Riņķa līnija veido divus galvenos leņķu veidus: centrālo leņķi, kura virsotne ir centrā, un ievilkto leņķi, kura virsotne atrodas uz pašas riņķa līnijas. Saikne starp tiem ir vienkārša: centrālais leņķis ir vienāds ar loku, uz kura tas balstās, bet ievilktais leņķis – ar pusi no šī loka. Šajā lapā atradīsi definīcijas, teorēmu par ievilkto leņķi ar visām sekām, uzskatāmus zīmējumus, uzdevumu risināšanas piemērus soli pa solim un interaktīvu trenažieri, kurā varēsi uzreiz pārbaudīt savas zināšanas.
Leņķu veidi riņķa līnijā: centrālais un ievilktais
Ja riņķa līnijā no viena punkta novelk divus nogriežņus, veidojas leņķis. Atkarībā no tā, kur atrodas tā virsotne, izšķir divus galvenos leņķu veidus riņķa līnijā:
- Centrālais leņķis — leņķis, kura virsotne atrodas riņķa līnijas centrā \(O\). Tā malas ir rādiusi.
- Ievilkts leņķis — leņķis, kura virsotne atrodas uz riņķa līnijas, bet malas to krusto (tātad ir hordas).
Katrs no šiem leņķiem balstās uz loku — riņķa līnijas daļu, kas atrodas leņķa iekšpusē. Tieši loks saista centrālo un ievilkto leņķi: caur tā grādu mēru tiek izteikti abi.
Ja leņķa virsotne atrodas riņķa iekšpusē (bet ne centrā) vai ārpus tā, tas vairs nav ne ievilkts, ne centrālais leņķis: šādiem leņķiem ir savas formulas, par kurām stāstīsim lapas beigās.
∠AOC = lokam AC = 120°
∠ABC = ½ loka AC = 60°
Teorēma par ievilkto leņķi un tā lielums
Centrālais leņķis ir vienāds ar loku, uz kura tas balstās, — tā tiek ieviests loka grādu mērs. Ja \(\angle AOC = 120°\), tad arī loks \(AC\) ir \(120°\).
Teorēma par ievilkto leņķi: ievilkts leņķis ir vienāds ar pusi no loka, uz kura tas balstās:
No šejienes izriet galvenā sakarība starp ievilktiem un centrāliem leņķiem: ievilkts leņķis ir divreiz mazāks par centrālo leņķi, kas balstās uz to pašu loku:
Ievilktā leņķa lielums nav atkarīgs no tā, kur tieši uz riņķa līnijas atrodas tā virsotne — svarīgs ir tikai loks, uz kura tas balstās. Tāpēc zemāk redzamo zīmējumu ir vērts atcerēties kā visas tēmas "darba attēlu": zaļš loks un divi leņķi, kas uz to "skatās".
Ievilktie un centrālie leņķi: īpašības un sekas
No teorēmas par ievilkto leņķi tieši izriet īpašības, uz kurām balstās vairums skolas uzdevumu:
- Ievilktie leņķi, kas balstās uz vienu un to pašu loku, ir vienādi. Katrs no tiem ir vienāds ar pusi no viena un tā paša loka — tātad tie ir vienādi savā starpā, neatkarīgi no to virsotņu atrašanās vietas.
- Ievilkts leņķis, kas balstās uz diametru, ir taisns leņķis. Diametrs sadala riņķa līniju divās pusriņķa līnijās pa \(180°\), tāpēc šāds leņķis ir \(180° : 2 = 90°\). Patiess ir arī apgrieztais apgalvojums: ja ievilkts leņķis ir taisns, tad tas balstās uz diametru.
- Ievilkts leņķis var būt plats. Ja loks ir lielāks par \(180°\), leņķis ir lielāks par \(90°\) — formula "puse no loka" darbojas bez izņēmumiem.
Šīs īpašības darbojas arī "pretējā virzienā": piemēram, pamatojoties uz leņķu, kas balstās uz vienu nogriezni, vienādību, pierāda, ka četri punkti atrodas uz vienas riņķa līnijas.
Ievilkti un apvilkti leņķi: četrstūris riņķa līnijā
Ja visas četrstūra virsotnes atrodas uz riņķa līnijas, to sauc par ievilktu četrstūri (un riņķa līniju — par tam apvilktu). Šāda četrstūra leņķi ir ievilkti, tāpēc tiem ir spēkā tā pati teorēma.
- Ievilkta četrstūra pretējo leņķu summa ir \(180°\). Leņķi \(A\) un \(C\) balstās uz diviem lokiem, kas kopā veido visu riņķa līniju (\(360°\)), tāpēc \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Ievilkta četrstūra ārējais leņķis ir vienāds ar iekšējo leņķi pie pretējās virsotnes. Ārējais leņķis papildina savu iekšējo leņķi līdz \(180°\) — tieši tāpat kā pretējais leņķis.
- Leņķu summas īpašība ir arī pazīme: ja četrstūra pretējo leņķu summas ir \(180°\), ap to var apvilkt riņķa līniju. Tāpēc jebkuru taisnstūri var ievilkt riņķa līnijā, bet rombu (izņemot kvadrātu) — nevar.
Līdzās ievilktiem leņķiem uzdevumos sastopami arī apvilkti leņķi — leņķi starp divām pieskarēm, kas novilktas no viena punkta ārpus riņķa līnijas. Apvilkts leņķis ir vienāds ar to loku pusstarpību, kurus tas atšķeļ no riņķa līnijas.
Uzdevumu par ievilktiem un centrāliem leņķiem risināšanas piemēri
1. piemērs. Ievilkts leņķis pēc loka
Uzdevums. Ievilkts leņķis \(ABC\) balstās uz loku \(AC\), kas ir \(120°\). Atrodiet \(\angle ABC\).
1. solis. Atceramies teorēmu: ievilkts leņķis ir vienāds ar pusi no loka, uz kura tas balstās.
2. solis. Ievietojam vērtības: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Atbilde: \(60°\).
2. piemērs. Centrālais leņķis pēc ievilktā
Uzdevums. Ievilkts leņķis \(ABC\) ir \(40°\). Atrodiet centrālo leņķi \(AOC\), kas balstās uz to pašu loku \(AC\).
1. solis. Centrālais leņķis ir divreiz lielāks par ievilkto leņķi, kas balstās uz to pašu loku: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
2. solis. Aprēķinām: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Līdz ar to uzzinājām arī loka lielumu: \(AC = 80°\).
Atbilde: \(80°\).
3. piemērs. Leņķis, kas balstās uz diametru
Uzdevums. \(AC\) ir riņķa līnijas diametrs, punkts \(B\) atrodas uz riņķa līnijas, \(\angle BAC = 35°\). Atrodiet \(\angle BCA\).
1. solis. Leņķis \(ABC\) balstās uz diametru \(AC\), tātad \(\angle ABC = 90°\) — trijstūris \(ABC\) ir taisnleņķa.
2. solis. Trijstūra leņķu summa ir \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Atbilde: \(55°\).
4. piemērs. Ievilkts četrstūris
Uzdevums. Četrstūris \(ABCD\) ir ievilkts riņķa līnijā, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Atrodiet leņķus \(C\) un \(D\).
1. solis. Ievilkta četrstūra pretējo leņķu summa ir \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
2. solis. Līdzīgi \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Pārbaude. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — četrstūra leņķu summa sakrīt.
Atbilde: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Biežākās kļūdas uzdevumos par leņķiem riņķa līnijā
-
Jauc ievilkto leņķi ar centrālo: leņķim, kura virsotne ir centrā, aprēķina pusi no loka (vai otrādi).
Vispirms skatieties uz virsotni. Virsotne centrā \(O\) — centrālais leņķis, tas ir vienāds ar visu loku. Virsotne uz riņķa līnijas — ievilkts leņķis, tas ir vienāds ar pusi no loka.
-
Izmanto nepareizo loku: ievilktam leņķim aprēķina loku, uz kura atrodas tā virsotne.
Ievilkts leņķis balstās uz loku, kas atrodas leņķa "iekšpusē" — virsotne vienmēr ir uz otra loka. Apzīmējumā \(\angle ABC\) leņķis balstās uz loku \(AC\), kas nesatur punktu \(B\).
-
Reizina un dala ar 2 "nepareizā virzienā": pārejot no ievilkta leņķa uz centrālo, dala, nevis reizina.
Atcerieties: ievilktais ir "mazais" (puse no loka), centrālais ir "lielais" (viss loks). No ievilktā uz centrālo — reizināt ar 2, no centrālā uz ievilkto — dalīt.
-
Par ievilktu uzskata jebkuru leņķi, kura malas krusto riņķa līniju, — piemēram, leņķi starp hordām, kas krustojas riņķa iekšpusē.
Ievilktam leņķim virsotnei obligāti jāatrodas uz pašas riņķa līnijas. Leņķis ar virsotni riņķa iekšpusē ir vienāds ar atšķelto loku pussummu, ar virsotni ārpus riņķa — ar pusstarpību: tās ir citas formulas.
-
Ievilktā četrstūrī summē blakusleņķus, nevis pretējos leņķus, lai iegūtu $180°$.
Īpašība attiecas tikai uz pretējām virsotnēm: \(\angle A + \angle C = 180°\) un \(\angle B + \angle D = 180°\). Ievilkta četrstūra blakusleņķi var būt jebkādi.
Jautājumi un atbildes
Cik liels ir ievilkts leņķis?
Ievilkts leņķis ir vienāds ar pusi no loka, uz kura tas balstās. Piemēram, ja loks ir 120°, ievilktais leņķis ir 60°. Tā ir teorēma par ievilkto leņķi — galvenā šīs tēmas formula.
Kā ir saistīti ievilktais un centrālais leņķis, kas balstās uz vienu loku?
Centrālais leņķis ir divreiz lielāks par ievilkto: ∠AOC = 2·∠ABC. Centrālais leņķis ir vienāds ar pašu loku, bet ievilktais — ar tā pusi.
Kāpēc ievilkts leņķis, kas balstās uz diametru, ir 90°?
Diametrs savelk pusriņķa līniju — 180° lielu loku. Ievilkts leņķis ir vienāds ar pusi no loka: 180° : 2 = 90°. Tāpēc jebkurš trijstūris, kura viena mala ir apvilktās riņķa līnijas diametrs, ir taisnleņķa.
Vai ievilkts leņķis var būt plats?
Jā. Ja loks, uz kuru balstās leņķis, ir lielāks par 180°, leņķis ir plats: piemēram, 210° lokam atbilst 105° ievilkts leņķis. Tomēr ievilkts leņķis vienmēr ir mazāks par 180°.
Kas ir apvilkts leņķis un ar ko tas atšķiras no ievilkta leņķa?
Apvilktu leņķi veido divas pieskares, kas novilktas riņķa līnijai no viena ārēja punkta. Tā virsotne atrodas ārpus riņķa līnijas, un tas ir vienāds ar atšķelto loku pusstarpību. Ievilktam leņķim virsotne atrodas uz riņķa līnijas, un tas ir vienāds ar pusi no viena loka.
Kādi vēl leņķu veidi ir saistīti ar riņķa līniju?
Bez centrālā un ievilktā leņķa aplūko arī leņķi starp hordām (virsotne riņķa iekšpusē — loku pussumma), leņķi starp sekantēm no ārēja punkta (loku pusstarpība) un leņķi starp pieskari un hordu (puse no iekšpusē esošā loka). Visi šie leņķi tiek izteikti caur riņķa līnijas lokiem.
