Питагоров теоремасы — 8-сынып геометриясының негізгі формуласы: тікбұрышты үшбұрышта катеттердің квадраттарының қосындысы гипотенузаның квадратына тең, яғни \(a^2 + b^2 = c^2\). Одан гипотенуза мен кез келген катетті, тікбұрыштың диагоналін және нүктелер арасындағы қашықтықты табуға арналған формулалар шығарылады. Бұл бетте — анықтама және формула, аудандар арқылы көрнекі дәлелдеу, кері теорема, 3-4-5 египеттік үшбұрышы, есептерді қадамдық талдаулар және өзіңізді тексеруге арналған интерактивті тренажер.
Питагоров теоремасы дегеніміз не және формуласы қалай айтылады
Питагоров теоремасы тек тікбұрышты үшбұрышта ғана жұмыс істейді — онда бұрыштарының бірі \(90°\) тең. Мұндай үшбұрыштың қабырғалары әртүрлі аталады:
- катеттер — тік бұрышты құрайтын екі қабырға;
- гипотенуза — тік бұрышқа қарсы жатқан, үшбұрыштың ең ұзын қабырғасы.
Теореманың тұжырымдамасы: тікбұрышты үшбұрышта гипотенузаның квадраты катеттердің квадраттарының қосындысына тең.
Мұндағы \(a\) және \(b\) — катеттер, \(c\) — гипотенуза. Кейде теореманы «геометриялық» тұрғыдан тұжырымдайды: гипотенузаға салынған квадраттың ауданы катеттерге салынған квадраттардың аудандарының қосындысына тең. Бұл бірдей теорема, тек сандар туралы емес, аудандар туралы айтылған.
Әріптердің ретін есте сақтауға қарапайым ереже көмектеседі: үлкен \(c\) әрпінің астында әрдайым ең ұзын қабырға жасырылады. Егер есепте гипотенузаны катетпен шатастырса, жауап дұрыс болмайды.
Питагоров теоремасының дәлелдеуі
Питагоров теоремасының жүзден астам дәлелдеуі бар. Мектепте ең көрнекісі — аудандар арқылы дәлелдеу қарастырылады. Біз \(a + b\) қабырғалы екі бірдей квадрат аламыз және әрқайсысына \(a\) және \(b\) катеттері бар төрт бірдей тікбұрышты үшбұрышты орналастырамыз — бірақ әртүрлі.
- Бірінші квадратта үшбұрыштарды бұрыштарға қарай жылжытамыз, сонда бос екі квадрат қалады: \(a\) қабырғалы және \(b\) қабырғалы. Олардың аудандары — \(a^2\) және \(b^2\).
- Екінші квадратта сол төрт үшбұрышты « желдеткіш » тәрізді орналастырамыз. Бос бір көлбеу квадрат қалады, оның қабырғасы \(c\), ауданы — \(c^2\).
- Үлкен квадраттардың аудандары тең: әрқайсысы \((a+b)^2\) тең. Үшбұрыштардың жалпы ауданы да тең: әрқайсысы \(\frac{ab}{2}\) алады, төртеуі — \(2ab\).
Бүтіндей және азайтылатын бөлік тең болғандықтан, қалдықтары да тең: \(a^2 + b^2 = c^2\). Теорема дәлелденді — екі квадраттың да аудандарының теңдеулері сызбаның астында жазылған.
Питагоров теоремасы бойынша гипотенуза мен катетті қалай табуға болады
Бір \(a^2 + b^2 = c^2\) формуласынан барлық жұмыс формулалары шығады: белгісіз қабырға теңдеуден өрнектеліп, квадраттық түбір алынады. Екі жағдайдың айырмашылығы тек біреу ғана — және дәл осы жерде жиі қателеседі:
- гипотенузаны катеттердің квадраттарының қосындысы арқылы іздейді — ол әрбір катеттен ұзын болуы керек;
- катетті — айырмасы арқылы: гипотенузаның квадратынан белгілі катеттің квадратын азайтады, нәтиже гипотенузадан кіші болуы керек.
Егер түбір астында теріс сан шықса, онда гипотенузаны катетпен шатастырған — сызбаға оралып, тік бұрышты ізде. Тағы бір егжей-тегжей: түбірді алуды ұмытпа, бұл қадамда ең жиі ұпай жоғалтады.
Барлық формулалары бар дайын жадынама — төменде.
| Ізделіп отырған зат | Формула және түсіндірме |
|---|---|
| Гипотенуза | c = √a2 + b2катеттердің квадраттарының қосындысының түбірі |
| Катет a | a = √c2 − b2гипотенуза мен екінші катеттің квадраттарының айырымының түбірі |
| Катет b | b = √c2 − a2симметриялы: екінші катеттің квадратын азайтамыз |
| Тексеру | a2 + b2 = c2 ?теңдік дұрыс → үшбұрыш тікбұрышты (кері теорема) |
Питагоров теоремасының кері теоремасы және египеттік үшбұрыш
Питагоров теоремасының кері теоремасы: егер үшбұрыштың бір қабырғасының квадраты екі басқа қабырғалардың квадраттарының қосындысына тең болса, онда бұл үшбұрыш тікбұрышты болады, ал тік бұрыш ең ұзын қабырғаға қарсы жатады.
Бұл жұмыс құралы: үш сан бойынша үшбұрыштың түрін транспортирмен өлшемей-ақ білуге болады. Әрекеттер реті мынадай:
- ең ұзын қабырғаны табу — ол гипотенузаға үміткер;
- екі кіші қабырғаны квадратқа шығарып, қосу;
- үлкен қабырғаның квадратымен салыстыру.
Егер теңдік шықса — үшбұрыш тікбұрышты. Мысалы, 6, 8 және 10 қабырғалары: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\), демек үшбұрыш тікбұрышты.
Теңдікті орындайтын бүтін сандар жиыны Питагоров үштіктері деп аталады. Ең танымалы — 3, 4, 5: мұндай үшбұрыш египеттік деп аталады, өйткені ежелгі Мысыр құрылысшылары жіпті 12 тең бөлікке бөліп, оны 3, 4 және 5 қабырғалы үшбұрышқа бүктеп, құрылыс алаңында дәл тік бұрыш алған. Бұл әдіс әлі күнге дейін қолданылады.
Питагоров теоремасы қайда қолданылады: өмірден және геометриядан алынған есептер
Питагоров теоремасы фигурада тікбұрышты үшбұрышты көруге болатын әрбір жағдайда қажет:
- Тікбұрыштың диагоналі. Диагональ тікбұрышты екі тікбұрышты үшбұрышқа бөледі, сондықтан \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\). Осылайша теледидар экранының диагоналін немесе бөлменің өлшемін есептейді.
- Тең бүйірлі үшбұрыштың биіктігі. Табанына жүргізілген биіктік оны екіге бөледі және тікбұрышты үшбұрыш береді — одан әрі сол формула жұмыс істейді.
- Квадраттың диагоналі. Егер қабырғасы \(a\) болса, онда \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\).
- Координаттық жазықтықтағы нүктелер арасындағы қашықтық. \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) формуласы — бұл координаттар айырымдарынан салынған үшбұрыш үшін Питагоров теоремасы.
- Тәжірибелік есептер. Стенаға тірелген баспалдақ; көлеңкейі бойынша ағаштың биіктігі; арқанның, тіректің, кабельдің ұзындығы — бұл есептердің барлығында тікбұрышты үшбұрыш құрады және формула қолданылады.
Басты шектеуді есте сақтау маңызды: Питагоров теоремасы тек тікбұрышты үшбұрыш үшін ғана дұрыс. Егер тік бұрыш болмаса, қабырғаларды 9-сыныпта оқылатын косинустар теоремасы байланыстырады.
Питагоров теоремасы бойынша есептерді шешу мысалдары
Мысал 1. Гипотенузаны табу
Есеп. Тікбұрышты үшбұрыштың катеттері \(9\) см және \(12\) см. Гипотенузасын табыңыз.
1-қадам. Біздің үшбұрышымыз үшін теореманы жазамыз: \(c^2 = a^2 + b^2\).
2-қадам. Катеттерді квадратқа шығарып, қосамыз:
3-қадам. Түбір аламыз: \(c = \sqrt{225} = 15\) см.
Жауап: \(15\) см. Мағынасы бойынша тексеру: гипотенуза әрбір катеттен ұзын болып шықты — бұл дұрыс.
Мысал 2. Катетті табу
Есеп. Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы \(25\) см, бір катеті — \(7\) см. Екінші катетін табыңыз.
1-қадам. Белгісіз катетті \(a^2 + b^2 = c^2\) формуласынан өрнектейміз: \(b^2 = c^2 - a^2\). Мұнда айырым, қосынды емес — катетті іздейміз, гипотенузаны емес.
2-қадам. Сандарды қоямыз:
3-қадам. Түбір аламыз: \(b = \sqrt{576} = 24\) см.
Жауап: \(24\) см. Сонымен қатар 7 – 24 – 25 Питагоров үштігін білдік.
Мысал 3. Баспалдақ туралы есеп
Есеп. Ұзындығы \(5\) м баспалдақ қабырғаға тірелген. Оның төменгі ұшы қабырғадан \(3\) м қашықтықта. Баспалдақ қабырғаға қандай биіктіктен тиеді?
1-қадам. Сызба жасаймыз: қабырға мен жер тік бұрыш жасайды, баспалдақ — гипотенуза. Демек, \(c = 5\) м, бір катет \(a = 3\) м, биіктік \(h\) — екінші катет.
2-қадам. Катетті айырым арқылы іздейміз:
3-қадам. \(h = \sqrt{16} = 4\) м.
Жауап: \(4\) м. Алдымызда сол 3 – 4 – 5 египеттік үшбұрышы тұр.
Мысал 4. Кері теорема бойынша үшбұрышты тексеру
Есеп. Үшбұрыштың қабырғалары \(10\), \(24\) және \(26\). Ол тікбұрышты ма?
1-қадам. Ең ұзын қабырғаны табамыз — ол \(26\). Егер үшбұрыш тікбұрышты болса, гипотенуза дәл сол болады.
2-қадам. Екі кіші қабырғаның квадраттарының қосындысын есептейміз: \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\).
3-қадам. Үлкен қабырғаның квадратымен салыстырамыз: \(26^2 = 676\). Сандар сәйкес келді.
Жауап: иә, үшбұрыш тікбұрышты, тік бұрыш \(26\) қабырғасына қарсы жатады. Бұл \(5 – 12 – 13\) үштігі, \(2\)-ге көбейтілген.
Мысал 5. Тікбұрыштың диагоналі
Есеп. Тікбұрыштың қабырғалары \(8\) см және \(15\) см. Оның диагоналін табыңыз.
1-қадам. Диагональ тікбұрышты екі тең тікбұрышты үшбұрышқа бөледі: тікбұрыштың қабырғалары катеттер, диагональ — гипотенуза болады.
2-қадам. Формуланы қолданамыз: \(d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}\).
3-қадам. \(d = 17\) см.
Жауап: \(17\) см. Мұнда \(8 – 15 – 17\) Питагоров үштігі жұмыс істейді.
Питагоров теоремасы бойынша есептердегі жиі кездесетін қателер
-
Катет пен гипотенузаны шатастырады: ең ұзын қабырғаны катет ретінде қойып, түбір астында теріс сан алады.
Гипотенуза — әрдайым тік бұрышқа қарсы жатқан және әрдайым ең ұзын қабырға. Шешуді сызбадан бастаңыз: тік бұрышты белгілеңіз, сонда оған қарсы жатқан қабырға көрінеді.
-
Қабырғалардың өздерін емес, олардың квадраттарын қосады: $a + b = c$ деп жазып, 6 және 8 катеттері үшін 14 алады.
Теорема тек квадраттарды байланыстырады: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), сондықтан \(c = 10\). Катеттердің қосындысы әрдайым гипотенузадан үлкен — бұл жауап емес, қатенің белгісі.
-
Түбірді алуды ұмытып, жауапқа $c^2$ орнына $c$-ны жазады: «гипотенуза 225-ке тең».
Есептеулерден кейін әрдайым қабырғаның квадраты қалады. Соңғы қадам — түбір: \(c = \sqrt{225} = 15\). Жауапты жазар алдында есептің сұрағын қайталап оқуды әдетке айналдырыңыз.
-
Катетті қосынды арқылы іздейді: $b = \sqrt{c^2 + a^2}$.
Қосынды арқылы тек гипотенузаны іздейді. Катетті — айырым арқылы: \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\). Тексеру оңай: катет гипотенузадан кіші болуы керек.
-
Тік бұрышы жоқ үшбұрышқа қолданады — мысалы, тең бүйірліге немесе кез келген 5, 6, 7 қабырғалы үшбұрышқа.
Питагоров теоремасы тек тікбұрышты үшбұрышта ғана жұмыс істейді. Егер тік бұрыш болмаса, оны алдымен «жасайды» — биіктік жүргізеді — немесе 9-сынып курсынан косинустар теоремасын қолданады.
-
Кері теоремада дұрыс емес қабырғамен салыстырады: кез келген екі қабырғаның квадраттарын қосып, олардың қосындысын есептейді.
Ең ұзын қабырғаның квадраты екі басқа қабырғалардың квадраттарының қосындысына тең болуы керек. 6, 8, 11 қабырғалары үшін \(6^2 + 8^2 = 100\) және \(11^2 = 121\) салыстырамыз: теңдік жоқ, үшбұрыш тікбұрышты емес.
Сұрақтар мен жауаптар
Питагоров теоремасының формуласы қалай айтылады?
a² + b² = c², мұндағы a және b — тікбұрышты үшбұрыштың катеттері, ал c — гипотенуза. Сөзбен: гипотенузаның квадраты катеттердің квадраттарының қосындысына тең.
Катеттер белгілі болса, гипотенузаны қалай табуға болады?
Катеттерді квадратқа шығарып, қосып, түбір ал: c = √(a² + b²). Мысалы, 6 және 8 катеттері үшін c = √(36 + 64) = √100 = 10 аламыз.
Гипотенуза мен екінші катет белгілі болса, катетті қалай табуға болады?
Квадраттардың айырымы арқылы: a = √(c² − b²). Мысалы, гипотенуза 13 және катет 5 болса, екінші катет √(169 − 25) = √144 = 12 болады.
Питагоров теоремасы қандай сыныпта өтіледі?
8-сыныпта геометрия сабақтарында, «Тікбұрышты үшбұрыш» тақырыбында. Сондай-ақ онда Питагоров теоремасының кері теоремасы және Питагоров үштіктері оқытылады, ал кейіннен 9-сыныпта және ОЖЭ мен ЖҰЭ есептерінде қолданылады.
Питагоров теоремасының кері теоремасы дегеніміз не?
Бұл кері бағыттағы тұжырым: егер үшбұрыштың бір қабырғасының квадраты екі басқа қабырғалардың квадраттарының қосындысына тең болса, онда үшбұрыш тікбұрышты болады. Ол үш сан бойынша үшбұрыштың түрін, бұрыштарын өлшемей-ақ анықтауға мүмкіндік береді.
Египеттік үшбұрыш деп қандай үшбұрыш аталады?
3, 4 және 5 қабырғалы үшбұрыш: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Ежелгі Мысырда 12 тең бөлікке бөлінген жіпті пайдаланып, құрылыстарды белгілеу кезінде дәл тік бұрыш алған.
Питагоров теоремасы тікбұрышты емес үшбұрышта жұмыс істей ме?
Жоқ. a² + b² = c² теңдігі тек тік бұрышта орындалады. Кез келген үшбұрыш үшін косинустар теоремасы c² = a² + b² − 2ab·cos C қолданылады, ол 90° бұрышта дәл Питагоров теоремасына айналады.
Питагоров теоремасын қарапайым жолмен қалай дәлелдеуге болады?
Ең көрнекі мектеп дәлелдеуі — аудандар арқылы. \(a + b\) қабырғалы екі бірдей квадрат алады және әрқайсысына \(a\) және \(b\) катеттері бар төрт тең тікбұрышты үшбұрышты орналастырады. Біріншісінде \(a^2\) және \(b^2\) квадраттары бос қалады, екіншісінде — \(c^2\) квадраты. Үлкен квадраттар мен үшбұрыштар тең болғандықтан, \(a^2 + b^2 = c^2\).
