Шеңбер екі негізгі бұрыш түрін құрайды: орталық — төбесі шеңбердің центрінде жататын, және іштей сызылған — төбесі шеңбердің өзінде жататын бұрыш. Олардың арасындағы байланыс қарапайым: орталық бұрыш өзі тірелетін доғаға тең, ал іштей сызылған бұрыш сол доғаның жартысына тең. Бұл бетте анықтамалар, іштей сызылған бұрыш туралы теорема мен оның салдарлары, көрнекі сызбалар, есептерді кезең-кезеңімен талдау және өзіңізді бірден тексере алатын интерактивті тренажер бар.
Шеңбердегі бұрыш түрлері: орталық және іштей сызылған
Шеңберде бір нүктеден екі кесінді жүргізсек, бұрыш пайда болады. Төбесінің орналасуына қарай шеңбердегі бұрыштардың екі негізгі түрі бөлінеді:
- Орталық бұрыш — төбесі шеңбердің \(O\) центрінде жататын бұрыш. Оның қабырғалары — радиустар.
- Іштей сызылған бұрыш — төбесі шеңбердің бойында жататын, ал қабырғалары шеңберді қиып өтетін (яғни хорда болатын) бұрыш.
Бұл бұрыштардың әрқайсысы доғаға тіреледі — бұл бұрыштың ішінде жататын шеңбер бөлігі. Орталық және іштей сызылған бұрыштарды дәл осы доға байланыстырады: екеуі де доғаның градустық өлшемі арқылы өрнектеледі.
Егер бұрыштың төбесі шеңбердің ішінде (бірақ центрінде емес) немесе одан тыс жерде болса, бұл іштей сызылған немесе орталық бұрыш емес: мұндай бұрыштар үшін арнайы формулалар бар, олар туралы беттің соңында айтылады.
∠AOC = AC доғасына = 120°
∠ABC = ½ AC доғасына = 60°
Іштей сызылған бұрыш туралы теорема және оның шамасы
Орталық бұрыш өзі тірелетін доғаға тең, бұл доғаның градустық өлшемін енгізу жолы. Егер \(\angle AOC = 120°\) болса, онда \(AC\) доғасы да \(120°\)-қа тең.
Іштей сызылған бұрыш туралы теорема: іштей сызылған бұрыш өзі тірелетін доғаның жартысына тең:
Осыдан іштей сызылған және орталық бұрыштардың негізгі қатынасы шығады: іштей сызылған бұрыш сол доғаға тірелетін орталық бұрыштан екі есе кіші:
Іштей сызылған бұрыштың шамасы төбесінің шеңбердің қай жерінде орналасқанына байланысты емес — тек тірелетін доғасы маңызды. Сондықтан төмендегі сызбаны осы тақырыптың «жұмысшы суреті» ретінде есте сақтаған жөн: жасыл доға және оған қарап тұрған екі бұрыш.
Іштей сызылған және орталық бұрыштар: қасиеттері мен салдарлары
Іштей сызылған бұрыш туралы теоремадан мектеп есептерінің көпшілігі негізделетін қасиеттер тікелей шығады:
- Бір доғаға тірелетін іштей сызылған бұрыштар тең. Олардың әрқайсысы бір доғаның жартысына тең, демек, төбелері қай жерде болса да, олар өзара тең.
- Диаметрге тірелетін іштей сызылған бұрыш — тік бұрыш. Диаметр шеңберді \(180°\)-тан екі жарты шеңберге бөледі, сондықтан мұндай бұрыш \(180° : 2 = 90°\)-қа тең. Керісінше де дұрыс: егер іштей сызылған бұрыш тік болса, онда ол диаметрге тіреледі.
- Іштей сызылған бұрыш доғал болуы мүмкін. Егер доға \(180°\)-тан үлкен болса, бұрыш \(90°\)-тан үлкен болады — «доғаның жартысы» формуласы ерекшеліксіз жұмыс істейді.
Бұл қасиеттер «кері бағытта» да жұмыс істейді: мысалы, бір кесіндіге тірелетін бұрыштардың теңдігі арқылы төрт нүктенің бір шеңберде жататынын дәлелдейді.
Іштей сызылған және сырттай сызылған бұрыштар: шеңбердегі төртбұрыш
Егер төртбұрыштың барлық төрт төбесі шеңберде жатса, ол іштей сызылған (ал шеңбер оның сыртынан сырттай сызылған) деп аталады. Мұндай төртбұрыштың бұрыштары — іштей сызылған бұрыштар, сондықтан олар үшін сол теорема қолданылады.
- Іштей сызылған төртбұрыштың қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы \(180°\)-қа тең. \(A\) және \(C\) бұрыштары бүкіл шеңберді (\(360°\)) құрайтын екі доғаға тіреледі, сондықтан \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Іштей сызылған төртбұрыштың сыртқы бұрышы қарама-қарсы төбедегі ішкі бұрышқа тең. Сыртқы бұрыш өзінің ішкі бұрышын \(180°\)-қа дейін толықтырады — дәл қарама-қарсы бұрыш сияқты.
- Бұрыштар қосындысының қасиеті — сонымен қатар белгі: егер төртбұрыштың қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы \(180°\) болса, оның сыртынан шеңбер сызуға болады. Сондықтан кез келген тіктөртбұрышты шеңберге іштей сызуға болады, ал ромбты (шаршыдан басқа) — болмайды.
Есептерде іштей сызылған бұрыштармен қатар сырттай сызылған бұрыштар да кездеседі — шеңберден тыс нүктеден жүргізілген екі жанама арасындағы бұрыш. Сырттай сызылған бұрыш шеңберден қиып өтетін доғалардың айырмасының жартысына тең.
Іштей сызылған және орталық бұрыштарға арналған есептерді шешу мысалдары
1-мысал. Доға бойынша іштей сызылған бұрыш
Есеп. Іштей сызылған \(ABC\) бұрышы \(120°\)-қа тең \(AC\) доғасына тіреледі. \(\angle ABC\)-ны табыңыз.
1-қадам. Теореманы еске түсіреміз: іштей сызылған бұрыш өзі тірелетін доғаның жартысына тең.
2-қадам. Мәндерді қоямыз: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Жауабы: \(60°\).
2-мысал. Іштей сызылған бұрыш бойынша орталық бұрыш
Есеп. Іштей сызылған \(ABC\) бұрышы \(40°\)-қа тең. Сол \(AC\) доғасына тірелетін орталық \(AOC\) бұрышын табыңыз.
1-қадам. Орталық бұрыш сол доғаға тірелетін іштей сызылған бұрыштан екі есе үлкен: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
2-қадам. Есептейміз: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Сонымен қатар доғаны да білдік: \(AC = 80°\).
Жауабы: \(80°\).
3-мысал. Диаметрге тірелетін бұрыш
Есеп. \(AC\) — шеңбердің диаметрі, \(B\) нүктесі шеңберде жатыр, \(\angle BAC = 35°\). \(\angle BCA\)-ны табыңыз.
1-қадам. \(ABC\) бұрышы \(AC\) диаметріне тіреледі, демек \(\angle ABC = 90°\) — \(ABC\) үшбұрышы тікбұрышты.
2-қадам. Үшбұрыш бұрыштарының қосындысы \(180°\)-қа тең: \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Жауабы: \(55°\).
4-мысал. Іштей сызылған төртбұрыш
Есеп. \(ABCD\) төртбұрышы шеңберге іштей сызылған, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). \(C\) және \(D\) бұрыштарын табыңыз.
1-қадам. Іштей сызылған төртбұрыштың қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы \(180°\)-қа тең: \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
2-қадам. Сол сияқты \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Тексеру. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — төртбұрыш бұрыштарының қосындысы сәйкес келеді.
Жауабы: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Шеңбердегі бұрыштар туралы есептердегі жиі кездесетін қателер
-
Іштей сызылған бұрышты орталық бұрышпен шатастыру: төбесі центрінде жататын бұрыш үшін доғаның жартысын алу (немесе керісінше).
Алдымен төбесіне қараңыз. Төбесі \(O\) центрінде болса — орталық бұрыш, ол доғаға толық тең. Төбесі шеңберде болса — іштей сызылған, ол доғаның жартысына тең.
-
Басқа доғаны алу: іштей сызылған бұрыш үшін оның төбесі жатқан доғаны есептеу.
Іштей сызылған бұрыш бұрыштың «ішінде» жатқан доғаға тіреледі, төбесі әрқашан басқа доғада болады. \(\angle ABC\) жазбасында бұрыш \(B\) нүктесін қамтымайтын \(AC\) доғасына тіреледі.
-
2-ге көбейту мен бөлуді «кері» істеу: іштей сызылған бұрыштан орталық бұрышқа қарай көбейтпей, бөлу.
Есте сақтаңыз: іштей сызылған — «кішкентай» (доғаның жартысы), орталық — «үлкен» (толық доға). Іштей сызылғаннан орталыққа қарай — 2-ге көбейту, орталықтан іштей сызылғанға қарай — 2-ге бөлу.
-
Қабырғалары шеңберді қиып өтетін кез келген бұрышты іштей сызылған деп санау — мысалы, шеңбер ішінде қиылысатын хордалар арасындағы бұрыш.
Іштей сызылған бұрыштың төбесі міндетті түрде шеңбердің өзінде жатуы керек. Шеңбер ішіндегі төбесі бар бұрыш қиылысатын доғалардың қосындысының жартысына, ал шеңберден тыс төбесі бар бұрыш — айырмасының жартысына тең: бұлар басқа формулалар.
-
Іштей сызылған төртбұрышта қарама-қарсы бұрыштардың орнына іргелес бұрыштардың қосындысын $180°$-қа теңестіру.
Қасиет тек қарама-қарсы төбелер үшін жұмыс істейді: \(\angle A + \angle C = 180°\) және \(\angle B + \angle D = 180°\). Іштей сызылған төртбұрыштың іргелес бұрыштары кез келген болуы мүмкін.
Сұрақтар мен жауаптар
Іштей сызылған бұрыш неге тең?
Іштей сызылған бұрыш өзі тірелетін доғаның жартысына тең. Мысалы, егер доға 120°-қа тең болса, іштей сызылған бұрыш 60°-қа тең. Бұл — тақырыптың негізгі формуласы болып табылатын іштей сызылған бұрыш туралы теорема.
Бір доғаға тірелетін іштей сызылған және орталық бұрыштар қалай байланысқан?
Орталық бұрыш іштей сызылған бұрыштан екі есе үлкен: ∠AOC = 2·∠ABC. Орталық бұрыш доғаның өзіне тең, ал іштей сызылған бұрыш — оның жартысына.
Неліктен диаметрге тірелетін іштей сызылған бұрыш 90°-қа тең?
Диаметр жарты шеңберді — 180°-тық доғаны керіп тұр. Іштей сызылған бұрыш доғаның жартысына тең: 180° : 2 = 90°. Сондықтан сырттай сызылған шеңбердің бір қабырғасы диаметр болатын кез келген үшбұрыш — тікбұрышты.
Іштей сызылған бұрыш доғал бола ала ма?
Иә. Егер бұрыш тірелетін доға 180°-тан үлкен болса, бұрыш доғал болады: мысалы, 210°-тық доғаға 105°-тық іштей сызылған бұрыш сәйкес келеді. Бұл ретте іштей сызылған бұрыш әрқашан 180°-тан кіші болады.
Сырттай сызылған бұрыш деген не және ол іштей сызылған бұрыштан несімен ерекшеленеді?
Сырттай сызылған бұрышты бір сыртқы нүктеден шеңберге жүргізілген екі жанама құрайды. Оның төбесі шеңберден тыс жатады және ол қиып өтетін доғалардың айырмасының жартысына тең. Іштей сызылған бұрыштың төбесі шеңберде жатады және ол бір доғаның жартысына тең.
Шеңбердегі бұрыштардың тағы қандай түрлері бар?
Орталық және іштей сызылған бұрыштардан басқа, хордалар арасындағы бұрыш (төбесі шеңбер ішінде — доғалардың қосындысының жартысы), сыртқы нүктеден жүргізілген қиюшылар арасындағы бұрыш (доғалардың айырмасының жартысы) және жанама мен хорда арасындағы бұрыш (ішіндегі доғаның жартысы) қарастырылады. Олардың барлығы шеңбер доғалары арқылы өрнектеледі.
