Ұқсас үшбұрыштар — бұл бірдей пішінді, бірақ әртүрлі өлшемді үшбұрыштар: олардың бұрыштары сәйкес тең, ал сәйкес қабырғалары пропорционал. Бір үшбұрыштың екіншісінен қанша есе үлкен екенін көрсететін сан ұқсастық коэффициенті \(k\) деп аталады. Ұқсастықты дәлелдеуге үш белгі көмектеседі, ал периметрлер мен аудандардың қатынастары қарапайым ережеге бағынады: периметрлер \(k\) ретінде, ал аудандар — \(k^2\) ретінде қатынасады. Бұл бетте — анықтама және ұқсастықтың дұрыс төбелер ретімен жазылуы, барлық үш белгі, тікбұрышты үшбұрыштардың ұқсастығы және тік бұрыштан түсірілген биіктік, ОГЭ есептерін шешу «қабырғаны табу» және интерактивті тренажер.
Ұқсас үшбұрыштар және ұқсастық коэффициенті дегеніміз не?
Екі үшбұрыш ұқсас деп аталады, егер екі шарт орындалса:
- олардың бұрыштары сәйкес тең — бірінші үшбұрыштың әрбір бұрышына екінші үшбұрыштың тең бұрышы сәйкес келеді;
- олардың сәйкес қабырғалары пропорционал — барлық үш қатынас бірдей санды береді.
Сәйкес қабырғалар — бұл тең бұрыштарға қарама-қарсы жатқан қабырғалар. Дәл олар қатынасты есептейтін жұптарды құрайды.
Ұқсастық \(\sim\) белгісімен жазылады:
Ұқсастық коэффициенті \(k\) — сәйкес қабырғалардың дәл сол бірдей қатынасы:
Егер \(k > 1\) болса, екінші үшбұрыш біріншіден үлкен; егер \(k < 1\) болса — кіші; \(k = 1\) болса, үшбұрыштар тең болады, өйткені теңдік — ұқсастықтың дербес жағдайы.
Жазылымдағы төбелер реті — формальдылық емес
\(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) жазылымы дәл позициялар бойынша оқылады: \(A\) сәйкес келеді \(A_1\)-ге, \(B\) — \(B_1\)-ге, \(C\) — \(C_1\)-ге. Бұдан қандай бұрыштар тең (\(\angle A = \angle A_1\)) және қандай қабырғалар сәйкес (\(AB\) және \(A_1B_1\), \(BC\) және \(B_1C_1\), \(AC\) және \(A_1C_1\)) екені дереу белгілі болады.
Егер әріптерді ауыстырып \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\) деп жазсақ, басқа тұжырым шығады: енді \(\angle A = \angle B_1\), ал \(AB\)-ге сәйкес болатын қабырға \(B_1A_1\) болады. «Ұқсас орналасқан» қабырғалар бойынша пропорция құруға болмайды — тек жазылымдағы позициялар бойынша. Сондықтан бірінші кезекте тең бұрыштардың жұптарын жазып, содан кейін төбелер ретін келтіреді.
Үшбұрыштардың ұқсастығының үш белгісі
Анықтамадағы алты шарттың барлығын тексерудің қажеті жоқ: ұқсастық үш белгінің бірі бойынша дәлелденеді. Әрқайсысы — бұл минималды деректер жиынтығы, одан барлық бұрыштардың теңдігі және барлық қабырғалардың пропорционалдығы автоматты түрде шығады.
Белгіні қалай таңдау керек. Есепте не берілгенін қара: егер бұрыштар туралы болса — бірінші, егер екі қабырға және бұрыш туралы болса — екінші, егер үш қабырға туралы болса — үшінші.
- Бірінші белгі (екі бұрыш бойынша) — мектеп курсының жұмыс аттысы: ОГЭ есептерінің басым көпшілігі дәл осымен шешіледі. Үшінші бұрышты тексерудің қажеті жоқ, ол автоматты түрде тең болады: үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы әמיד \(180°\). Тең бұрыштардың дайын жұптарын ізде — екі үшбұрыштың ортақ бұрышы, вертикаль бұрыштар, параллель түзулер арқылы жатқан баламалас бұрыштар, екі тік бұрыш.
- Екінші белгі (екі қабырға және олардың арасындағы бұрыш бойынша) бұрыштың дәл осы екі қабырғаның арасында болуын талап етеді. Егер тең бұрыш олардың біреуіне қарама-қарсы жатса, белгі жұмыс істемейді және ұқсастық дәлелденбейді.
- Үшінші белгі (үш қабырға бойынша) — шартта мүлдем бұрыштар болмағанда, тек ұзындықтар болғанда. Әр үшбұрыштың қабырғаларын өсу ретімен жазып, ең кішісін ең кішісіне, орташасын орташасына, үлкенін үлкеніне бөліңіз: бұл жұптарды шатастырмайды. Ұқсастық тек үш қатынас сәйкес келгенде ғана болады.
Ұқсастық белгілерін теңдік белгілерімен шатастырмас үшін, айырмашылықты есте сақтаңыз: теңдікте қабырғалар сәйкес келуі керек, ұқсастықта — пропорционал болуы керек.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Ұқсас үшбұрыштардың периметрлері мен аудандарының қатынасы
Ұқсастықтың екі салдары бар, олар жиі сұралады, және олардың бірі — тақырыптың басты қақпаны.
Периметрлер \(k\) ретінде қатынасады. Екінші үшбұрыштың әрбір қабырғасы бірінші үшбұрыштың сәйкес қабырғасынан \(k\) есе үлкен, сондықтан қабырғалардың қосындысы дәл \(k\) есе артады:
Дәл осылай — «\(k\) есе» — барлық сызықтық шамалар әрекет етеді: биіктіктер, медианалар, биссектрисалар, іштей және сырттай сызылған шеңберлердің радиустары, орта сызықтар.
Аудандар \(k^2\) ретінде қатынасады. Ауданы бірден екі өлшемге байланысты: табаны да, биіктігі де \(k\) есе артады, ал көбейтіндісі — \(k \cdot k\) есе артады:
\(k = 5\) болсын. Онда периметр 5 есе артады (мысалы, 14 см болса — 70 см болады), ал ауданы — 25 есе артады (6 см² болса — 150 см² болады). Айырмашылық үлкен, және мұнда \(k^2\) орнына \(k\)-ны қою — емтихандағы ең жиі кездесетін қате.
Кері бағыт. Егер шартта аудандардың қатынасы берілсе, ұқсастық коэффициентін түбір астынан алады: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Мысалы, аудандар 16 : 1 қатынасында болса, онда қабырғалар — 4 : 1 қатынасында болады.
| k | Периметрлер P₂ : P₁ | Аудандар S₂ : S₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| кез келген | k : 1 | k² : 1 |
Тікбұрышты үшбұрыштардың ұқсастығы және тік бұрыштан түсірілген биіктік
Тікбұрышты үшбұрыштар үшін бірінші белгі жеңілдейді: олардың тік бұрыштары алдын ала тең, сондықтан бір сүйір бұрыштың теңдігі жеткілікті, үшбұрыштар ұқсас болуы үшін. Бұдан екі катет бойынша белгі шығады: егер бір үшбұрыштың катеттері екіншісінің катеттеріне пропорционал болса, үшбұрыштар ұқсас болады (бұл екінші белгі, өйткені катеттер арасындағы бұрыш — тік).
Бүкіл тақырыптың ең пайдалы конфигурациясы — тік бұрыш төбесінен жүргізілген биіктік. Ол үшбұрышты екі үшбұрышқа бөледі, және пайда болған үш үшбұрыштың барлығы бір-біріне ұқсас болады.
Неліктен: \(AHC\) үшбұрышында \(H\) бұрышы тік және үлкен үшбұрышпен ортақ \(A\) бұрышы бар, сондықтан \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). \(CHB\) үшбұрышында \(H\) бұрышы тік және \(B\) бұрышы ортақ, сондықтан \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Бұдан екі кіші үшбұрыш та бір-біріне ұқсас болады.
Бұл ұқсастықтардан орта геометриялық формулалары шығады (оларды тікбұрышты үшбұрыштағы пропорционал кесінділер деп атайды):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — биіктік гипотенузаны бөлетін кесінділердің орта геометриялық мәніне тең;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) және \(BC^2 = HB \cdot AB\) — катет бүкіл гипотенузаның және оған түсірілген проекциясының орта геометриялық мәніне тең.
Бастысы — қай кесінді «өздікі» екенін шатастырмау: \(AC\) катетінің проекциясы \(AH\), \(BC\) катетінің проекциясы \(HB\). Проекция әמיד гипотенузаның сол ұшына тиесілі болады, катет сияқты.
ОГЭ есептері: ұқсастық бойынша қабырғаны қалай табуға болады
Ұқсастыққа арналған есептердің басым көпшілігі бір алгоритм бойынша шешіледі:
- Тең бұрыштардың жұбын табыңыз — ортақ бұрыш, вертикаль бұрыштар, параллель түзулер арқылы жатқан баламалас бұрыштар немесе екі тік бұрыш.
- Ұқсастықты дұрыс төбелер ретімен жазыңыз — тең бұрыштар бірдей позицияларда тұратындай етіп.
- Сәйкес қабырғалардан пропорция құрыңыз (бірдей орындарда тұрған қабырғаларды алыңыз).
- Белгісізді өрнектеп, есептеңіз; соңында жауапты мағынасы бойынша тексеріңіз — кіші үшбұрыштың қабырғасы кіші болуы керек.
ОГЭ-де типтік конфигурациялар көп емес, және оларды бірден тану керек:
- Түзу, қабырғаға параллель. Түзу үшбұрыштан бастапқы үшбұрышқа ұқсас кіші үшбұрышты қиып алады. Басты ерекшелік: пропорцияға бүтін қабырғалардың қатынасы жалпы төбеден (\(BM : BA\)) алынады, ал кесінділерден емес (\(BM : MA\)).
- «Көбелек». Екі кесінді қиылысады, ал олардың ұштары параллель түзулермен қосылған — бір-біріне қарама-қарсы бағытталған екі ұқсас үшбұрыш пайда болады.
- Тік бұрыштан түсірілген биіктік — алдыңғы бөлімдегі конфигурация; ОГЭ-де онымен биіктік, катет немесе гипотенуза кесіндісі іздейді.
- Заттың биіктігі және көлеңкесі. Күн сәулелері параллель, сондықтан зат өзінің көлеңкесімен және ағаш өзінің көлеңкесімен ұқсас тікбұрышты үшбұрыштарды береді.
- Орта сызық — \(k = 2\) жағдайындағы дербес жағдай: ол қабырғаға параллель және одан екі есе қысқа.
B бұрышы ортақ, M және A бұрыштары сәйкес
O бұрыштары вертикаль, A және C бұрыштары баламалас
Ұқсас үшбұрыштарға есептерді шешу мысалдары
Мысал 1. Ұқсастық коэффициенті бойынша қабырғаларды табу
Есеп. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) және \(PQ = 21\) екені белгілі. \(QR\) және \(PR\)-ді табыңыз.
Қадам 1. Жазылымды позициялар бойынша талдаймыз: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Демек сәйкес жұптар: \(MN\) және \(PQ\), \(NK\) және \(QR\), \(MK\) және \(PR\).
Қадам 2. Екі қабырғасы да белгілі жалғыз жұп бойынша коэффициентті есептейміз:
Қадам 3. Екінші үшбұрыштың қалған қабырғалары сәйкес қабырғалардан 3 есе үлкен:
Жауап: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Тексеру: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — барлық қатынастар сәйкес келді.
Мысал 2. Екінші белгі бойынша ұқсастықты дәлелдеу
Есеп. \(ABC\) және \(DEF\) үшбұрыштарында: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), ал \(A\) және \(D\) бұрыштары тең екені белгілі. Үшбұрыштардың ұқсастығын дәлелдеңіз.
Қадам 1. Екінші белгінің басты шартын тексереміз: \(A\) бұрышы \(AB\) және \(AC\) қабырғаларының арасында, \(D\) бұрышы — \(DE\) және \(DF\) арасында орналасқан. Бұрыштар берілген қабырғалардың арасында — белгі қолданылады.
Қадам 2. Сәйкес қабырғалардың қатынастарын есептейміз:
Қадам 3. Екі жұп қабырғалар бірдей коэффициент \(k = 3\) бойынша пропорционал, олардың арасындағы бұрыштар тең — екінші белгі бойынша \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Жауап: үшбұрыштар ұқсас, \(k = 3\). Ескеріңіз: егер \(B\) және \(D\) бұрыштары тең болса, белгі жұмыс істемес еді — \(B\) бұрышы \(AB\) және \(AC\) арасында жатпайды.
Мысал 3. Түзу, қабырғаға параллель (ОГЭ есебі)
Есеп. \(ABC\) үшбұрышында \(M\) нүктесі \(AB\) қабырғасында, \(N\) нүктесі \(BC\) қабырғасында жатыр, сонымен \(MN \parallel AC\). \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\) екені белгілі. \(AC\)-ны табыңыз.
Қадам 1. \(MN \parallel AC\) болғандықтан, \(BMN\) және \(BAC\) бұрыштары сәйкес бұрыштар ретінде тең, ал \(B\) бұрышы — ортақ. Бірінші белгі бойынша \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (төбелер реті: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Қадам 2. Жалпы төбеден бастап бүтін қабырғаны табамыз: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Бұл басты ерекшелік — пропорцияға \(BA\) кіреді, \(MA\) емес.
Қадам 3. Сәйкес қабырғалар бойынша пропорция құрамыз:
Қадам 4. Осыдан \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Жауап: \(AC = 20\). Мұндағы ұқсастық коэффициенті 4-ке тең: үлкен үшбұрыш қиылған үшбұрыштан төрт есе үлкен.
Мысал 4. Периметрлер мен аудандар
Есеп. Ұқсас үшбұрыштардың периметрлері 18 см және 45 см. Кіші үшбұрыштың ауданы 16 см². Үлкенінің ауданын табыңыз.
Қадам 1. Периметрлер ұқсастық коэффициенті бойынша қатынасады:
Қадам 2. Аудандар коэффициенттің квадраты бойынша қатынасады: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Қадам 3. Кіші үшбұрыштың ауданын \(k^2\)-ге көбейтеміз:
Жауап: 100 см². Егер біз \(k = 2{,}5\)-ке көбейтсек, 40 см² аламыз — бұл бүкіл баллды жоғалтуға әкелетін типтік қате.
Мысал 5. Тік бұрыш төбесінен түсірілген биіктік
Есеп. \(ABC\) тікбұрышты үшбұрышындағы тік бұрыш \(C\) төбесінде, гипотенузаға \(CH\) биіктігі жүргізілген. \(AH = 4\) см, \(HB = 9\) см екені белгілі. \(CH\) биіктігін және үшбұрыштың ауданын табыңыз.
Қадам 1. Тік бұрыштан түсірілген биіктік гипотенуза кесінділерінің орта геометриялық мәні болып табылады, өйткені \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Қадам 2. Түбір аламыз: \(CH = 6\) см.
Қадам 3. Гипотенуза \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) см. Ауданы гипотенуза мен оған түсірілген биіктік арқылы есептеледі:
Жауап: \(CH = 6\) см, \(S = 39\) см².
Мысал 6. Ағаштың биіктігін көлеңкесі бойынша
Есеп. Биіктігі 2 м тік бағанның көлеңкесі 1,5 м. Сол сәтте ағаштың көлеңкесі 9 м. Ағаштың биіктігі қандай?
Қадам 1. Күн сәулелері параллель, сондықтан баған мен ағаш үшін сәуленің түсу бұрышы бірдей. Баған мен көлеңкесі және ағаш пен көлеңкесі ұқсас тікбұрышты үшбұрыштарды құрайды, тең сүйір бұрышы бар — демек, олар ұқсас.
Қадам 2. «Биіктік өзінің көлеңкесіне» пропорциясын құрамыз:
Қадам 3. Белгісіз биіктікті өрнектейміз:
Жауап: 12 м. Мағынасы бойынша тексеру: ағаштың көлеңкесі бағанның көлеңкесінен 6 есе ұзын, демек ағаш та 6 есе биік: \(2 \cdot 6 = 12\) м.
Ұқсас үшбұрыштарға арналған есептердегі жиі кездесетін қателер
-
Ұқсас үшбұрыштардың аудандары $k$ ретінде қатынасады деп санайды: $k = 3$ болғанда ауданды үш есе арттырады.
Аудандар коэффициенттің квадраты ретінде қатынасады: \(k = 3\) болғанда аудан \(3^2 = 9\) есе артық. Тек сызықтық шамалар — қабырғалар, периметр, биіктіктер, медианалар \(k\) ретінде қатынасады. Ереже-анықтама: аудан шаршы бірліктермен өлшенеді, демек коэффициент те оған квадрат түрінде кіреді.
-
Төбелер ретін елемейді: $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ жазылымынан $AB : LM$ пропорциясын құрады.
Төбелердің сәйкестігі жазылымдағы позициялармен белгіленеді: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). \(AB\)-ге сәйкес \(KL\) болады, ал \(BC\)-ге — \(LM\). Пропорция жазудан бұрын төбелер жұптарын бағанмен жазып алыңыз — бұл бес секунд алады және қателердің көпшілігін жояды.
-
Бір тең бұрыш бойынша немесе бұрышсыз екі пропорционал қабырға бойынша ұқсастықты дәлелдейді.
Бір тең бұрыш жеткіліксіз: екі үшбұрыштың бұрышы мүлдем басқа пішінде сәйкес келуі мүмкін. Толық белгі қажет — екі бұрыш, немесе екі қабырға және олардың арасындағы бұрыш, немесе үш қабырға.
-
Екінші белгіде берілген қабырғалар арасында жатпайтын бұрышты алады.
Екінші белгі тек екі берілген қабырғаның арасындағы бұрышпен жұмыс істейді. Егер \(AB\), \(AC\) белгілі және \(B\) бұрышы тең болса, белгі қолданылмайды — басқа жолды іздеңіз: тең бұрыштар жұбы немесе үшінші қабырға.
-
Коэффициентті кері бұрады: $k$-ны «кіші қабырғаны үлкенге» ретінде тауып, содан кейін оған көбейтіп үлкен үшбұрыштың қабырғасын алады.
Өзіңізбен бағытты келісіңіз: егер \(k\) екінші үшбұрыштың бірінші үшбұрышқа қатынасы болса, онда бірінші үшбұрыштың қабырғаларын \(k\)-ға көбейтеміз, ал екінші үшбұрыштың қабырғаларын \(k\)-ға бөлеміз. Соңғы тексеру мағынасы бойынша: кіші үшбұрыштың қабырғасы кіші болуы керек.
-
Параллель түзу туралы есепте кесінділерден пропорция құрады: $BM : MA = MN : AC$.
Ұқсас үшбұрыштар \(BMN\) және \(BAC\), ал олардың сәйкес қабырғалары — \(BM\) және \(BA\) (жалпы төбеден бүтін қабырға), \(MA\) кесіндісі емес. Алдымен \(BA = BM + MA\)-ны табыңыз, содан кейін ғана пропорция құрыңыз.
-
Ұқсастықты теңдікпен шатастырып, жауапта қабырғалардың жай тең екенін жазады.
Теңдік — \(k = 1\) болғандағы ұқсастықтың дербес жағдайы. Егер \(k \ne 1\) болса, үшбұрыштарда тек бұрыштар тең болады, ал қабырғалар \(k\) есе айырылады. Белгілері де әртүрлі: теңдікте СУС, УСУ, ССС сәйкес келетін қабырғалармен, ұқсастықта — пропорционал қабырғалар.
Сұрақтар мен жауаптар
Қандай үшбұрыштар ұқсас деп аталады?
Ұқсас деп аталатын үшбұрыштардың бұрыштары сәйкес тең, ал сәйкес қабырғалары пропорционал. Қарапайым тілмен айтқанда, бұл бірдей пішінді, бірақ әртүрлі өлшемді үшбұрыштар. Ұқсастық ∼ белгісімен жазылады: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Үшбұрыштардың ұқсастық коэффициенті дегеніміз не?
Ұқсастық коэффициенті k — бұл ұқсас үшбұрыштардың сәйкес қабырғаларының қатынасына тең сан: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Ол бір үшбұрыштың екіншісінен қанша есе үлкен екенін көрсетеді. k = 1 болғанда үшбұрыштар тең болады.
Үшбұрыштардың ұқсастығының қанша белгісі бар және олар қандай?
Үш белгі бар. Біріншісі — екі бұрыш бойынша: бір үшбұрыштың екі бұрышы екінші үшбұрыштың екі бұрышына тең. Екіншісі — екі қабырға және олардың арасындағы бұрыш бойынша: екі қабырға пропорционал және олардың арасындағы бұрыштар тең. Үшіншісі — үш қабырға бойынша: сәйкес қабырғалардың үш жұбы пропорционал.
Ұқсас үшбұрыштардың аудандары қалай қатынасады?
Ұқсас үшбұрыштардың аудандары ұқсастық коэффициентінің квадратына қатысты: S₂ : S₁ = k². Мысалы, k = 4 болғанда аудан 16 есе артық. Керісінше: егер аудандар 25 : 1 қатынасында болса, онда қабырғалар 5 : 1 қатынасында болады.
Ұқсас үшбұрыштардың периметрлері қалай қатынасады?
Периметрлер ұқсастық коэффициенті бойынша қатынасады: P₂ : P₁ = k. Дәл осылай барлық сызықтық элементтер — биіктіктер, медианалар, биссектрисалар, орта сызықтар, іштей және сырттай сызылған шеңберлердің радиустары әрекет етеді.
Үшбұрыштардың ұқсастығы олардың теңдігінен қалай ерекшеленеді?
Тең үшбұрыштарда бұрыштар да, қабырғалар да сәйкес келеді, сондықтан фигураларды бір-біріне жатқызуға болады. Ұқсас үшбұрыштарда тек бұрыштар тең болады, ал қабырғалар k коэффициенті бойынша пропорционал. Теңдік — бұл k = 1 болғандағы ұқсастықтың дербес жағдайы.
Тікбұрышты үшбұрыштардың ұқсастығын қалай дәлелдеуге болады?
Бір сүйір бұрыштың теңдігі жеткілікті: олардың тік бұрыштары әлдеқашан тең, демек бірінші белгі жұмыс істейді. Екінші әдіс — катеттердің пропорционалдығы: катеттер арасындағы бұрыш тік, сондықтан ұқсастықтың екінші белгісі қолданылады.
Неліктен тік бұрыштан түсірілген биіктік үш ұқсас үшбұрышты береді?
Тік бұрыш C төбесінен түсірілген CH биіктігі ABC үшбұрышын AHC және CHB үшбұрыштарына бөледі. AHC үшбұрышында H бұрышы тік және ABC үшбұрышымен ортақ A бұрышы бар, CHB үшбұрышында — H бұрышы тік және B бұрышы ортақ, сондықтан екеуі де бастапқы үшбұрышқа, демек бір-біріне ұқсас болады. Бұдан CH² = AH · HB, AC² = AH · AB және BC² = HB · AB формулалары шығады.
Үшбұрыштардың ұқсастығы қандай сыныпта өтіледі?
8 сыныпта геометрия сабақтарында — пропорционал кесінділер тақырыбынан кейін дереу. Сол жерде ұқсастықтың үш белгісі, аудандардың қатынасы және ұқсастықтың тікбұрышты үшбұрышқа қолданылуы зерттеледі. Бұл тақырып 9 сыныпта және ОГЭ есептерінде қолданылады.
