Līdzīgi trijstūri ir vienādas formas, bet dažāda izmēra trijstūri: to leņķi ir attiecīgi vienādi, bet līdzīgās malas ir proporcionālas. Skaitli, kas parāda, cik reizes viens trijstūris ir lielāks par otru, sauc par līdzības koeficientu \(k\). Lai pierādītu līdzību, palīdz trīs pazīmes, bet perimetru un laukumu attiecības pakļaujas vienkāršam noteikumam: perimetri attiecas kā \(k\), bet laukumi — kā \(k^2\). Šajā lapā — definīcija un līdzības pieraksts ar pareizu virsotņu secību, visas trīs pazīmes, līdzība taisnleņķa trijstūriem un augstums no taisnā leņķa, uzdevumu analīze eksāmenam «atrodiet malu» un interaktīvais treniņš.
Kas ir līdzīgi trijstūri un līdzības koeficients
Divus trijstūrus sauc par līdzīgiem, ja izpildās divi nosacījumi:
- to leņķi attiecīgi ir vienādi — katram pirmā trijstūra leņķim atbilst vienāds otrā trijstūra leņķis;
- to līdzīgās malas ir proporcionālas — visi trīs attiecību rezultāti ir viens un tas pats skaitlis.
Līdzīgās (atbilstošās) malas ir malas, kas atrodas pretī vienādiem leņķiem. Tieši tās veido pārus, starp kuriem aprēķina attiecību.
Līdzību pieraksta ar zīmi \(\sim\):
Līdzības koeficients \(k\) — tas pats vienālais līdzīgo malu attiecības skaitlis:
Ja \(k > 1\), otrais trijstūris ir lielāks par pirmo; ja \(k < 1\) — mazāks; ja \(k = 1\), trijstūri ir vienkārši vienādi, jo vienādība ir līdzības speciāls gadījums.
Virsotņu secība pierakstā — nav formalitāte
Pieraksts \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) tiek lasīts stingri pa pozīcijām: \(A\) atbilst \(A_1\), \(B\) — \(B_1\), \(C\) — \(C_1\). No tā uzreiz izriet, kuri leņķi ir vienādi (\(\angle A = \angle A_1\)) un kuras malas ir līdzīgās (\(AB\) un \(A_1B_1\), \(BC\) un \(B_1C_1\), \(AC\) un \(A_1C_1\)).
Ja burtus samainītu un uzrakstītu \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), tiktu iegūts cits apgalvojums: tagad \(\angle A = \angle B_1\), un līdzīgā malai \(AB\) būtu mala \(B_1A_1\). Nedrīkst veidot proporciju pēc „līdzīgi izvietotām” malām — tikai pēc pieraksta pozīcijām. Tāpēc vispirms izraksta vienādo leņķu pārus un tikai tad pielāgo burtu secību.
Trīs trijstūru līdzības pazīmes
Nav nepieciešams pārbaudīt visus sešus definīcijas nosacījumus: līdzību pierāda pēc vienas no trim pazīmēm. Katra ir minimālais datu kopums, no kura automātiski izriet gan visu leņķu vienādība, gan visu malu proporcionalitāte.
Kā izvēlēties pazīmi. Skaties, kas dots uzdevumā: ja par leņķiem — pirmā, ja par divām malām un leņķi — otrā, ja par visām trim malām — trešā.
- Pirmā pazīme (pēc diviem leņķiem) — pamata darba zirgs skolas kursā: gandrīz visi eksāmena uzdevumi tiek risināti tieši ar to. Trešais leņķis nav jāpārbauda, tas ir automātiski vienāds: trijstūra leņķu summa vienmēr ir \(180°\). Meklē gatavus vienādu leņķu pārus — kopīgs leņķis diviem trijstūriem, krustiskie leņķi, iekšējie šķērsleņķi pie paralēlām taisnēm, divi taisni leņķi.
- Otrā pazīme (pēc divām malām un leņķa starp tām) prasa, lai leņķis būtu tieši starp šīm divām malām. Ja vienālais leņķis atrodas pretī vienai no tām, pazīme nedarbojas un līdzība nav pierādīta.
- Trešā pazīme (pēc trim malām) — kad nosacījumos vispār nav leņķu, bet ir tikai garumi. Izraksti katra trijstūra malas augošā secībā un dali mazāko ar mazāko, vidējo ar vidējo, lielāko ar lielāko: tā pāri noteikti netiks sajaukti. Līdzība ir tikai tad, ja visas trīs attiecības sakrīt.
Lai nejauktu līdzības pazīmes ar vienādības pazīmēm, paturi prātā atšķirību: vienādībā malas sakrīt, līdzībā — ir proporcionālas.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Līdzīgu trijstūru perimetru un laukumu attiecība
Līdzībai ir divas sekas, ko jautā visbiežāk, un viena no tām ir galvenā tēmas ķezis.
Perimetri attiecas kā \(k\). Katra otrā trijstūra mala ir \(k\) reizes lielāka par pirmā trijstūra līdzīgo malu, tāpēc arī malu summa pieaug tieši \(k\) reizes:
Līdzīgi — „\(k\) reizes” — uzvedas visas lineārās lielumi: augstumi, mediānas, bisektrises, ievilktās un apvilktās riņķa līnijas rādiusi, viduslīnijas.
Laukumi attiecas kā \(k^2\). Laukums ir atkarīgs no diviem mērījumiem uzreiz: gan pamats, gan augstums palielinās \(k\) reizes, bet to reizinājums — \(k \cdot k\) reizes:
Pieņemsim, ka \(k = 5\). Tad perimetrs ir lielāks 5 reizes (piemēram, bija 14 cm — kļuva 70 cm), bet laukums — jau 25 reizes (bija 6 cm² — kļuva 150 cm²). Atšķirība ir milzīga, un šeit \(k\) vietā ielikt \(k^2\) ir visbiežākā kļūda eksāmenā.
Apgrieztā darbība. Ja uzdevumā dota laukumu attiecība, līdzības koeficients tiek izvilkts ar kvadrātsakni: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Piemēram, laukumi attiecas kā \(16 : 1\), tātad malas — kā \(4 : 1\).
| k | Perimetri P₂ : P₁ | Laukumi S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| jebkurš | k : 1 | k² : 1 |
Līdzība taisnleņķa trijstūriem un augstums no taisnā leņķa
Taisnleņķa trijstūriem pirmā pazīme vienkāršojas: taisnie leņķi pie tiem ir vienādi jau iepriekš, tāpēc pietiek ar viena smailā leņķa vienādību, lai trijstūri būtu līdzīgi. No tā izriet arī pazīme pēc diviem katetiem: ja viena trijstūra kateti ir proporcionālas otra trijstūra katetiem, trijstūri ir līdzīgi (tā ir otrā pazīme, jo leņķis starp katetiem ir taisns).
Visnoderīgākā visa tēmas konfigurācija — augstums, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes. Tas sadala trijstūri divos, un visi trīs iegūtie trijstūri ir līdzīgi savā starpā.
Kāpēc tā: trijstūrim \(AHC\) ir taisns leņķis pie \(H\) un kopīgs ar lielo trijstūri leņķis \(A\), tātad \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Trijstūrim \(CHB\) ir taisns leņķis pie \(H\) un kopīgs leņķis \(B\), tātad \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). No tā izriet, ka arī abi mazie trijstūri ir līdzīgi savā starpā.
No šīm līdzībām izriet vidējā ģeometriskā formulas (tās sauc par proporcionāliem nogriežņiem taisnleņķa trijstūrī):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — augstums ir vidējā ģeometriskā nogriežņiem, kuros tas sadala hipotenūzu;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) un \(BC^2 = HB \cdot AB\) — katete ir vidējā ģeometriskā visai hipotenūzai un tās projekcijai uz to.
Galvenais — nesajaukt, kurš nogrieznis ir „savējais”: pie katetes \(AC\) projekcija ir \(AH\), pie katetes \(BC\) projekcija ir \(HB\). Projekcija vienmēr pievienojas tam pašam hipotenūzas galam, kuram pievienojas katete.
Eksāmena uzdevumi par līdzību: kā atrast malu
Gandrīz visi uzdevumi par līdzību tiek risināti pēc viena algoritma:
- Atrod vienādu leņķu pāri — kopīgo leņķi, krustiskos, iekšējos šķērsleņķus pie paralēlām taisnēm vai divus taisnus leņķus.
- Pieraksta līdzību pareizā virsotņu secībā — tā, lai vienādie leņķi atrastos vienādās pozīcijās.
- Sastāda proporciju no līdzīgajām malām (ņem malas, kas atrodas vienādās vietās pierakstā).
- Izsaka nezināmo un aprēķina; beigās pārbauda atbildi pēc jēgas — mazākā trijstūra mala obligāti jāiegūst mazāka.
Tipisku konfigurāciju eksāmenā ir maz, un tās ir vērts atpazīt no pirmā acu uzmetiena:
- Taisne, kas paralēla malai. Taisne no trijstūra atšķeļ mazu trijstūri, kas ir līdzīgs sākotnējam. Galvenā smalkums: proporcijā tiek ņemta veselo malu attiecība no kopīgās virsotnes (\(BM : BA\)), nevis nogriežņu (\(BM : MA\)).
- „Tauriņš”. Divi nogriežņi krustojas, un to gali savienoti ar paralēlām taisnēm — veidojas divi līdzīgi trijstūri, kas ir viens pret otru pagriezti.
- Augstums no taisnā leņķa — konfigurācija no iepriekšējās nodaļas; eksāmenā pēc tās meklē augstumu, kateti vai hipotenūzas nogriezni.
- Priekšmeta ēna un augstums. Saules stari ir paralēli, tāpēc priekšmets ar savu ēnu un koks ar savu ēnu veido līdzīgus taisnleņķa trijstūrus.
- Viduslīnija — speciāls gadījums ar \(k = 2\): tā ir paralēla malai un divreiz īsāka par to.
leņķis B kopīgs, leņķi pie M un A atbilstoši
leņķi pie O krustiskie, leņķi A un C iekšējie šķērsleņķi
Piemēri līdzīgu trijstūru uzdevumu risināšanai
1. piemērs. Atrod malas pēc līdzības koeficienta
Uzdevums. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Zināms, ka \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) un \(PQ = 21\). Atrodiet \(QR\) un \(PR\).
1. solis. Analizējam pierakstu pa pozīcijām: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Tātad līdzīgās pāri ir šādi: \(MN\) un \(PQ\), \(NK\) un \(QR\), \(MK\) un \(PR\).
2. solis. Aprēķinām koeficientu pēc vienīgā pāra, kur zināmas abas malas:
3. solis. Pārējās otrā trijstūra malas ir 3 reizes lielākas par līdzīgajām:
Atbilde: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Pārbaude: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — visas attiecības sakrita.
2. piemērs. Pierāda līdzību pēc otrās pazīmes
Uzdevums. Trijstūros \(ABC\) un \(DEF\) zināms: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), un leņķi \(A\) un \(D\) ir vienādi. Pierādiet, ka trijstūri ir līdzīgi.
1. solis. Pārbaudām otrās pazīmes galveno nosacījumu: leņķis \(A\) atrodas starp malām \(AB\) un \(AC\), leņķis \(D\) — starp \(DE\) un \(DF\). Leņķi starp dotajām malām — pazīme ir piemērojama.
2. solis. Aprēķinām līdzīgo malu attiecības:
3. solis. Divi malu pāri ir proporcionāli ar vienu koeficientu \(k = 3\), leņķi starp tiem ir vienādi — pēc otrās pazīmes \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Atbilde: trijstūri ir līdzīgi, \(k = 3\). Ievērojiet: ja vienādi būtu leņķi \(B\) un \(D\), pazīme nedarbotos — leņķis \(B\) neatrodas starp \(AB\) un \(AC\).
3. piemērs. Taisne, kas paralēla malai (eksāmena uzdevums)
Uzdevums. Trijstūrī \(ABC\) punkts \(M\) atrodas uz malas \(AB\), punkts \(N\) — uz malas \(BC\), turklāt \(MN \parallel AC\). Zināms, ka \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Atrodiet \(AC\).
1. solis. Tā kā \(MN \parallel AC\), leņķi \(BMN\) un \(BAC\) ir vienādi kā atbilstošie, bet leņķis \(B\) ir kopīgs. Pēc pirmās pazīmes \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (virsotņu secība: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
2. solis. Atrod pilnu malu no kopīgās virsotnes: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Tas ir galvenais smalkums — proporcijā tiek ņemta \(BA\), nevis \(MA\).
3. solis. Sastāda proporciju pēc līdzīgajām malām:
4. solis. No tā \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Atbilde: \(AC = 20\). Līdzības koeficients šeit ir 4: lielākais trijstūris ir četras reizes lielāks par atšķelto.
4. piemērs. Perimetri un laukumi
Uzdevums. Līdzīgu trijstūru perimetri ir 18 cm un 45 cm. Mazākā trijstūra laukums ir 16 cm². Atrodiet lielākā laukumu.
1. solis. Perimetri attiecas kā līdzības koeficients:
2. solis. Laukumi attiecas kā līdzības koeficienta kvadrāts: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
3. solis. Mazākā trijstūra laukumu reizina ar \(k^2\):
Atbilde: 100 cm². Ja mēs reizinātu ar \(k = 2{,}5\), iegūtu 40 cm² — tipiska kļūda, kuras dēļ zaudē visus punktus.
5. piemērs. Augstums no taisnā leņķa virsotnes
Uzdevums. Taisnleņķa trijstūrī \(ABC\) ar taisnu leņķi pie virsotnes \(C\) novilkts augstums \(CH\) pret hipotenūzu. Zināms, ka \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Atrodiet augstumu \(CH\) un trijstūra laukumu.
1. solis. Augstums no taisnā leņķa ir vidējā ģeometriskā hipotenūzas nogriežņiem, jo \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
2. solis. Izvelkam kvadrātsakni: \(CH = 6\) cm.
3. solis. Hipotenūza \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. Laukumu aprēķina, izmantojot hipotenūzu un tai novilkto augstumu:
Atbilde: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
6. piemērs. Koka augstums pēc ēnas
Uzdevums. Vertikāls stabs augstumā 2 m met ēnu 1,5 m garumā. Tajā pašā brīdī koka ēna ir 9 m gara. Cik augsts ir koks?
1. solis. Saules stari ir paralēli, tāpēc kritiena leņķis stabam un kokam ir vienāds. Stabs ar ēnu un koks ar ēnu veido taisnleņķa trijstūrus ar vienādu smailo leņķi — tātad tie ir līdzīgi.
2. solis. Sastāda proporciju «augstums pret savu ēnu»:
3. solis. Izsaka nezināmo augstumu:
Atbilde: 12 m. Pārbaude pēc jēgas: koka ēna ir 6 reizes garāka nekā staba ēna, tāpēc arī koks ir 6 reizes augstāks: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Biežākās kļūdas līdzīgu trijstūru uzdevumos
-
Aprēķina, ka līdzīgu trijstūru laukumi attiecas kā $k$: ja $k = 3$, palielina laukumu trīs reizes.
Laukumi attiecas kā līdzības koeficienta kvadrāts: ja \(k = 3\), laukums ir lielāks \(3^2 = 9\) reizes. Kā \(k\) attiecas tikai lineārie lielumi — malas, perimetrs, augstumi, mediānas. Palīgteikums: laukums tiek mērīts kvadrātiskās vienībās, tāpēc arī koeficients tajā ienāk kvadrātā.
-
Ignorē virsotņu secību: no pieraksta $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ sastāda proporciju $AB : LM$.
Virsotņu atbilstību nosaka pozīcijas pierakstā: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Līdzīgā malai \(AB\) būs \(KL\), bet malai \(BC\) — \(LM\). Pirms proporcijas rakstīšanas izraksti virsotņu pārus vienu zem otra — tas aizņem piecas sekundes un novērš lielāko daļu kļūdu.
-
Pierāda līdzību pēc viena vienāda leņķa vai pēc divām proporcionālām malām bez leņķa.
Viena vienāda leņķa ir par maz: diviem trijstūriem var sakrist leņķis pie pilnīgi atšķirīgas formas. Vajadzīga pilna pazīme — divi leņķi, vai divas malas un leņķis starp tām, vai visas trīs malas.
-
Otrajā pazīmē ņem leņķi, kas neatrodas starp dotajām malām.
Otrā pazīme darbojas tikai ar leņķi starp divām dotajām malām. Ja zināmas \(AB\), \(AC\) un ir vienāds leņķis \(B\), pazīme nav piemērojama — meklē citu ceļu: vienādu leņķu pāri vai trešo malu.
-
Apgriež koeficientu: atrod $k$ kā «mazākā mala pret lielāko», un pēc tam ar to reizina, lai iegūtu lielākā trijstūra malu.
Vienojies pats ar sevi par virzienu: ja \(k\) ir otrā trijstūra malu attiecība pret pirmo, tad pirmā trijstūra malas reizina ar \(k\), bet otrā trijstūra malas ar \(k\) dela. Fināla pārbaude pēc jēgas: mazākā trijstūra mala obligāti jāiegūst mazāka.
-
Uzdevumā ar taisni, kas paralēla malai, sastāda proporciju no nogriežņiem: $BM : MA = MN : AC$.
Līdzīgi ir trijstūri \(BMN\) un \(BAC\), bet to līdzīgās malas ir \(BM\) un \(BA\) (visa mala no kopīgās virsotnes), nevis nogrieznis \(MA\). Vispirms atrod \(BA = BM + MA\), un tikai tad sastāda proporciju.
-
Jauc līdzību ar vienādību un atbildē raksta, ka malas vienkārši ir vienādas.
Vienādība ir līdzības speciāls gadījums pie \(k = 1\). Ja \(k \ne 1\), trijstūriem sakrīt tikai leņķi, bet malas atšķiras \(k\) reizes. Pazīmes arī ir dažādas: vienādībai tās ir SVS, VSV, SSS ar sakrītošām malām, līdzībai — proporcionālas malas.
Jautājumi un atbildes
Kādus trijstūrus sauc par līdzīgiem?
Par līdzīgiem sauc trijstūrus, kuriem leņķi ir attiecīgi vienādi, bet līdzīgās malas ir proporcionālas. Vienkāršāk sakot, tie ir vienādas formas, bet dažāda izmēra trijstūri. Līdzību pieraksta ar zīmi ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Kas ir līdzīgu trijstūru līdzības koeficients?
Līdzības koeficients k ir skaitlis, kas vienāds ar līdzīgu trijstūru līdzīgo malu attiecību: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Tas parāda, cik reizes viens trijstūris ir lielāks par otru. Pie k = 1 trijstūri ir vienādi.
Cik ir trijstūru līdzības pazīmju un kādas tās ir?
Pazīmes ir trīs. Pirmā — pēc diviem leņķiem: divi viena trijstūra leņķi ir vienādi ar diviem otra trijstūra leņķiem. Otrā — pēc divām malām un leņķa starp tām: divas malas ir proporcionālas un leņķi starp tām ir vienādi. Trešā — pēc trim malām: visas trīs līdzīgo malu pāri ir proporcionāli.
Kā attiecas līdzīgu trijstūru laukumi?
Līdzīgu trijstūru laukumi attiecas kā līdzības koeficienta kvadrāts: S₂ : S₁ = k². Piemēram, pie k = 4 laukums ir lielāks 16 reizes. Apgriezti: ja laukumi attiecas kā 25 : 1, tad malas attiecas kā 5 : 1.
Kā attiecas līdzīgu trijstūru perimetri?
Perimetri attiecas kā līdzības koeficients: P₂ : P₁ = k. Tāpat uzvedas visi lineārie elementi — augstumi, mediānas, bisektrises, viduslīnijas, ievilktās un apvilktās riņķa līnijas rādiusi.
Ar ko līdzība trijstūriem atšķiras no vienādības?
Vienādiem trijstūriem sakrīt gan leņķi, gan malas, tāpēc figūras var uzlikt vienu uz otras. Līdzīgiem sakrīt tikai leņķi, bet malas ir proporcionālas ar koeficientu k. Vienādība ir līdzības speciāls gadījums pie k = 1.
Kā pierādīt taisnleņķa trijstūru līdzību?
Pietiek ar viena smailā leņķa vienādību: taisnie leņķi tiem jau ir vienādi, tātad darbojas pirmā pazīme. Otrais veids — katetu proporcionalitāte: leņķis starp katetiem ir taisns, tāpēc ir piemērojama otrā līdzības pazīme.
Kāpēc augstums no taisnā leņķa dod trīs līdzīgus trijstūrus?
Augstums CH no taisnā leņķa C sadala trijstūri ABC trijstūros AHC un CHB. AHC ir taisns leņķis pie H un kopīgs ar ABC leņķis A, CHB — taisns leņķis pie H un kopīgs leņķis B, tāpēc abi ir līdzīgi sākotnējam, un tātad arī savā starpā. No tā izriet formulas CH² = AH · HB, AC² = AH · AB un BC² = HB · AB.
Kurā klasē māca trijstūru līdzību?
- klasē ģeometrijas stundās — uzreiz pēc tēmas par proporcionāliem nogriežņiem. Turpat apgūst trīs līdzības pazīmes, laukumu attiecību un līdzības pielietojumu taisnleņķa trijstūrī. Tālāk tēma tiek izmantota 9. klasē un eksāmena uzdevumos.
