Косинустар теоремасы үшбұрыштың үш қабырғасы мен бір бұрышын байланыстырады: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Ол кез келген үшбұрышта жұмыс істейді, сондықтан 9-сыныпта тік бұрыш болмаған жағдайда ол Пифагор теоремасын алмастырады. Оның көмегімен екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрыш белгілі болса, үшінші қабырғаны, ал \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) салдары арқылы үш қабырғасы бойынша кез келген бұрышты және үшбұрыш түрін анықтауға болады. Бетте формуланың тұжырымдамасы мен үш жазылуы, дәлелдеуі, косинустар кестесі, «синустар немесе косинустар» жадынамасы, ҰБТ есептерінің талдауы және өзін-өзі тексеруге арналған жаттықтырғыш бар.
Косинустар теоремасы: тұжырымдамасы және формуласы
Косинустар теоремасы кез келген үшбұрышта жұмыс істейді — оған тік бұрыштың қажеті жоқ. Ол үш қабырға мен бір бұрышты байланыстырады, сондықтан екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрыш белгілі болса, қабырғаны табуға болады.
Тұжырымдамасы. Үшбұрыш қабырғасының квадраты басқа екі қабырғаның квадраттарының қосындысынан осы қабырғалардың екі еселенген көбейтіндісін олардың арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіп азайтқанға тең.
Мұнда \(a\), \(b\), \(c\) — үшбұрыш қабырғалары, ал \(C\) — \(a\) және \(b\) қабырғаларының арасындағы бұрыш; \(c\) қабырғасы осы бұрышқа қарсы жатыр. Әріптерді кез келгенін алуға болады — формула симметриялы, сондықтан оның үш тең құқылы жазылуы бар:
Орын қоюдың басты ережесі: көбейтіндідегі екі қабырғаның арасындағы бұрышты аламыз, ал оған қарсы жатқан қабырғаны табамыз. Егер «көршілес» бұрышты алсаңыз, барлық сандар шарттан алынады, ал жауап қате болады.
Пифагор теоремасы неге косинустар теоремасының дербес жағдайы
Формулаға тік бұрышты, яғни \(C = 90°\) қоямыз. Тік бұрыштың косинусы нөлге тең, сондықтан үшінші қосылғыш толығымен нөлге айналады:
Дәл 8-сыныптан таныс Пифагор теоремасы шықты. Сондықтан косинустар теоремасын оның жалпыламасы деп атайды: Пифагор — бұл «90°-тағы дербес жағдай», ал косинустар теоремасы барлық бұрыштар үшін бірден жұмыс істейді.
\(-2ab\cos C\) қосылғышын бұрыштың тік еместігіне түзету ретінде түсіну ыңғайлы:
- бұрыш сүйір, \(\cos C > 0\) — түзету азайтылады, \(c\) қабырғасы Пифагор бергеннен қысқарақ болады;
- бұрыш тік, \(\cos C = 0\) — түзету жоқ, \(c^2 = a^2 + b^2\) қалады;
- бұрыш доғал, \(\cos C < 0\) — түзету қосылады, \(c\) қабырғасы ұзынырақ болады.
Косинустар теоремасын дәлелдеу
Мектептегі ең қысқа дәлелдеу — координаттық әдіс. \(C\) төбесін координаттар басына орналастырып, \(b = CA\) қабырғасын \(x\) осі бойымен бағыттаймыз. Сонда төбелердің координаттары мынадай:
- \(C(0;\ 0)\) — координаттар басы;
- \(A(b;\ 0)\) — басынан \(b\) қашықтықтағы \(x\) осіндегі нүкте;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — басынан \(a\) қашықтықта, \(x\) осіне \(C\) бұрышындағы төбе.
\(c\) қабырғасы — бұл \(AB\) кесіндісінің ұзындығы. Оны екі нүкте арасындағы қашықтық формуласы бойынша есептейміз:
Жақшаларды ашамыз:
\(a^2\) бар қосылғыштарды топтастырып, негізгі тригонометриялық тепе-теңдікті \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\) қолданамыз:
Дәлелдеу керек болған нәрсе осы. Назар аударыңыз: \(C\) бұрышының сүйір болуы еш жерде талап етілмеді. Егер ол доғал болса, косинус теріс, \(a\cos C\) координатасы \(y\) осінен солға кетеді, бірақ барлық есептеулер сол күйінде қалады — сондықтан теорема кез келген үшбұрыш үшін дұрыс.
Салдары: үш қабырғасы бойынша бұрышты қалай табуға болады
Косинустар теоремасынан косинустың өзін өрнектейді — бұл оның басты салдары. Оның көмегімен үш қабырғасы белгілі болғанда бұрышты табады:
Алымында — бұрышқа іргелес екі қабырғаның квадраттарының қосындысы, оған қарсы жатқан қабырғаның квадратын азайтамыз. Бөлімінде — іргелес қабырғалардың екі еселенген көбейтіндісі. Басқа бұрыштар үшін формулалар мынадай:
Шешу реті:
- ізделінді бұрышты таңдап, оған қарсы қандай қабырға жатқанын анықтау — оның квадраты алымға минус таңбасымен барады;
- бөлшекті есептеу (бөлімі әрқашан оң, таңбаны тек алымы анықтайды);
- мәндер кестесі немесе арккосинус арқылы бұрыштың өзін табу.
Пайдалы әдіс: ең үлкен қабырғадан бастау. Оған қарсы ең үлкен бұрыш жатады және тек сол ғана тік немесе доғал болуы мүмкін — үшбұрыштағы қалған екі бұрыш әрқашан сүйір болады.
Доғал бұрыштардың косинустары теріс: мәндер кестесі
Мектеп есептерінде бұрыштар дерлік әрқашан «кестелік»: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Сүйір бұрыштардың косинусы оң, тік бұрыштыкі нөлге тең, ал доғал бұрыштардікі — теріс. Доғал бұрыштар үшін мәндерді келтіру формуласы бойынша сүйір бұрыштар үшін мәндерден алады \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): мысалы, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Бұл іс жүзінде нені білдіреді: доғал бұрышта \(-2ab\cos C\) өрнегі плюсқа айналады — минус пен минус плюс береді. \(120°\) бұрышы үшін формула мынадай:
Ұпайды ең жиі осы жерден жоғалтады: \(-0{,}5\) орнына \(0{,}5\) қойып, берілген екі қабырғадан да қысқа қабырға алады. Бұл әуел бастан мүмкін емес — доғал бұрышқа қарсы үшбұрыштың ең ұзын қабырғасы жатады.
| Бұрыш | Косинус |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Үш қабырғасы бойынша үшбұрыш түрін қалай анықтауға болады
Косинустар теоремасы транспортирмен бұрыштарды өлшемей-ақ үшбұрыш түрін білуге мүмкіндік береді. \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) бөлшегінің таңбасы тек алымына байланысты: \(2ab\) бөлімі әрқашан оң. Демек, ең үлкен қабырғаның квадратын басқа екі қабырғаның квадраттарының қосындысымен салыстыру жеткілікті.
\(c\) — ең үлкен қабырға болсын, онда оған қарсы ең үлкен \(C\) бұрышы жатады:
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → \(C\) бұрышы сүйір. Қалған бұрыштар одан кіші, демек барлық үш бұрыш сүйір — үшбұрыш сүйір бұрышты;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — үшбұрыш тік бұрышты (бұл Пифагордың кері теоремасы);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → \(C\) бұрышы доғал — үшбұрыш доғал бұрышты.
Қалған бұрыштарды тексерудің қажеті жоқ: үшбұрышта тік немесе доғал бұрыш тек біреу ғана болады. Және үшбұрыш теңсіздігін ұмытпаңыз — егер ең үлкен қабырға басқа екі қабырғаның қосындысынан кіші болмаса, ондай қабырғалары бар үшбұрыш мүлдем жоқ.
Синустар немесе косинустар теоремасы: қалай таңдау керек
Екі теорема да бір міндетті шешеді — үшбұрыштың белгісіз қабырғалары мен бұрыштарын табады, бірақ әртүрлі деректер жиынтығынан іске қосылады. Синустар теоремасы қабырға мен оған қарсы жатқан бұрышты байланыстырады:
Осыдан таңдау ережесі де шығады: егер шартта «қабырға және оған қарсы бұрыш» жұбы бар болса — синустар теоремасы жұмыс істейді; егер ондай жұп болмаса — косинустар теоремасынан бастаймыз. Мектептегі төрт деректер жиынтығы бойынша жадынама — кестеде.
Көбінесе есеп екі қадаммен шешіледі: алдымен косинустар теоремасы үшінші қабырғаны береді, ал содан кейін синустар теоремасы қалған бұрыштарды тез табады.
| Не белгілі | Нені қолданамыз |
|---|---|
| ҚБҚЕкі қабырға және олардың арасындағы бұрыш | Косинустар теоремасыүшінші қабырғаны табамыз |
| ҚҚҚҮш қабырғасы | Косинустар теоремасыкез келген бұрышты және үшбұрыш түрін табамыз |
| БҚБҚабырға және екі бұрыш | Синустар теоремасыбасқа екі қабырғаны табамыз |
| ҚҚБЕкі қабырға және олардың біреуіне қарсы бұрыш | Синустар теоремасықарсы жатқан бұрышты табамыз |
ҰБТ есептеріндегі косинустар теоремасы
Математикадан ҰБТ-да косинустар теоремасы планиметриялық тапсырмаларда кездеседі — бірінші бөлімде де, толық жауапты есептерде де. Типтік сюжеттер мынадай:
- Екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрыш бойынша қабырғаны табу — формуланың тікелей қолданылуы, көбінесе 60° немесе 120° бұрыштарымен.
- Үш қабырғасы бойынша бұрышты немесе оның косинусын табу — \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) салдары. Егер тапсырмада «\(\cos\angle A\) табыңыз» деп жазылса, арккосинус алудың қажеті жоқ: жауап — сол бөлшектің өзі, соны жазады.
- Параллелограмм диагональдары. Диагональ екі қабырға мен олардың арасындағы бұрыштан үшбұрыш қиып алады. Параллелограммның іргелес бұрыштарының қосындысы 180°, сондықтан олардың косинустары қарама-қарсы: сүйір бұрышқа қарсы кіші диагональ, доғал бұрышқа қарсы — үлкен диагональ жатады.
- Үш сан бойынша үшбұрыш түрі — \(a^2 + b^2\)-ті \(c^2\)-пен салыстыру.
- Үшбұрыш медианасы. \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) формуласы табанындағы екі іргелес бұрышқа косинустар теоремасын екі рет қолдану арқылы шығарылады.
Емтихандағы кеңес: есептемес бұрын, сызбада белгілі қабырғалардың арасында «қысылған» бұрышты белгілеңіз. Егер ондай бұрыш болмаса — косинустар теоремасы әзірге қолданылмайды, басқа жол іздеу керек.
Косинустар теоремасына есептерді шешу мысалдары
1-мысал. Екі қабырғасы мен 60° бұрышы бойынша қабырғаны табу
Есеп. \(ABC\) үшбұрышында \(a = 7\) және \(b = 15\) қабырғалары, олардың арасындағы бұрыш \(C = 60°\). \(c\) қабырғасын табыңыз.
1-қадам. \(C\) бұрышы \(a\) және \(b\) қабырғаларының арасында орналасқан — бұл дәл теорема ойлап табылған жағдай:
2-қадам. Сандарды қоямыз, \(\cos 60° = 0{,}5\):
3-қадам. Түбірден шығарамыз: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Жауабы: \(13\). Мағынасы бойынша тексеру: \(60°\) бұрышы сүйір, сондықтан оған қарсы қабырға ең ұзыны емес — шынында да, \(13 < 15\).
2-мысал. Доғал бұрыш: минус пен минус
Есеп. \(ABC\) үшбұрышында белгілі: \(AB = 6\), \(BC = 10\), \(B = 120°\) бұрышы. \(AC\) қабырғасын табыңыз.
1-қадам. \(B\) бұрышы \(AB\) және \(BC\) қабырғаларының арасында орналасқан, ал \(AC\) қабырғасы оған қарсы жатыр:
2-қадам. Бұрыш доғал, сондықтан \(\cos 120° = -0{,}5\). Көбейтінді алдындағы минус пен косинустағы минус плюс береді:
3-қадам. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Жауабы: \(14\). Тексеру: доғал бұрышқа қарсы ең ұзын қабырға жатады — \(14\) алтыдан да, оннан да үлкен.
3-мысал. Үш қабырғасы бойынша бұрышты табу
Есеп. Үшбұрыш қабырғалары \(3\), \(5\) және \(7\)-ге тең. Оның ең үлкен бұрышын табыңыз.
1-қадам. Ең үлкен бұрыш ең үлкен қабырғаға қарсы, яғни \(7\) қабырғасына қарсы жатады. Оны \(C\) деп белгілейік, онда \(c = 7\), ал іргелес қабырғалар \(a = 3\) және \(b = 5\).
2-қадам. Салдарын қолданамыз:
3-қадам. Косинус теріс — бұрыш доғал. Мәндер кестесі бойынша \(\cos 120° = -0{,}5\), демек \(C = 120°\).
Жауабы: \(120°\). Қоса айтқанда, үшбұрыштың доғал бұрышты екені анықталды.
4-мысал. Үшбұрыш түрін анықтау
Есеп. Қабырғалары \(6\), \(7\) және \(10\) болатын үшбұрыш түрін анықтаңыз.
1-қадам. Үшбұрыш теңсіздігін тексереміз: \(6 + 7 = 13 > 10\) — үшбұрыш бар. Ең үлкен қабырға — \(10\).
2-қадам. Екі кіші қабырғаның квадраттарының қосындысын ең үлкенінің квадратымен салыстырамыз:
3-қадам. \(85 < 100\), демек бөлшектің алымы теріс және \(\cos C < 0\) — \(10\) қабырғасына қарсы бұрыш доғал. Қалау болса, бұрыштың өзін де табуға болады:
Жауабы: үшбұрыш доғал бұрышты. Назар аударыңыз: «көз мөлшерімен» бұл көрінбейді — қабырғалары дерлік тең, ал бұрыш \(90°\)-тан асып кеткен.
5-мысал. ҰБТ деңгейіндегі есеп: параллелограмм диагоналі
Есеп. Параллелограмм қабырғалары \(5\) және \(8\)-ге тең, сүйір бұрышы \(60°\). Кіші диагоналін табыңыз.
1-қадам. Диагональ екі қабырғасы (\(5\) және \(8\)) және олардың арасындағы бұрышы белгілі үшбұрыш қиып алады. Кіші диагональ \(60°\) сүйір бұрышына қарсы жатады.
2-қадам. Есептейміз:
3-қадам. Тексеру. Екінші диагональ \(120°\) бұрышына қарсы жатады (параллелограммның іргелес бұрыштарының қосындысы \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), яғни \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Диагональдар квадраттарының қосындысы \(49 + 129 = 178\)-ге тең, ал қабырғалар квадраттарының екі еселенген қосындысы — \(2(25 + 64) = 178\). Сәйкес келді, демек есептеу дұрыс.
Жауабы: \(7\).
Косинустар теоремасына арналған есептердегі жиі кездесетін қателер
-
Доғал бұрыштың косинусын плюс таңбасымен алады. Арасындағы бұрышы $120°$ болатын $4$ және $9$ қабырғалары үшін $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ деп жазып, $c \approx 7{,}8$ алады.
\(\cos 120° = -0{,}5\), ал минус пен минус плюс береді: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), яғни \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Жылдам тексеру: доғал бұрышқа қарсы ең ұзын қабырға жатады, сондықтан жауап \(9\)-дан үлкен болуы міндетті.
-
Берілген қабырғалардың арасында орналаспаған бұрышты қояды: шартта бір бұрыш берілген, оны сызбаға қарамай «сол күйінде» алады.
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) жазбасында \(a\) және \(b\) қабырғалары \(C\) бұрышын құрайды, ал \(c\) қабырғасы оған қарсы жатыр. Егер белгілі бұрыш ізделінді қабырғаға іргелес болса, бұл жазба жарамайды — үшеуінің бірі немесе синустар теоремасы қажет.
-
Түбірден шығаруды ұмытып, қабырғаның квадратын жауапқа жазады: $c^2 = 225$ алып, «қабырға 225-ке тең» деп жазады.
Формула әрқашан қабырғаның квадратын береді. Соңғы қадам міндетті: \(c = \sqrt{225} = 15\). Жауапты жазар алдында есептің сұрағын қайта оқыңыз.
-
Салдардағы қосылғыштардың ретін шатастырып, $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$ деп жазады.
Дұрыс алым — \(a^2 + b^2 - c^2\): іргелес қабырғалардың квадраттарының қосындысынан қарсы жатқан қабырғаның квадратын азайтамыз. Орын ауыстырғанда бөлшектің таңбасы қарама-қарсыға өзгереді және \(120°\) доғал бұрыштың орнына \(60°\) сүйір бұрыш шығады.
-
Косинус модулі бойынша бұрышты табады: −0,25 алды, ал жауапқа косинус +0,25 болғандай сүйір бұрышты жазады.
Теріс косинус — бұл әрқашан доғал бұрыш. Таңбаны жоғалтуға болмайды: cos 60° = 0,5, ал cos 120° = −0,5; теріс санның арккосинусы 90°-тан үлкен.
-
«Екі қабырға және олардың арасындағы бұрыш» есебін синустар теоремасымен шешуге тырысып, бірінші жолда тұрып қалады.
Синустар теоремасына дайын «қабырға және қарсы жатқан бұрыш» жұбы қажет. Екі қабырға және арасындағы бұрыш болғанда ондай жұп жоқ — алдымен косинустар теоремасы үшінші қабырғаны береді, содан кейін ғана синустар теоремасы қосылады.
Сұрақтар мен жауаптар
Косинустар теоремасы қалай айтылады?
Үшбұрыш қабырғасының квадраты басқа екі қабырғаның квадраттарының қосындысынан осы қабырғалардың екі еселенген көбейтіндісін арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіп азайтқанға тең: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Теорема тек тік бұрышты емес, кез келген үшбұрыш үшін дұрыс.
Екі қабырғасы мен арасындағы бұрыш бойынша үшбұрыш қабырғасын қалай табуға болады?
Деректерді c² = a² + b² − 2ab·cos C формуласына қойып, түбірден шығару керек. Мысалы, қабырғалары 4 және 6, арасындағы бұрыш 60° болса: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, демек c = √28 ≈ 5,3.
Үш қабырғасы белгілі болса, үшбұрыш бұрышын қалай табуға болады?
Косинустар теоремасының салдары бойынша: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), мұнда c — ізделінді бұрышқа қарсы қабырға. Мысалы, 2, 3 және 4 қабырғалары үшін ең үлкен бұрыштың косинусы (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, яғни бұрыш доғал, шамамен 104°.
Пифагор теоремасы неге косинустар теоремасының дербес жағдайы?
Өйткені тік бұрышта cos 90° = 0, және −2ab·cos C қосылғышы нөлге айналады. Формуладан c² = a² + b² қалады — бұл тік бұрышты үшбұрыш үшін Пифагор теоремасы.
Косинустар теоремасы доғал бұрышты үшбұрышта жұмыс істей ме?
Иә, және өзгеріссіз жұмыс істейді. Доғал бұрыштың косинусы теріс, сондықтан −2ab·cos C қосылғышы оң болып, квадраттар қосындысына қосылады. Дәл осы себептен доғал бұрышқа қарсы қабырға ең ұзын болып шығады.
Синустар теоремасын қашан, косинустар теоремасын қашан қолдану керек?
Синустар теоремасы шартта «қабырға және оған қарсы бұрыш» жұбы дайын болғанда қажет — мысалы, қабырға және екі бұрыш берілген. Косинустар теоремасы — ондай жұп болмағанда: екі қабырға және арасындағы бұрыш немесе үш қабырға берілген. Көбінесе есепті екі қадаммен шешеді: алдымен косинустар, содан кейін синустар.
Үш қабырғасы бойынша үшбұрыш түрін қалай анықтауға болады?
Ең үлкен қабырғаның квадратын c² басқа екі қабырғаның квадраттарының қосындысымен салыстыру керек. Егер a² + b² > c² — үшбұрыш сүйір бұрышты, егер a² + b² = c² — тік бұрышты, егер a² + b² < c² — доғал бұрышты. Бұл айырмашылықтың таңбасы ең үлкен бұрыштың косинусының таңбасымен сәйкес келеді.
Косинустар теоремасы нешінші сыныпта өтіледі?
9-сыныпта геометрия сабақтарында, «Үшбұрыш қабырғалары мен бұрыштары арасындағы қатынастар» тақырыбында — синустар теоремасымен бірге. Одан әрі ол ҰБТ және емтихан есептерінде планиметрия мен стереометрияда үнемі қолданылады.
