Kosinusu teorēma saista trijstūra trīs malas un vienu tā leņķi: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Tā darbojas jebkurā trijstūrī, tāpēc 9. klasē tieši tā aizstāj Pitagora teorēmu, kur nav taisna leņķa. Pēc tās atrod trešo malu, ja zināmas divas citas un leņķis starp tām, bet pēc secinājuma \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) — jebkuru leņķi pēc trim malām un trijstūra veidu. Lapā — formulējums un visi trīs formulas pieraksti, pierādījums, kosinusu tabula, atgādinājums "sinusu vai kosinusu", OGE uzdevumu analīze un treniņš pašpārbaudei.
Kosinusu teorēma: formulējums un formula
Kosinusu teorēma darbojas jebkurā trijstūrī — tai nav nepieciešams taisns leņķis. Tā saista trīs malas un vienu leņķi, tāpēc pēc tās atrod malu, ja zināmas divas citas malas un leņķis starp tām.
Formulējums. Trijstūra malas kvadrāts ir vienāds ar divu pārējo malu kvadrātu summu, atskaitot šo malu dubulto reizinājumu ar kosinusu starp tām.
Šeit \(a\), \(b\), \(c\) — trijstūra malas, bet \(C\) — leņķis starp malām \(a\) un \(b\); mala \(c\) atrodas pretī šim leņķim. Burtus var izmantot jebkādus — formula ir simetriska, tāpēc tai ir trīs līdzvērtīgi pieraksti:
Galvenais likums pielikšanai: leņķi izmantojam to, kas ir starp divām malām no reizinājuma, un atrodam pret to esošo malu. Ja izmantosiet "blakus" leņķi, visi skaitļi būs no nosacījuma, bet atbilde — nepareiza.
Kāpēc Pitagora teorēma ir kosinusu teorēmas speciāls gadījums
Ievietojot formulu taisnu leņķi, proti, \(C = 90°\). Taisna leņķa kosinuss ir nulle, tāpēc trešais loceklis pilnībā izzūd:
Iznāca tieši Pitagora teorēma, kas pazīstama no 8. klases. Tāpēc kosinusu teorēmu sauc par tās vispārinājumu: Pitagors ir "speciāls gadījums pie 90°", bet kosinusu teorēma darbojas visiem leņķiem vienlaicīgi.
Locekli \(-2ab\cos C\) ir ērti saprast kā labojumu par leņķa ne-taisnumu:
- leņķis ir smailais, \(\cos C > 0\) — labojums tiek izskaitīts, mala \(c\) izrādās īsāka, nekā dotu Pitagors;
- leņķis ir taisns, \(\cos C = 0\) — nav labojuma, paliek \(c^2 = a^2 + b^2\);
- leņķis ir plats, \(\cos C < 0\) — labojums tiek pievienots, mala \(c\) izrādās garāka.
Kosinusu teorēmas pierādījums
Īsākais skolas pierādījums ir koordinātu metode. Novietojam virsotni \(C\) koordinātu sākumpunktā, bet malu \(b = CA\) novirzām pa x asi. Tad virsotņu koordinātas ir šādas:
- \(C(0;\ 0)\) — koordinātu sākumpunkts;
- \(A(b;\ 0)\) — punkts uz x ass attālumā \(b\) no sākuma;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — virsotne attālumā \(a\) no sākuma leņķī \(C\) pret x asi.
Mala \(c\) ir nogriežņa \(AB\) garums. Aprēķinām to pēc attāluma formulas starp diviem punktiem:
Atveram iekavas:
Grupējam \(a^2\) locekļus un pielietojam pamatidentitāti \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Kas bija jāpierāda. Uzmanību: nekur nebija nepieciešams, lai leņķis \(C\) būtu smailais. Ja tas ir plats, kosinuss ir negatīvs, koordināte \(a\cos C\) novirzās pa kreisi no y ass, bet visi aprēķini paliek tie paši — tāpēc teorēma ir spēkā jebkuram trijstūrim.
Secinājums: kā atrast leņķi pēc trim malām
No kosinusu teorēmas izsaka pašu kosinusu — tas ir tās galvenais secinājums. Pēc tā atrod leņķi, kad zināmas visas trīs malas:
Skaitītājā — divu malu kvadrātu summa, kas pieguļ leņķim, mīnus pret to esošās malas kvadrāts. Saucējā — pieguļošo malu dubultais reizinājums. Citiem leņķiem formulas ir tādas pašas:
Risinājuma gaita:
- izvēlamies meklējamo leņķi un nosakām, kura mala atrodas pretī tam — tās kvadrāts nonāk skaitītājā ar mīnus zīmi;
- aprēķinām daļu (saucējs vienmēr ir pozitīvs, zīmi nosaka tikai skaitītājs);
- pēc vērtību tabulas vai ar arkus kosinusa palīdzību atrodam pašu leņķi.
Noderīgs paņēmiens: sākt ar garāko malu. Pretī tai atrodas lielākais leņķis, un tikai tas var izrādīties taisns vai plats — pārējie divi leņķi trijstūrī vienmēr ir smailie.
Platu leņķu kosinusiem: vērtību tabula
Skolas uzdevumos leņķi gandrīz vienmēr ir "tabulas": 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Smailajiem leņķiem kosinuss ir pozitīvs, taisnam ir nulle, bet platiem — negatīvs. Vērtības platiem leņķiem iegūst no smailajiem leņķiem pēc formulas \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): piemēram, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Ko tas nozīmē praksē: pie platiem leņķiem izteiksme \(-2ab\cos C\) pārvēršas par plusu — mīnus reiz mīnus. Leņķim \(120°\) formula izskatās šādi:
Tieši šeit visbiežāk zaudē punktus: pieliek \(0{,}5\) vietā \(-0{,}5\) un iegūst malu, kas ir īsāka par abām dotajām. Tas ir acīmredzami neiespējami — pret platu leņķi atrodas trijstūra garākā mala.
| Leņķis | Kosinuss |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Kā noteikt trijstūra veidu pēc trim malām
Kosinusu teorēma ļauj noteikt trijstūra veidu, nemērot leņķus ar transportieri. Daļas \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) zīme ir atkarīga tikai no skaitītāja: saucējs \(2ab\) vienmēr ir pozitīvs. Tātad pietiek salīdzināt garākās malas kvadrātu ar divu pārējo kvadrātu summu.
Pieņemsim, ka \(c\) ir garākā mala, tad pret to atrodas lielākais leņķis \(C\):
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → leņķis \(C\) ir smailais. Pārējie leņķi ir mazāki par to, tātad visi trīs leņķi ir smailie — trijstūris ir smapjleņķa;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — trijstūris ir taisnleņķa (tas ir apgrieztā Pitagora teorēma);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → leņķis \(C\) ir plats — trijstūris ir platleņķa.
Pārbaudīt pārējos leņķus nav nepieciešams: taisns vai plats leņķis trijstūrī ir tikai viens. Un neaizmirstiet par trijstūra nevienādību — ja garākā mala nav mazāka par divu pārējo summu, tad trijstūra ar tādām malām vispār nav.
Sinusu vai kosinusu teorēma: kā izvēlēties
Abas teorēmas risina vienu uzdevumu — atrod nezināmas trijstūra malas un leņķus, — bet tiek pielietotas dažādiem datu kopumiem. Sinusu teorēma saista malu un pret to esošo leņķi:
No tā arī izriet izvēles likums: ja nosacījumā jau ir pāris "mala un pret to esošais leņķis" — darbojas sinusu teorēma; ja tāda pāra nav — sākam ar kosinusu teorēmu. Atgādinājums par četrām skolas datu kopām — tabulā.
Bieži uzdevums tiek risināts divos soļos: vispirms kosinusu teorēma dod trešo malu, bet pēc tam sinusu teorēma ātri atrod atlikušos leņķus.
| Kas zināms | Ko pielietojam |
|---|---|
| MLMDivas malas un leņķis starp tām | Kosinusu teorēmaatrodam trešo malu |
| MMMVisas trīs malas | Kosinusu teorēmaatrodam jebkuru leņķi un trijstūra veidu |
| LMLMala un divi leņķi | Sinusu teorēmaatrodam divas citas malas |
| MMLDivas malas un leņķis pret vienu no tām | Sinusu teorēmaatrodam pretējo leņķi |
Kosinusu teorēma OGE uzdevumos
OGE matemātikā kosinusu teorēma sastopama planimetrijas uzdevumos — gan pirmajā daļā, gan uzdevumos ar detalizētu atbildi. Tipiski sižeti ir šādi:
- Atrod malu pēc divām malām un leņķa starp tām — tieša formulas pielietošana, visbiežāk ar leņķiem 60° vai 120°.
- Atrod leņķi vai tā kosinusu pēc trim malām — secinājums \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Ja uzdevumā rakstīts "atrodiet \(\cos\angle A\)", arkus kosinusu nav jāņem: atbilde ir tieši šī daļa, to arī pieraksta.
- Paralelograma diagonāles. Diagonāle atšķeļ trijstūri no divām malām un leņķa starp tām. Paralelograma blakusleņķi kopā dod 180°, tāpēc to kosinusi ir pretēji: pret smailu leņķi atrodas mazāka diagonāle, pret platu — lielāka.
- Trijstūra veids pēc trim skaitļiem — salīdzinājums \(a^2 + b^2\) ar \(c^2\).
- Trijstūra mediāna. Formula \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) tiek izvesta, divreiz pielietojot kosinusu teorēmu diviem blakus leņķiem pie pamata.
Padoms eksāmenā: pirms aprēķināšanas, atzīmējiet zīmējumā leņķi, kas ir "iespiests" starp zināmajām malām. Ja tāda leņķa nav — kosinusu teorēma vēl nav pielietojama, jāmeklē cits ceļš.
Piemēri uzdevumu risināšanai par kosinusu teorēmu
1. piemērs. Atrod malu pēc divām malām un leņķa 60°
Uzdevums. Trijstūrī \(ABC\) malas \(a = 7\) un \(b = 15\), leņķis starp tām \(C = 60°\). Atrodiet malu \(c\).
1. solis. Leņķis \(C\) ir starp malām \(a\) un \(b\) — tas ir tieši tas gadījums, kam teorēma ir izdomāta:
2. solis. Ievietojam skaitļus, \(\cos 60° = 0{,}5\):
3. solis. Izvelkam kvadrātsakni: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Atbilde: \(13\). Pārbaude pēc jēgas: leņķis \(60°\) ir smailais, tāpēc pret to esošā mala nav garākā — patiešām, \(13 < 15\).
2. piemērs. Plats leņķis: mīnus uz mīnus
Uzdevums. Trijstūrī \(ABC\) zināms: \(AB = 6\), \(BC = 10\), leņķis \(B = 120°\). Atrodiet malu \(AC\).
1. solis. Leņķis \(B\) ir starp malām \(AB\) un \(BC\), bet mala \(AC\) atrodas pretī tam:
2. solis. Leņķis ir plats, tāpēc \(\cos 120° = -0{,}5\). Mīnus pirms reizinājuma un mīnus pie kosinusa dod plusu:
3. solis. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Atbilde: \(14\). Pārbaude: pret platu leņķi atrodas garākā mala — \(14\) ir lielāks gan par \(6\), gan par \(10\).
3. piemērs. Atrod leņķi pēc trim malām
Uzdevums. Trijstūra malas ir \(3\), \(5\) un \(7\). Atrodiet tā lielāko leņķi.
1. solis. Lielākais leņķis atrodas pret lielāko malu, proti, pret malu \(7\). Apzīmēsim to ar \(C\), tad \(c = 7\), bet pieguļošās malas \(a = 3\) un \(b = 5\).
2. solis. Pielietojam secinājumu:
3. solis. Kosinuss ir negatīvs — leņķis ir plats. Pēc vērtību tabulas \(\cos 120° = -0{,}5\), tātad \(C = 120°\).
Atbilde: \(120°\). Starp citu, noskaidrojās, ka trijstūris ir platleņķa.
4. piemērs. Nosaka trijstūra veidu
Uzdevums. Nosakiet trijstūra veidu ar malām \(6\), \(7\) un \(10\).
1. solis. Pārbaudām trijstūra nevienādību: \(6 + 7 = 13 > 10\) — trijstūris pastāv. Garākā mala ir \(10\).
2. solis. Salīdzinām divu mazāko malu kvadrātu summu ar garākās malas kvadrātu:
3. solis. \(85 < 100\), tātad daļas skaitītājs ir negatīvs un \(\cos C < 0\) — leņķis pret malu \(10\) ir plats. Ja vēlaties, varat atrast arī pašu leņķi:
Atbilde: trijstūris ir platleņķa. Uzmanību: "uz aci" tas nav redzams — malas ir gandrīz vienādas, bet leņķis jau pārsniedz \(90°\).
5. piemērs. OGE līmeņa uzdevums: paralelograma diagonāle
Uzdevums. Paralelograma malas ir \(5\) un \(8\), smailais leņķis ir \(60°\). Atrodiet mazāko diagonāli.
1. solis. Diagonāle atšķeļ trijstūri, kura zināmas divas malas (\(5\) un \(8\)) un leņķis starp tām. Mazākā diagonāle atrodas pret smailo leņķi \(60°\).
2. solis. Aprēķinām:
3. solis. Pārbaude. Otrā diagonāle atrodas pret leņķi \(120°\) (paralelograma blakusleņķi kopā dod \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), tātad \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Diagonāļu kvadrātu summa ir \(49 + 129 = 178\), bet malu kvadrātu dubultā summa — \(2(25 + 64) = 178\). Sakrita, tātad aprēķins ir pareizs.
Atbilde: \(7\).
Biežas kļūdas uzdevumos par kosinusu teorēmu
-
Plata leņķa kosinusu ņem ar plus zīmi. Malām $4$ un $9$ ar leņķi $120°$ starp tām raksta $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ un iegūst $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), bet mīnus uz mīnus dod plusu: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), tātad \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Ātra pārbaude: pret platu leņķi atrodas garākā mala, tāpēc atbildei jābūt lielākai par \(9\).
-
Ievieto leņķi, kas nav starp dotajām malām: nosacījumā dots viens leņķis, un to ņem "kā ir", neskatoties uz zīmējumu.
Formulā \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) malas \(a\) un \(b\) veido leņķi \(C\), bet mala \(c\) atrodas pretī tam. Ja zināmais leņķis pieguļ meklētajai malai, šī formula neder — vajadzīga cita no trim vai sinusu teorēma.
-
Aizmirst izvilkt kvadrātsakni un atbildē ieraksta malas kvadrātu: ieguva $c^2 = 225$ un raksta "mala ir 225".
Formula vienmēr dod tieši malas kvadrātu. Pēdējais solis ir obligāts: \(c = \sqrt{225} = 15\). Pirms atbildes ierakstīšanas uzdevuma jautājumu izlasi vēlreiz.
-
Jauc locekļu kārtību secinājumā un raksta $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Pareizais skaitītājs ir \(a^2 + b^2 - c^2\): pieguļošo malu kvadrātu summa mīnus pretējās malas kvadrāts. Mainot kārtību, daļas zīme mainās uz pretējo, un platā leņķa \(120°\) vietā tiek iegūts smailais \(60°\).
-
Atrod leņķi pēc kosinusa moduļa: ieguva −0,25, bet atbildē raksta smailu leņķi, it kā kosinuss būtu bijis +0,25.
Negatīvs kosinuss — tas vienmēr ir plats leņķis. Zīmi nedrīkst zaudēt: cos 60° = 0,5, bet cos 120° = −0,5; negatīva skaitļa arkus kosinuss ir lielāks par 90°.
-
Mēģina atrisināt uzdevumu "divas malas un leņķis starp tām" ar sinusu teorēmu un iestrēgst pirmajā rindā.
Sinusu teorēmai ir nepieciešams gatavs pāris "mala un pret to esošais leņķis". Pie divām malām un leņķa starp tām tāda pāra nav — vispirms kosinusu teorēma dod trešo malu, un tikai tad tiek pieslēgta sinusu teorēma.
Jautājumi un atbildes
Kā skan kosinusu teorēma?
Trijstūra malas kvadrāts ir vienāds ar divu pārējo malu kvadrātu summu, atskaitot šo malu dubulto reizinājumu ar kosinusu starp tām: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Teorēma ir spēkā jebkuram trijstūrim, ne tikai taisnleņķa.
Kā atrast trijstūra malu pēc divām malām un leņķa starp tām?
Ievietojiet datus formulā c² = a² + b² − 2ab·cos C un izvelciet kvadrātsakni. Piemēram, pie malām 4 un 6 un leņķa 60° starp tām: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, tātad c = √28 ≈ 5,3.
Kā atrast trijstūra leņķi, ja zināmas trīs malas?
Pēc kosinusu teorēmas secinājuma: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), kur c ir mala pretī meklētajam leņķim. Piemēram, malām 2, 3 un 4 lielākā leņķa kosinuss ir (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, tātad leņķis ir plats, aptuveni 104°.
Kāpēc Pitagora teorēma ir kosinusu teorēmas speciāls gadījums?
Tāpēc, ka pie taisna leņķa cos 90° = 0, un loceklis −2ab·cos C izzūd. No formulas paliek c² = a² + b² — tas ir Pitagora teorēma taisnleņķa trijstūrim.
Vai kosinusu teorēma darbojas platleņķa trijstūrī?
Jā, un darbojas bez izmaiņām. Platam leņķim kosinuss ir negatīvs, tāpēc loceklis −2ab·cos C kļūst pozitīvs un tiek pieskaitīts kvadrātu summai. Tieši tāpēc mala pret platu leņķi izrādās garākā.
Kad lietot sinusu teorēmu, kad — kosinusu teorēmu?
Sinusu teorēma ir nepieciešama, ja nosacījumā jau ir pāris "mala un pret to esošais leņķis" — piemēram, dota mala un divi leņķi. Kosinusu teorēma — ja tāda pāra nav: dotas divas malas un leņķis starp tām vai visas trīs malas. Bieži uzdevumu risina divos soļos: vispirms kosinusi, pēc tam sinusi.
Kā noteikt trijstūra veidu pēc trim malām?
Salīdziniet garākās malas kvadrātu c² ar divu pārējo kvadrātu summu. Ja a² + b² > c² — trijstūris ir smapjleņķa, ja a² + b² = c² — taisnleņķa, ja a² + b² < c² — platleņķa. Šīs atšķirības zīme sakrīt ar lielākā leņķa kosinusa zīmi.
Kuras klases mācību programmā ir kosinusu teorēma?
- klasē ģeometrijas stundās, tēmā "Sakarības starp trijstūra malām un leņķiem" — kopā ar sinusu teorēmu. Tālāk tā pastāvīgi tiek izmantota OGE un EGE planimetrijas un stereometrijas uzdevumos.
