipikal adalah seperti berikut:
- Mencari sisi berdasarkan dua sisi dan sudut di antaranya — aplikasi langsung formula, selalunya dengan sudut 60° atau 120°.
- Mencari sudut atau kosinusnya berdasarkan tiga sisi — kesimpulan \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Jika dalam soalan tertulis 'cari \(\cos\angle A\)', jangan ambil arkkosinus: jawapan ialah pecahan itu sendiri, ia yang perlu ditulis.
- Pepanjuru selari. Pepanjuru memotong segi tiga daripada dua sisi dan sudut di antaranya. Sudut bersebelahan selari berjumlah 180°, oleh itu kosinusnya adalah bertentangan: pepanjuru yang lebih pendek terletak bertentangan dengan sudut tirus, yang lebih panjang — bertentangan dengan sudut cakah.
- Jenis segi tiga berdasarkan tiga nombor — perbandingan \(a^2 + b^2\) dengan \(c^2\).
- Median segi tiga. Formula \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) diturunkan dengan menggunakan teorem kosinus dua kali pada dua sudut bersebelahan pada tapak.
Nasihat semasa peperiksaan: sebelum mengira, tandakan sudut pada rajah yang 'terperangkap' di antara sisi yang diketahui. Jika tiada sudut seperti itu — teorem kosinus belum boleh digunakan, cari jalan lain.
Contoh penyelesaian soalan teorem kosinus
Contoh 1. Mencari sisi berdasarkan dua sisi dan sudut 60°
Soalan. Dalam segi tiga \(ABC\), sisi \(a = 7\) dan \(b = 15\), sudut di antaranya \(C = 60°\). Cari sisi \(c\).
Langkah 1. Sudut \(C\) terkandung di antara sisi \(a\) dan \(b\) — ini adalah kes yang teorem itu dicipta untuknya:
Langkah 2. Gantikan nombor, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Langkah 3. Ambil punca kuasa dua: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Jawapan: \(13\). Semakan mengikut logik: sudut \(60°\) adalah tirus, oleh itu sisi bertentangannya bukanlah yang terpanjang — dan memang benar, \(13 < 15\).
Contoh 2. Sudut cakah: negatif darab negatif
Soalan. Dalam segi tiga \(ABC\), diketahui: \(AB = 6\), \(BC = 10\), sudut \(B = 120°\). Cari sisi \(AC\).
Langkah 1. Sudut \(B\) terkandung di antara sisi \(AB\) dan \(BC\), dan sisi \(AC\) terletak bertentangannya:
Langkah 2. Sudutnya cakah, oleh itu \(\cos 120° = -0{,}5\). Tanda negatif sebelum hasil darab dan tanda negatif pada kosinus memberikan tanda positif:
Langkah 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Jawapan: \(14\). Semakan: sisi terpanjang terletak bertentangan dengan sudut cakah — \(14\) lebih besar daripada \(6\) dan \(10\).
Contoh 3. Mencari sudut berdasarkan tiga sisi
Soalan. Sisi segi tiga ialah \(3\), \(5\) dan \(7\). Cari sudut terbesarnya.
Langkah 1. Sudut terbesar terletak bertentangan dengan sisi terbesar, iaitu bertentangan dengan sisi \(7\). Mari kita tandakannya sebagai \(C\), maka \(c = 7\), dan sisi bersebelahan ialah \(a = 3\) dan \(b = 5\).
Langkah 2. Guna kesimpulan:
Langkah 3. Kosinus adalah negatif — sudutnya cakah. Berdasarkan jadual nilai, \(\cos 120° = -0{,}5\), jadi \(C = 120°\).
Jawapan: \(120°\). Secara tidak langsung, didapati bahawa segi tiga itu bersudut cakah.
Contoh 4. Menentukan jenis segi tiga
Soalan. Tentukan jenis segi tiga dengan sisi \(6\), \(7\) dan \(10\).
Langkah 1. Semak ketaksamaan segi tiga: \(6 + 7 = 13 > 10\) — segi tiga wujud. Sisi terbesar ialah \(10\).
Langkah 2. Bandingkan hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lebih kecil dengan kuasa dua sisi terbesar:
Langkah 3. \(85 < 100\), jadi pengangka pecahan adalah negatif dan \(\cos C < 0\) — sudut bertentangan sisi \(10\) adalah cakah. Jika dikehendaki, sudut itu sendiri juga boleh dicari:
Jawapan: segi tiga itu bersudut cakah. Perhatikan: ini tidak kelihatan 'dengan mata' — sisi hampir sama panjang, tetapi sudutnya sudah melebihi \(90°\).
Contoh 5. Soalan tahap OGE: pepanjuru selari
Soalan. Sisi selari ialah \(5\) dan \(8\), sudut tirus ialah \(60°\). Cari pepanjuru yang lebih pendek.
Langkah 1. Pepanjuru memotong segi tiga yang mana dua sisi (\(5\) dan \(8\)) dan sudut di antaranya diketahui. Pepanjuru yang lebih pendek terletak bertentangan dengan sudut tirus \(60°\).
Langkah 2. Kira:
Langkah 3. Semakan. Pepanjuru kedua terletak bertentangan dengan sudut \(120°\) (sudut bersebelahan selari berjumlah \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), jadi \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Hasil tambah kuasa dua pepanjuru ialah \(49 + 129 = 178\), dan dua kali hasil tambah kuasa dua sisi ialah \(2(25 + 64) = 178\). Ia sepadan, jadi pengiraan adalah betul.
Jawapan: \(7\).
Kesilapan lazim dalam soalan teorem kosinus
-
Mengambil kosinus sudut cakah sebagai positif. Untuk sisi $4$ dan $9$ dengan sudut $120°$ di antaranya, tulis $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ dan dapatkan $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), dan negatif darab negatif ialah positif: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), jadi \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Semakan pantas: sisi terpanjang terletak bertentangan dengan sudut cakah, jadi jawapan mesti lebih besar daripada \(9\).
-
Memasukkan sudut yang tidak terkandung di antara sisi yang diberikan: dalam syarat diberi satu sudut, dan ia diambil 'sebagaimana adanya', tanpa melihat rajah.
Dalam tatatanda \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\), sisi \(a\) dan \(b\) membentuk sudut \(C\), dan sisi \(c\) terletak bertentangannya. Jika sudut yang diketahui bersebelahan dengan sisi yang dicari, tatatanda ini tidak sesuai — perlukan salah satu daripada tiga bentuk lain atau teorem sinus.
-
Lupa mengambil punca kuasa dua dan menulis kuasa dua sisi sebagai jawapan: dapat $c^2 = 225$ dan tulis 'sisi ialah 225'.
Formula sentiasa memberikan kuasa dua sisi. Langkah terakhir adalah wajib: \(c = \sqrt{225} = 15\). Baca semula soalan sebelum menulis jawapan.
-
Mencampuradukkan susunan sebutan dalam kesimpulan dan menulis $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Pengangka yang betul ialah \(a^2 + b^2 - c^2\): hasil tambah kuasa dua sisi bersebelahan tolak kuasa dua sisi bertentangan. Apabila susunan ditukar, tanda pecahan bertukar kepada sebaliknya, dan bukannya sudut cakah \(120°\) diperoleh sudut tirus \(60°\).
-
Mencari sudut mengikut modulus kosinus: dapat −0,25, dan dalam jawapan tulis sudut tirus, seolah-olah kosinus ialah +0,25.
Kosinus negatif sentiasa bermakna sudut cakah. Tanda tidak boleh diabaikan: cos 60° = 0,5, manakala cos 120° = −0,5; arkkosinus nombor negatif adalah lebih besar daripada 90°.
-
Mencuba menyelesaikan soalan 'dua sisi dan sudut di antaranya' menggunakan teorem sinus dan tersekat pada baris pertama.
Teorem sinus memerlukan pasangan 'sisi dan sudut bertentangannya' yang sedia ada. Dengan dua sisi dan sudut di antaranya, tiada pasangan seperti itu — pertama teorem kosinus memberikan sisi ketiga, dan hanya kemudian teorem sinus digunakan.
Soalan dan jawapan
Bagaimana teorem kosinus dinyatakan?
Kuasa dua satu sisi segi tiga adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi lain ditolak dengan dua kali hasil darab kedua-dua sisi tersebut dengan kosinus sudut di antaranya: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Teorem ini sah untuk mana-mana segi tiga, bukan hanya segi tiga tepat.
Bagaimana mencari sisi segi tiga berdasarkan dua sisi dan sudut di antaranya?
Gantikan data ke dalam formula c² = a² + b² − 2ab·cos C dan ambil punca kuasa dua. Contohnya, dengan sisi 4 dan 6 dan sudut 60° di antaranya: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, jadi c = √28 ≈ 5,3.
Bagaimana mencari sudut segi tiga jika ketiga-tiga sisi diketahui?
Mengikut kesimpulan daripada teorem kosinus: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), di mana c ialah sisi bertentangan sudut yang dicari. Contohnya, untuk sisi 2, 3 dan 4, kosinus sudut terbesar ialah (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, iaitu sudutnya cakah, kira-kira 104°.
Mengapa teorem Pythagoras adalah kes khusus teorem kosinus?
Kerana apabila sudutnya tepat, cos 90° = 0, dan sebutan −2ab·cos C menjadi sifar. Daripada formula, tinggal c² = a² + b² — ini adalah teorem Pythagoras untuk segi tiga tepat.
Adakah teorem kosinus berfungsi dalam segi tiga bersudut cakah?
Ya, dan ia berfungsi tanpa perubahan. Sudut cakah mempunyai kosinus negatif, oleh itu sebutan −2ab·cos C menjadi positif dan ditambah kepada hasil tambah kuasa dua. Justeru itulah sisi bertentangan sudut cakah menjadi yang terpanjang.
Bila perlu menggunakan teorem sinus, dan bila teorem kosinus?
Teorem sinus diperlukan apabila dalam syarat sudah ada pasangan 'sisi dan sudut bertentangannya' — contohnya, diberi satu sisi dan dua sudut. Teorem kosinus — apabila tiada pasangan seperti itu: diberi dua sisi dan sudut di antaranya atau ketiga-tiga sisi. Selalunya soalan diselesaikan dalam dua langkah: pertama kosinus, kemudian sinus.
Bagaimana menentukan jenis segi tiga berdasarkan tiga sisi?
Bandingkan kuasa dua sisi terbesar c² dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi lain. Jika a² + b² > c² — segi tiga bersudut tirus, jika a² + b² = c² — bersudut tepat, jika a² + b² < c² — bersudut cakah. Tanda perbezaan ini sama dengan tanda kosinus sudut terbesar.
Pada Tingkatan berapakah teorem kosinus dipelajari?
Pada Tingkatan 9 dalam kelas geometri, dalam topik 'Hubungan antara sisi dan sudut segi tiga' — bersama-sama dengan teorem sinus. Seterusnya ia sentiasa digunakan dalam soalan OGE dan EGE dalam planimetri dan stereometri.
