Pitagora teorēma — 8. klases ģeometrijas galvenā formula: taisnleņķa trīsstūrī katešu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu, tas ir \(a^2 + b^2 = c^2\). No tās izriet formulas, pēc kurām atrod hipotenūzu un jebkuru kateti, taisnstūra diagonāli un attālumu starp punktiem. Šajā lapā — definīcija un formula, uzskatāms pierādījums ar laukumiem, apgrieztā teorēma, ēģiptiešu trīsstūris 3-4-5, uzdevumu risinājumi pa soļiem un interaktīvs trenažieris sevis pārbaudei.
Kas ir Pitagora teorēma un kā skan formula
Pitagora teorēma darbojas tikai taisnleņķa trīsstūrī — tādā, kurā viens no leņķiem ir \(90°\). Šāda trīsstūra malas sauc dažādi:
- katetes — divas malas, kas veido taisno leņķi;
- hipotenūza — mala pretī taisnajam leņķim, trīsstūra garākā mala.
Teorēmas formulējums: taisnleņķa trīsstūrī hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar katešu kvadrātu summu.
Šeit \(a\) un \(b\) — katetes, \(c\) — hipotenūza. Dažreiz teorēmu formulē «ģeometriski»: uz hipotenūzas uzbūvētā kvadrāta laukums ir vienāds ar uz katetēm uzbūvēto kvadrātu laukumu summu. Tā ir viena un tā pati teorēma, tikai izteikta par laukumiem, nevis par skaitļiem.
Atcerēties burtu kārtību palīdz vienkāršs likums: zem lielā burta \(c\) vienmēr slēpjas garākā mala. Ja uzdevumā sajauc hipotenūzu ar kateti, atbilde būs nepareiza.
Pitagora teorēmas pierādījums
Pitagora teorēmai ir zināmi vairāk nekā simts pierādījumu. Skolā apskata visuzskatāmāko — pierādījumu ar laukumiem. Ņemam divus vienādus kvadrātus ar malu \(a + b\) un katrā ievietojam pa četriem vienādiem taisnleņķa trīsstūriem ar katetēm \(a\) un \(b\) — bet dažādos veidos.
- Pirmajā kvadrātā bīdām trīsstūrus uz stūriem tā, lai brīvi paliktu divi kvadrāti: ar malu \(a\) un ar malu \(b\). To laukumi — \(a^2\) un \(b^2\).
- Otrajā kvadrātā izvietojam tos pašus četrus trīsstūrus «dzirnaviņās». Brīvs paliek viens slīps kvadrāts ar malu \(c\), tā laukums — \(c^2\).
- Lielo kvadrātu laukumi ir vienādi: katrs ir vienāds ar \((a+b)^2\). Vienāda ir arī trīsstūru kopējā platība: katrs aizņem \(\frac{ab}{2}\), četri kopā — \(2ab\).
Ja gan veselais, gan atņemamā daļa sakrīt, tad vienādi ir arī atlikumi: \(a^2 + b^2 = c^2\). Teorēma ir pierādīta — laukumu bilances abiem kvadrātiem ir izrakstītas zem zīmējuma.
Kā atrast hipotenūzu un kateti pēc Pitagora teorēmas
No vienas formulas \(a^2 + b^2 = c^2\) iegūst visas tēmas darba formulas: nezināmo malu izsaka no vienādības un izvelk kvadrātsakni. Atšķirība starp abiem gadījumiem ir tikai viena — un tieši tajā visbiežāk kļūdās:
- hipotenūzu meklē caur katešu kvadrātu summu — tai jāsanāk garākai par jebkuru no tām;
- kateti — caur starpību: no hipotenūzas kvadrāta atņem zināmās katetes kvadrātu, un rezultātam jābūt mazākam par hipotenūzu.
Ja zem saknes iznācis negatīvs skaitlis, tas nozīmē, ka hipotenūza sajaukta ar kateti — atgriezies pie zīmējuma un meklē taisno leņķi. Un vēl viena detaļa: sakne beigās ir obligāta, šajā solī punktus zaudē visbiežāk.
Gatava atgādne ar visām formulām — zemāk.
| Ko meklējam | Formula un skaidrojums |
|---|---|
| Hipotenūza | c = √a2 + b2sakne no katešu kvadrātu summas |
| Katete a | a = √c2 − b2sakne no hipotenūzas un otras katetes kvadrātu starpības |
| Katete b | b = √c2 − a2simetriski: atņemam citas katetes kvadrātu |
| Pārbaude | a2 + b2 = c2 ?vienādība pareiza → trīsstūris ir taisnleņķa (apgrieztā teorēma) |
Apgrieztā Pitagora teorēma un ēģiptiešu trīsstūris
Apgrieztā Pitagora teorēma: ja trīsstūra vienas malas kvadrāts ir vienāds ar divu citu malu kvadrātu summu, tad šis trīsstūris ir taisnleņķa, un taisnais leņķis atrodas pretī garākajai malai.
Tas ir darba rīks: pēc trim skaitļiem var uzzināt trīsstūra veidu, neko nemērot ar transportieri. Darbību kārtība ir šāda:
- atrast garāko malu — tā ir kandidāte uz hipotenūzu;
- kāpināt kvadrātā divas citas malas un saskaitīt;
- salīdzināt ar garās malas kvadrātu.
Ja sanāca vienādība — trīsstūris ir taisnleņķa. Piemēram, malas 6, 8 un 10: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\), tātad trīsstūris ir taisnleņķa.
Veselu skaitļu kopas, kurām vienādība izpildās, sauc par Pitagora trijniekiem. Viszināmākais — 3, 4, 5: šādu trīsstūri sauc par ēģiptiešu, jo celtnieki Senajā Ēģiptē atmērīja uz virves 12 vienādas daļas un salocīja to trīsstūrī ar malām 3, 4 un 5, lai iegūtu precīzu taisno leņķi būvniecībā. Šo paņēmienu izmanto joprojām.
Kur izmanto Pitagora teorēmu: uzdevumi no dzīves un ģeometrijas
Pitagora teorēma ir vajadzīga katru reizi, kad figūrā var saskatīt taisnleņķa trīsstūri:
- Taisnstūra diagonāle. Diagonāle sadala taisnstūri divos taisnleņķa trīsstūros, tāpēc \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\). Tā rēķina televizora ekrāna diagonāli vai istabas izmēru.
- Vienādsānu trīsstūra augstums. Augstums, kas novilkts pret pamatu, sadala to uz pusēm un dod taisnleņķa trīsstūri — tālāk darbojas tā pati formula.
- Kvadrāta diagonāle. Ja mala ir \(a\), tad \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\).
- Attālums starp punktiem koordinātu plaknē. Formula \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) — tā ir Pitagora teorēma trīsstūrim, kas uzbūvēts uz koordinātu starpībām.
- Praktiski uzdevumi. Kāpnes, kas atstutētas pret sienu; koka augstums pēc ēnas; troses, atgāžņa, kabeļa garums — visos šajos uzdevumos piebūvē taisnleņķa trīsstūri un izmanto formulu.
Svarīgi atcerēties galveno ierobežojumu: Pitagora teorēma ir pareiza tikai taisnleņķa trīsstūrim. Ja taisnā leņķa nav, malas saista jau kosinusu teorēma, kuru mācās 9. klasē.
Pitagora teorēmas uzdevumu risināšanas piemēri
1. piemērs. Atrast hipotenūzu
Uzdevums. Taisnleņķa trīsstūra katetes ir \(9\) cm un \(12\) cm. Atrodiet hipotenūzu.
1. solis. Pierakstām teorēmu mūsu trīsstūrim: \(c^2 = a^2 + b^2\).
2. solis. Kāpinām katetes kvadrātā un saskaitām:
3. solis. Izvelkam sakni: \(c = \sqrt{225} = 15\) cm.
Atbilde: \(15\) cm. Pārbaude pēc jēgas: hipotenūza sanāca garāka par katru kateti — tā tam arī jābūt.
2. piemērs. Atrast kateti
Uzdevums. Taisnleņķa trīsstūra hipotenūza ir \(25\) cm, viena katete — \(7\) cm. Atrodiet otru kateti.
1. solis. Izsakām nezināmo kateti no formulas \(a^2 + b^2 = c^2\): \(b^2 = c^2 - a^2\). Šeit ir starpība, nevis summa — meklējam kateti, nevis hipotenūzu.
2. solis. Ievietojam skaitļus:
3. solis. Izvelkam sakni: \(b = \sqrt{576} = 24\) cm.
Atbilde: \(24\) cm. Reizē uzzinājām Pitagora trijnieku \(7 - 24 - 25\).
3. piemērs. Uzdevums par kāpnēm
Uzdevums. Kāpnes \(5\) m garumā atstutētas pret sienu. To apakšējais gals atrodas \(3\) m attālumā no sienas. Kādā augstumā kāpnes skar sienu?
1. solis. Veidojam zīmējumu: siena un zeme veido taisnu leņķi, kāpnes — hipotenūza. Tātad, \(c = 5\) m, viena katete \(a = 3\) m, augstums \(h\) — otra katete.
2. solis. Meklējam kateti caur starpību:
3. solis. \(h = \sqrt{16} = 4\) m.
Atbilde: \(4\) m. Mūsu priekšā ir tas pats ēģiptiešu trīsstūris \(3 - 4 - 5\).
4. piemērs. Pārbaudīt trīsstūri pēc apgrieztās teorēmas
Uzdevums. Trīsstūra malas ir \(10\), \(24\) un \(26\). Vai tas ir taisnleņķa?
1. solis. Atrodam garāko malu — tā ir \(26\). Ja trīsstūris ir taisnleņķa, hipotenūza būs tieši tā.
2. solis. Rēķinām divu mazāko malu kvadrātu summu: \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\).
3. solis. Salīdzinām ar garākās malas kvadrātu: \(26^2 = 676\). Skaitļi sakrita.
Atbilde: jā, trīsstūris ir taisnleņķa, taisnais leņķis atrodas pretī malai \(26\). Tas ir trijnieks \(5 - 12 - 13\), reizināts ar \(2\).
5. piemērs. Taisnstūra diagonāle
Uzdevums. Taisnstūra malas ir \(8\) cm un \(15\) cm. Atrodiet tā diagonāli.
1. solis. Diagonāle sadala taisnstūri divos vienādos taisnleņķa trīsstūros: taisnstūra malas kļūst par katetēm, diagonāle — par hipotenūzu.
2. solis. Izmantojam formulu: \(d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}\).
3. solis. \(d = 17\) cm.
Atbilde: \(17\) cm. Šeit darbojas Pitagora trijnieks \(8 - 15 - 17\).
Biežas kļūdas uzdevumos par Pitagora teorēmu
-
Sajauc kateti ar hipotenūzu: ievieto garāko malu kā kateti un iegūst negatīvu skaitli zem saknes.
Hipotenūza — vienmēr ir mala pretī taisnajam leņķim un vienmēr ir garākā. Sāc risinājumu ar zīmējumu: atzīmē taisno leņķi, un kļūs redzams, kura mala atrodas pretī tam.
-
Saskaita pašas malas, nevis to kvadrātus: raksta $a + b = c$ un katetēm 6 un 8 iegūst 14.
Teorēma saista tieši kvadrātus: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), tāpēc \(c = 10\). Pašu katešu summa vienmēr ir lielāka par hipotenūzu — tā nav atbilde, bet kļūdas pazīme.
-
Aizmirst izvilkt sakni un ieraksta atbildē $c^2$ nevis $c$: «hipotenūza ir 225».
Pēc aprēķiniem vienmēr paliek malas kvadrāts. Pēdējais solis — sakne: \(c = \sqrt{225} = 15\). Ievies kā likumu pārlasīt uzdevuma jautājumu pirms atbildes ierakstīšanas.
-
Meklē kateti caur summu: $b = \sqrt{c^2 + a^2}$.
Caur summu atrod tikai hipotenūzu. Kateti — caur starpību: \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\). Pārbaude ir vienkārša: katetei jāsanāk mazākai par hipotenūzu.
-
Izmanto teorēmu trīsstūrim bez taisnā leņķa — piemēram, vienādsānu vai patvaļīgam ar malām 5, 6, 7.
Pitagora teorēma darbojas tikai taisnleņķa trīsstūrī. Ja taisnā leņķa nav, to vispirms «izveido» — novelk augstumu — vai izmanto kosinusu teorēmu no 9. klases kursa.
-
Apgrieztajā teorēmā salīdzina nevis ar to malu: kāpina kvadrātā divas patvaļīgas malas un saskaita.
Kvadrātam no garākās malas jābūt vienādam ar divu citu malu kvadrātu summu. Malām 6, 8, 11 salīdzinām \(6^2 + 8^2 = 100\) un \(11^2 = 121\): vienādības nav, trīsstūris nav taisnleņķa.
Jautājumi un atbildes
Kā skan Pitagora teorēmas formula?
a² + b² = c², kur a un b — taisnleņķa trīsstūra katetes, bet c — hipotenūza. Vārdiem: hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar katešu kvadrātu summu.
Kā atrast hipotenūzu, ja zināmas katetes?
Kāpināt katetes kvadrātā, saskaitīt un izvilkt sakni: c = √(a² + b²). Piemēram, pie katetēm 6 un 8 iegūstam c = √(36 + 64) = √100 = 10.
Kā atrast kateti, ja zināma hipotenūza un otra katete?
Caur kvadrātu starpību: a = √(c² − b²). Piemēram, pie hipotenūzas 13 un katetes 5 otra katete ir √(169 − 25) = √144 = 12.
Kurā klasē mācās Pitagora teorēmu?
- klasē ģeometrijas stundās, tēmā «Taisnleņķa trīsstūris». Turpat mācās apgriezto Pitagora teorēmu un Pitagora trijniekus, bet tālāk teorēmu izmanto 9. klasē un eksāmenu uzdevumos.
Kas ir apgrieztā Pitagora teorēma?
Tas ir apgalvojums pretējā virzienā: ja trīsstūra vienas malas kvadrāts ir vienāds ar divu citu malu kvadrātu summu, tad trīsstūris ir taisnleņķa. Tā ļauj noteikt trīsstūra veidu pēc trim skaitļiem, bez leņķu mērīšanas.
Kādu trīsstūri sauc par ēģiptiešu?
Trīsstūri ar malām 3, 4 un 5: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Senajā Ēģiptē ar virves palīdzību, kas sadalīta 12 vienādās daļās, no tā ieguva precīzu taisno leņķi ēku iezīmēšanā.
Vai Pitagora teorēma darbojas netaisnleņķa trīsstūrī?
Nē. Vienādība a² + b² = c² izpildās tikai pie taisna leņķa. Patvaļīgam trīsstūrim izmanto kosinusu teorēmu c² = a² + b² − 2ab·cos C, kas pie 90° leņķa pārvēršas tieši Pitagora teorēmā.
Kā pierādīt Pitagora teorēmu vienkāršā veidā?
Visuzskatāmākais skolas pierādījums — ar laukumiem. Ņem divus vienādus kvadrātus ar malu a + b un katrā ievieto pa četriem vienādiem taisnleņķa trīsstūriem ar katetēm a un b. Pirmajā brīvi paliek kvadrāti a² un b², otrajā — kvadrāts c². Tā kā lielie kvadrāti un trīsstūri ir vienādi, tad a² + b² = c².
