Lingkaran membentuk dua jenis sudut utama: sudut pusat — dengan titik sudut di pusat lingkaran, dan sudut keliling — dengan titik sudut pada lingkaran itu sendiri. Hubungan keduanya sederhana: sudut pusat sama dengan busur yang dihadapinya, sedangkan sudut keliling adalah setengahnya. Di halaman ini — definisi, teorema sudut keliling dengan semua akibatnya, gambar-gambar yang jelas, pembahasan soal langkah demi langkah, dan simulator interaktif tempat Anda bisa langsung menguji diri.
Jenis-jenis Sudut pada Lingkaran: Sudut Pusat dan Sudut Keliling
Jika kita menggambar dua ruas garis dari satu titik pada lingkaran, akan terbentuk sebuah sudut. Tergantung di mana letak titik sudutnya, ada dua jenis sudut utama pada lingkaran:
- Sudut Pusat — sudut dengan titik sudut di pusat lingkaran \(O\). Sisi-sisinya adalah jari-jari.
- Sudut Keliling — sudut yang titik sudutnya terletak pada lingkaran, dan sisi-sisinya memotong lingkaran (yaitu merupakan tali busur).
Setiap sudut ini menghadap sebuah busur — bagian dari lingkaran yang terletak di dalam sudut. Busurlah yang menghubungkan sudut pusat dan sudut keliling: keduanya dinyatakan melalui besar derajat busur tersebut.
Jika titik sudut berada di dalam lingkaran (tetapi bukan di pusat) atau di luarnya — itu bukan lagi sudut keliling atau sudut pusat: untuk sudut-sudut seperti itu ada rumus tersendiri, yang akan dibahas di akhir halaman.
∠AOC = busur AC = 120°
∠ABC = ½ busur AC = 60°
Teorema Sudut Keliling dan Besar Sudut Keliling
Sudut pusat sama dengan busur yang dihadapinya — begitulah cara ukuran derajat busur diperkenalkan. Jika \(\angle AOC = 120°\), maka busur \(AC\) juga sama dengan \(120°\).
Teorema Sudut Keliling: sudut keliling besarnya adalah setengah dari busur yang dihadapinya:
Dari sini — hubungan utama antara sudut keliling dan sudut pusat: sudut keliling adalah setengah dari sudut pusat yang menghadap busur yang sama:
Besar sudut keliling tidak bergantung pada di mana tepatnya titik sudut berada pada lingkaran — yang penting hanyalah busur yang dihadapinya. Oleh karena itu, gambar di bawah ini patut diingat sebagai "gambar kerja" untuk seluruh topik ini: busur hijau dan dua sudut yang menghadapnya.
Sudut Keliling dan Sudut Pusat: Sifat dan Akibat
Dari teorema sudut keliling, secara langsung diturunkan sifat-sifat yang menjadi dasar sebagian besar soal sekolah:
- Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar. Masing-masing sama dengan setengah dari busur yang sama — yang berarti mereka juga sama besar satu sama lain, di mana pun titik sudutnya berada.
- Sudut keliling yang menghadap diameter adalah sudut siku-siku. Diameter membagi lingkaran menjadi dua setengah lingkaran sebesar \(180°\), sehingga sudut tersebut sama dengan \(180° : 2 = 90°\). Kebalikannya juga berlaku: jika sudut keliling adalah sudut siku-siku, maka ia menghadap diameter.
- Sudut keliling bisa tumpul. Jika busur lebih besar dari \(180°\), sudutnya lebih besar dari \(90°\) — rumus "setengah busur" berlaku tanpa pengecualian.
Sifat-sifat ini juga bekerja "secara terbalik": misalnya, dengan kesamaan sudut yang menghadap ruas garis yang sama, dapat dibuktikan bahwa empat titik terletak pada satu lingkaran.
Sudut Keliling dan Sudut Luar: Segiempat Tali Busur
Jika keempat titik sudut sebuah segiempat terletak pada lingkaran, segiempat itu disebut segiempat tali busur (dan lingkarannya disebut lingkaran luar). Sudut-sudut segiempat semacam itu adalah sudut keliling, sehingga teorema yang sama berlaku untuk mereka.
- Jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur adalah \(180°\). Sudut \(A\) dan \(C\) menghadap dua busur yang bersama-sama membentuk seluruh lingkaran (\(360°\)), sehingga \(\angle A + \angle C = 360° : 2 = 180°\).
- Sudut luar segiempat tali busur sama dengan sudut dalam di hadapannya. Sudut luar melengkapi sudut dalamnya menjadi \(180°\) — sama seperti sudut yang berhadapan dengannya.
- Sifat jumlah sudut ini juga merupakan ciri: jika jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada sebuah segiempat adalah \(180°\), maka sebuah lingkaran dapat digambarkan di sekelilingnya. Oleh karena itu, setiap persegi panjang dapat dibuatkan lingkaran luar, tetapi belah ketupat (selain persegi) tidak bisa.
Selain sudut keliling, dalam soal-soal juga sering ditemui sudut antara dua garis singgung — sudut yang dibentuk oleh dua garis singgung yang ditarik dari satu titik di luar lingkaran. Sudut ini sama dengan setengah selisih busur-busur yang dipotongnya pada lingkaran.
Contoh Penyelesaian Soal Sudut Keliling dan Sudut Pusat
Contoh 1. Sudut Keliling dari Busur
Soal. Sudut keliling \(ABC\) menghadap busur \(AC\) yang besarnya \(120°\). Tentukan \(\angle ABC\).
Langkah 1. Ingat kembali teorema: sudut keliling sama dengan setengah busur yang dihadapinya.
Langkah 2. Substitusikan: \(\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°\).
Jawaban: \(60°\).
Contoh 2. Sudut Pusat dari Sudut Keliling
Soal. Sudut keliling \(ABC\) adalah \(40°\). Tentukan sudut pusat \(AOC\) yang menghadap busur \(AC\) yang sama.
Langkah 1. Sudut pusat dua kali lebih besar dari sudut keliling yang menghadap busur yang sama: \(\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC\).
Langkah 2. Hitung: \(\angle AOC = 2 \cdot 40° = 80°\). Sekaligus kita tahu besar busur: \(AC = 80°\).
Jawaban: \(80°\).
Contoh 3. Sudut yang Menghadap Diameter
Soal. \(AC\) adalah diameter lingkaran, titik \(B\) terletak pada lingkaran, \(\angle BAC = 35°\). Tentukan \(\angle BCA\).
Langkah 1. Sudut \(ABC\) menghadap diameter \(AC\), berarti \(\angle ABC = 90°\) — segitiga \(ABC\) adalah segitiga siku-siku.
Langkah 2. Jumlah sudut dalam segitiga adalah \(180°\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
Jawaban: \(55°\).
Contoh 4. Segiempat Tali Busur
Soal. Segiempat \(ABCD\) adalah segiempat tali busur, \(\angle A = 70°\), \(\angle B = 80°\). Tentukan sudut \(C\) dan \(D\).
Langkah 1. Jumlah sudut yang berhadapan pada segiempat tali busur adalah \(180°\): \(\angle C = 180° - \angle A = 180° - 70° = 110°\).
Langkah 2. Demikian pula \(\angle D = 180° - \angle B = 180° - 80° = 100°\).
Pemeriksaan. \(70° + 80° + 110° + 100° = 360°\) — jumlah sudut segiempat sesuai.
Jawaban: \(\angle C = 110°\), \(\angle D = 100°\).
Kesalahan Umum dalam Soal Sudut pada Lingkaran
-
Mencampuradukkan sudut keliling dengan sudut pusat: untuk sudut dengan titik sudut di pusat, mengambil setengah busur (atau sebaliknya).
Pertama, lihat titik sudutnya. Titik sudut di pusat \(O\) — itu sudut pusat, besarnya sama dengan busur. Titik sudut pada lingkaran — itu sudut keliling, besarnya setengah dari busur.
-
Mengambil busur yang salah: untuk sudut keliling, menghitung busur tempat titik sudutnya berada.
Sudut keliling menghadap busur yang berada 'di dalam' sudut — titik sudutnya selalu berada di busur yang lain. Dalam notasi \(\angle ABC\), sudut tersebut menghadap busur \(AC\) yang tidak mengandung titik \(B\).
-
Mengalikan dan membagi dengan 2 'ke arah yang salah': dari sudut keliling ke sudut pusat, mereka membagi, bukan mengalikan.
Ingat: sudut keliling itu 'kecil' (setengah busur), sudut pusat itu 'besar' (seluruh busur). Dari sudut keliling ke sudut pusat — kalikan 2, dari sudut pusat ke sudut keliling — bagi 2.
-
Menganggap sudut apa pun yang sisinya memotong lingkaran sebagai sudut keliling — misalnya, sudut antara tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran.
Pada sudut keliling, titik sudutnya harus terletak pada lingkaran itu sendiri. Sudut dengan titik sudut di dalam lingkaran sama dengan setengah jumlah busur yang dipotong, dengan titik sudut di luar lingkaran — setengah selisihnya: ini adalah rumus yang berbeda.
-
Pada segiempat tali busur, menjumlahkan sudut yang bersebelahan menjadi $180°$ bukannya sudut yang berhadapan.
Sifat ini hanya berlaku untuk sudut yang berhadapan: \(\angle A + \angle C = 180°\) dan \(\angle B + \angle D = 180°\). Sudut yang bersebelahan pada segiempat tali busur bisa berukuran berapa saja.
Tanya Jawab
Berapa besar sudut keliling?
Sudut keliling sama dengan setengah dari busur yang dihadapinya. Misalnya, jika busur sama dengan 120°, sudut kelilingnya adalah 60°. Inilah teorema sudut keliling — rumus utama topik ini.
Bagaimana hubungan antara sudut keliling dan sudut pusat yang menghadap busur yang sama?
Sudut pusat dua kali lebih besar dari sudut keliling: ∠AOC = 2·∠ABC. Sudut pusat sama dengan busurnya, sedangkan sudut keliling sama dengan setengahnya.
Mengapa sudut keliling yang menghadap diameter besarnya 90°?
Diameter membentuk setengah lingkaran — busur sebesar 180°. Sudut keliling sama dengan setengah busur: 180° : 2 = 90°. Oleh karena itu, setiap segitiga yang salah satu sisinya adalah diameter lingkaran luarnya adalah segitiga siku-siku.
Bisakah sudut keliling menjadi sudut tumpul?
Ya. Jika busur yang dihadapi sudut lebih besar dari 180°, sudutnya tumpul: misalnya, busur 210° bersesuaian dengan sudut keliling 105°. Namun, sudut keliling selalu kurang dari 180°.
Apa itu sudut antara dua garis singgung dan apa bedanya dengan sudut keliling?
Sudut antara dua garis singgung dibentuk oleh dua garis singgung yang ditarik ke lingkaran dari satu titik luar. Titik sudutnya berada di luar lingkaran, dan besarnya sama dengan setengah selisih busur yang dipotongnya. Pada sudut keliling, titik sudutnya berada pada lingkaran, dan besarnya sama dengan setengah dari satu busur.
Jenis sudut apa lagi yang ada pada lingkaran?
Selain sudut pusat dan sudut keliling, ada juga sudut antara dua tali busur (titik sudut di dalam lingkaran — setengah jumlah busur), sudut antara dua garis potong dari titik luar (setengah selisih busur), dan sudut antara garis singgung dan tali busur (setengah busur yang berada di dalamnya). Semuanya dinyatakan melalui busur lingkaran.
