Segitiga sebangun adalah segitiga yang memiliki bentuk yang sama tetapi ukuran berbeda: sudut-sudutnya sama besar secara berurutan, dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Bilangan yang menunjukkan seberapa kali satu segitiga lebih besar dari yang lain disebut faktor kesebangunan \(k\). Tiga kriteria membantu membuktikan kesebangunan, dan perbandingan keliling serta luas mengikuti aturan sederhana: keliling berbanding seperti \(k\), dan luas seperti \(k^2\). Halaman ini berisi definisi dan penulisan kesebangunan dengan urutan titik sudut yang benar, ketiga kriteria, kesebangunan segitiga siku-siku dan tinggi dari sudut siku-siku, pembahasan soal OSN "cari sisi" dan simulator interaktif.
Apa itu segitiga sebangun dan faktor kesebangunan
Dua segitiga disebut sebangun jika memenuhi dua syarat sekaligus:
- sudut-sudutnya sama besar secara berurutan — setiap sudut segitiga pertama memiliki sudut yang sama besar di segitiga kedua;
- sisi-sisi yang bersesuaian sebanding — ketiga perbandingan menghasilkan bilangan yang sama.
Sisi-sisi yang bersesuaian adalah sisi-sisi yang terletak berhadapan dengan sudut-sudut yang sama besar. Sisi-sisi inilah yang membentuk pasangan, di antara mana perbandingan dihitung.
Kesebangunan ditulis dengan simbol \(\sim\):
Faktor kesebangunan \(k\) adalah perbandingan yang sama dari sisi-sisi yang bersesuaian:
Jika \(k > 1\), segitiga kedua lebih besar dari yang pertama; jika \(k < 1\) — lebih kecil; jika \(k = 1\) segitiga tersebut kongruen, karena kekongruenan adalah kasus khusus dari kesebangunan.
Urutan Titik Sudut dalam Penulisan Bukan Formalitas
Penulisan \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) dibaca secara ketat berdasarkan posisi: \(A\) bersesuaian dengan \(A_1\), \(B\) — dengan \(B_1\), \(C\) — dengan \(C_1\). Dari sini langsung terlihat sudut mana yang sama besar (\(\angle A = \angle A_1\)) dan sisi mana yang bersesuaian (\(AB\) dan \(A_1B_1\), \(BC\) dan \(B_1C_1\), \(AC\) dan \(A_1C_1\)).
Jika huruf diubah dan ditulis \(\triangle ABC \sim \triangle B_1A_1C_1\), maka akan diperoleh pernyataan yang berbeda: sekarang \(\angle A = \angle B_1\), dan sisi yang bersesuaian dengan \(AB\) adalah sisi \(B_1A_1\). Tidak boleh menyusun perbandingan berdasarkan sisi yang "terlihat berdekatan" — hanya berdasarkan posisi dalam penulisan. Oleh karena itu, pertama-tama tuliskan pasangan sudut yang sama besar, lalu sesuaikan urutan huruf di bawahnya.
Tiga kriteria kesebangunan segitiga
Tidak perlu memeriksa keenam syarat dari definisi: kesebangunan dibuktikan dengan salah satu dari tiga kriteria. Masing-masing adalah seperangkat data minimum, yang secara otomatis menyiratkan kesamaan semua sudut dan perbandingan semua sisi.
Cara memilih kriteria. Lihat apa yang diberikan dalam soal: jika tentang sudut — kriteria pertama, jika tentang dua sisi dan sudut — kriteria kedua, jika tentang ketiga sisi — kriteria ketiga.
- Kriteria Pertama (berdasarkan dua sudut) — tulang punggung kurikulum sekolah: hampir semua soal OSN diselesaikan dengan ini. Sudut ketiga tidak perlu diperiksa, ia sama besar secara otomatis: jumlah sudut segitiga selalu \(180°\). Cari pasangan sudut yang sama besar — sudut yang sama dari dua segitiga, sudut bertolak belakang, sudut berseberangan dalam pada garis sejajar, dua sudut siku-siku.
- Kriteria Kedua (berdasarkan dua sisi dan sudut di antaranya) mengharuskan sudut tersebut tepat di antara kedua sisi tersebut. Jika sudut yang sama besar terletak berhadapan dengan salah satunya, kriteria tidak berlaku dan kesebangunan tidak terbukti.
- Kriteria Ketiga (berdasarkan tiga sisi) — ketika tidak ada sudut sama sekali dalam soal, hanya panjang sisi. Tuliskan sisi-sisi setiap segitiga dari yang terkecil hingga terbesar, lalu bagi sisi terkecil dengan sisi terkecil, sisi tengah dengan sisi tengah, sisi terbesar dengan sisi terbesar: dengan cara ini pasangan tidak akan tertukar. Kesebangunan ada hanya jika ketiga perbandingan sama.
Agar tidak tertukar antara kriteria kesebangunan dan kriteria kekongruenan, ingat perbedaannya: dalam kekongruenan sisi harus sama persis, dalam kesebangunan — harus sebanding.
→ △ABC ∼ △A1B1C1
Perbandingan keliling dan luas segitiga sebangun
Kesebangunan memiliki dua konsekuensi yang paling sering ditanyakan, dan salah satunya adalah jebakan utama topik ini.
Keliling berbanding seperti \(k\). Setiap sisi segitiga kedua \(k\) kali lebih besar dari sisi yang bersesuaian pada segitiga pertama, oleh karena itu jumlah sisi bertambah tepat \(k\) kali:
Demikian pula — "\(k\) kali" — berlaku untuk semua besaran linier: tinggi, median, garis bagi, jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luar, garis tengah.
Luas berbanding seperti \(k^2\). Luas bergantung pada dua dimensi sekaligus: alas dan tinggi bertambah \(k\) kali, dan perkaliannya — \(k \cdot k\) kali:
Misalkan \(k = 5\). Maka keliling bertambah 5 kali (misalnya, dari 14 cm menjadi 70 cm), sedangkan luas — sudah 25 kali (dari 6 cm² menjadi 150 cm²). Perbedaannya sangat besar, dan mengganti \(k^2\) dengan \(k\) di sini adalah kesalahan paling umum saat ujian.
Arah sebaliknya. Jika perbandingan luas diberikan dalam soal, faktor kesebangunan dicari dengan akar kuadrat: \(k = \sqrt{S_2 : S_1}\). Misalnya, luas berbanding 16 : 1, berarti sisi-sisinya — 4 : 1.
| k | Keliling K₂ : K₁ | Luas L₂ : L₁ |
|---|---|---|
| 2 | 2 : 1 | 4 : 1 |
| 3 | 3 : 1 | 9 : 1 |
| 1,5 | 1,5 : 1 | 2,25 : 1 |
| apa pun | k : 1 | k² : 1 |
Kesebangunan segitiga siku-siku dan tinggi dari sudut siku-siku
Untuk segitiga siku-siku, kriteria pertama disederhanakan: sudut siku-siku mereka sama besar secara otomatis, jadi cukup dengan kesamaan satu sudut lancip agar segitiga sebangun. Dari sini juga muncul kriteria berdasarkan dua sisi siku-siku: jika sisi siku-siku satu segitiga sebanding dengan sisi siku-siku segitiga lain, maka segitiga tersebut sebangun (ini adalah kriteria kedua, karena sudut di antara sisi siku-siku adalah sudut siku-siku).
Konfigurasi paling berguna dari seluruh topik ini adalah tinggi yang ditarik dari puncak sudut siku-siku. Ia membagi segitiga menjadi dua, dan ketiga segitiga yang dihasilkan sebangun satu sama lain.
Mengapa demikian: segitiga \(AHC\) memiliki sudut siku-siku di \(H\) dan sudut \(A\) yang sama dengan segitiga besar, jadi \(\triangle AHC \sim \triangle ACB\). Segitiga \(CHB\) memiliki sudut siku-siku di \(H\) dan sudut \(B\) yang sama, jadi \(\triangle CHB \sim \triangle ACB\). Akibatnya, kedua segitiga kecil juga sebangun satu sama lain.
Dari kesebangunan ini diperoleh rumus rata-rata geometris (disebut juga segmen proporsional pada segitiga siku-siku):
- \(CH^2 = AH \cdot HB\) — tinggi adalah rata-rata geometris dari segmen-segmen yang membagi hipotenusa;
- \(AC^2 = AH \cdot AB\) dan \(BC^2 = HB \cdot AB\) — sisi siku-siku adalah rata-rata geometris dari seluruh hipotenusa dan proyeksinya pada hipotenusa.
Yang terpenting adalah tidak tertukar segmen mana yang "milik": sisi siku-siku \(AC\) memiliki proyeksi \(AH\), sisi siku-siku \(BC\) memiliki proyeksi \(HB\). Proyeksi selalu berdekatan dengan ujung hipotenusa yang sama dengan sisi siku-siku.
Soal OSN tentang kesebangunan: cara mencari sisi
Hampir semua soal kesebangunan diselesaikan dengan satu algoritma:
- Cari sepasang sudut yang sama besar — sudut yang sama, sudut bertolak belakang, sudut berseberangan dalam pada garis sejajar, atau dua sudut siku-siku.
- Tulis kesebangunan dengan urutan titik sudut yang benar — sehingga sudut yang sama besar berada pada posisi yang sama.
- Buat perbandingan dari sisi-sisi yang bersesuaian (ambil sisi yang berada pada posisi yang sama dalam penulisan).
- Ekspresikan yang tidak diketahui dan hitung; di akhir, periksa jawabannya sesuai logika — sisi segitiga yang lebih kecil harus lebih kecil.
Konfigurasi umum di OSN tidak banyak, dan sebaiknya dikenali sekilas:
- Garis sejajar dengan salah satu sisi. Garis memotong segitiga menjadi segitiga kecil yang sebangun dengan segitiga awal. Kiat utama: dalam perbandingan, gunakan perbandingan seluruh sisi dari titik sudut yang sama (\(BM : BA\)), bukan segmen (\(BM : MA\)).
- "Kupu-kupu". Dua segmen berpotongan, dan ujung-ujungnya dihubungkan oleh garis sejajar — terbentuk dua segitiga sebangun yang saling berhadapan.
- Tinggi dari sudut siku-siku — konfigurasi dari bagian sebelumnya; di OSN, ini digunakan untuk mencari tinggi, sisi siku-siku, atau segmen hipotenusa.
- Bayangan dan tinggi benda. Sinar matahari sejajar, sehingga benda dengan bayangannya dan pohon dengan bayangannya membentuk segitiga siku-siku yang sebangun.
- Garis tengah — kasus khusus dengan \(k = 2\): ia sejajar dengan sisi dan panjangnya setengah dari sisi tersebut.
sudut B sama, sudut di M dan A sehadap
sudut di O bertolak belakang, sudut A dan C berseberangan dalam
Contoh penyelesaian soal kesebangunan segitiga
Contoh 1. Mencari sisi berdasarkan faktor kesebangunan
Soal. \(\triangle MNK \sim \triangle PQR\). Diketahui \(MN = 7\), \(NK = 11\), \(MK = 9\) dan \(PQ = 21\). Cari \(QR\) dan \(PR\).
Langkah 1. Analisis penulisan berdasarkan posisi: \(M \leftrightarrow P\), \(N \leftrightarrow Q\), \(K \leftrightarrow R\). Jadi pasangan yang bersesuaian adalah: \(MN\) dan \(PQ\), \(NK\) dan \(QR\), \(MK\) dan \(PR\).
Langkah 2. Hitung faktor kesebangunan dari satu-satunya pasangan di mana kedua sisi diketahui:
Langkah 3. Sisi-sisi lain dari segitiga kedua 3 kali lebih besar dari sisi yang bersesuaian:
Jawaban: \(QR = 33\), \(PR = 27\). Pemeriksaan: \(33 : 11 = 27 : 9 = 3\) — semua perbandingan sama.
Contoh 2. Membuktikan kesebangunan berdasarkan kriteria kedua
Soal. Pada segitiga \(ABC\) dan \(DEF\) diketahui: \(AB = 5\), \(AC = 9\), \(DE = 15\), \(DF = 27\), dan sudut \(A\) sama besar dengan sudut \(D\). Buktikan bahwa segitiga-segitiga tersebut sebangun.
Langkah 1. Periksa syarat utama kriteria kedua: sudut \(A\) terletak di antara sisi \(AB\) dan \(AC\), sudut \(D\) — di antara \(DE\) dan \(DF\). Sudut di antara sisi-sisi yang diketahui — kriteria dapat diterapkan.
Langkah 2. Hitung perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian:
Langkah 3. Dua pasang sisi sebanding dengan faktor kesebangunan yang sama \(k = 3\), sudut di antaranya sama besar — berdasarkan kriteria kedua \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\).
Jawaban: segitiga-segitiga tersebut sebangun, \(k = 3\). Perhatikan: jika sudut yang sama besar adalah sudut \(B\) dan \(D\), kriteria tidak akan berlaku — sudut \(B\) tidak terletak di antara \(AB\) dan \(AC\).
Contoh 3. Garis sejajar dengan salah satu sisi (soal OSN)
Soal. Pada segitiga \(ABC\), titik \(M\) terletak pada sisi \(AB\), titik \(N\) — pada sisi \(BC\), sedemikian sehingga \(MN \parallel AC\). Diketahui \(BM = 4\), \(MA = 12\), \(MN = 5\). Cari \(AC\).
Langkah 1. Karena \(MN \parallel AC\), maka sudut \(BMN\) dan \(BAC\) sama besar sebagai sudut sehadap, dan sudut \(B\) adalah sudut yang sama. Berdasarkan kriteria pertama \(\triangle BMN \sim \triangle BAC\) (urutan titik sudut: \(M \leftrightarrow A\), \(N \leftrightarrow C\)).
Langkah 2. Cari panjang seluruh sisi dari titik sudut yang sama: \(BA = BM + MA = 4 + 12 = 16\). Ini adalah kiat utama — dalam perbandingan digunakan \(BA\), bukan \(MA\).
Langkah 3. Susun perbandingan berdasarkan sisi-sisi yang bersesuaian:
Langkah 4. Dari sini \(AC = 5 \cdot 4 = 20\).
Jawaban: \(AC = 20\). Faktor kesebangunan di sini adalah 4: segitiga besar 4 kali lebih besar dari segitiga yang terpotong.
Contoh 4. Keliling dan luas
Soal. Keliling dua segitiga sebangun adalah 18 cm dan 45 cm. Luas segitiga yang lebih kecil adalah 16 cm². Cari luas segitiga yang lebih besar.
Langkah 1. Keliling berbanding seperti faktor kesebangunan:
Langkah 2. Luas berbanding seperti kuadrat faktor kesebangunan: \(k^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25\).
Langkah 3. Kalikan luas segitiga yang lebih kecil dengan \(k^2\):
Jawaban: 100 cm². Jika kita mengalikan dengan \(k = 2{,}5\), kita akan mendapatkan 40 cm² — kesalahan umum yang menyebabkan kehilangan seluruh poin.
Contoh 5. Tinggi dari puncak sudut siku-siku
Soal. Pada segitiga siku-siku \(ABC\) dengan sudut siku-siku di \(C\), ditarik tinggi \(CH\) ke hipotenusa. Diketahui \(AH = 4\) cm, \(HB = 9\) cm. Cari tinggi \(CH\) dan luas segitiga.
Langkah 1. Tinggi dari sudut siku-siku adalah rata-rata geometris dari segmen hipotenusa, karena \(\triangle AHC \sim \triangle CHB\):
Langkah 2. Cari akar kuadratnya: \(CH = 6\) cm.
Langkah 3. Hipotenusa \(AB = AH + HB = 4 + 9 = 13\) cm. Luas dihitung menggunakan hipotenusa dan tinggi yang ditarik ke sana:
Jawaban: \(CH = 6\) cm, \(S = 39\) cm².
Contoh 6. Tinggi pohon berdasarkan bayangan
Soal. Tongkat vertikal setinggi 2 m menghasilkan bayangan sepanjang 1,5 m. Pada saat yang sama, bayangan pohon adalah 9 m. Berapa tinggi pohon?
Langkah 1. Sinar matahari sejajar, sehingga sudut datang sinar untuk tongkat dan pohon sama. Tongkat dengan bayangannya dan pohon dengan bayangannya membentuk segitiga siku-siku dengan sudut lancip yang sama besar — jadi, mereka sebangun.
Langkah 2. Susun perbandingan "tinggi terhadap bayangannya":
Langkah 3. Ekspresikan tinggi yang tidak diketahui:
Jawaban: 12 m. Pemeriksaan sesuai logika: bayangan pohon 6 kali lebih panjang dari bayangan tongkat, jadi pohon juga 6 kali lebih tinggi: \(2 \cdot 6 = 12\) m.
Kesalahan umum dalam soal kesebangunan segitiga
-
Menganggap luas segitiga sebangun berbanding seperti $k$: dengan $k = 3$, luas bertambah tiga kali lipat.
Luas berbanding seperti kuadrat faktor kesebangunan: dengan \(k = 3\), luas bertambah \(3^2 = 9\) kali lipat. Hanya besaran linier — sisi, keliling, tinggi, median — yang berbanding seperti \(k\). Petunjuk aturan: luas diukur dalam satuan kuadrat, jadi faktor kesebangunan juga masuk dalam kuadrat.
-
Mengabaikan urutan titik sudut: dari penulisan $\triangle ABC \sim \triangle KLM$ menyusun perbandingan $AB : LM$.
Kesesuaian titik sudut ditentukan oleh posisi dalam penulisan: \(A \leftrightarrow K\), \(B \leftrightarrow L\), \(C \leftrightarrow M\). Sisi yang bersesuaian dengan \(AB\) adalah \(KL\), dan dengan \(BC\) — \(LM\). Sebelum menulis perbandingan, tulis pasangan titik sudut secara vertikal — ini hanya memakan waktu lima detik dan menghilangkan sebagian besar kesalahan.
-
Membuktikan kesebangunan hanya dengan satu sudut yang sama besar atau dua sisi yang sebanding tanpa sudut.
Satu sudut yang sama besar tidak cukup: dua segitiga bisa memiliki sudut yang sama tetapi bentuk yang sangat berbeda. Diperlukan kriteria lengkap — dua sudut, atau dua sisi dan sudut di antaranya, atau ketiga sisi.
-
Pada kriteria kedua, mengambil sudut yang tidak terletak di antara sisi-sisi yang diketahui.
Kriteria kedua hanya berlaku dengan sudut di antara dua sisi yang diketahui. Jika diketahui \(AB\), \(AC\) dan sudut \(B\) sama besar, kriteria tidak berlaku — cari cara lain: sepasang sudut yang sama besar atau sisi ketiga.
-
Membalik faktor kesebangunan: menghitung $k$ sebagai "sisi yang lebih kecil dibagi sisi yang lebih besar", lalu mengalikannya untuk mendapatkan sisi segitiga yang lebih besar.
Sepakati arah perhitungan sendiri: jika \(k\) adalah perbandingan sisi segitiga kedua terhadap segitiga pertama, maka sisi segitiga pertama dikalikan dengan \(k\), dan sisi segitiga kedua dibagi dengan \(k\). Pemeriksaan akhir sesuai logika: sisi segitiga yang lebih kecil harus lebih kecil.
-
Dalam soal garis sejajar dengan salah satu sisi, menyusun perbandingan dari segmen: $BM : MA = MN : AC$.
Segitiga \(BMN\) dan \(BAC\) sebangun, dan sisi-sisi yang bersesuaian adalah \(BM\) dan \(BA\) (seluruh sisi dari titik sudut yang sama), bukan segmen \(MA\). Pertama, cari \(BA = BM + MA\), baru kemudian susun perbandingan.
-
Tertukar antara kesebangunan dan kekongruenan dan dalam jawaban menulis bahwa sisi-sisinya sama besar.
Kekongruenan adalah kasus khusus kesebangunan dengan \(k = 1\). Jika \(k \ne 1\), segitiga hanya memiliki sudut yang sama besar, sedangkan sisi-sisinya berbeda \(k\) kali lipat. Kriterianya juga berbeda: untuk kekongruenan adalah SSS, SAS, ASA dengan sisi yang sama persis, untuk kesebangunan — sisi yang sebanding.
Tanya Jawab
Segitiga apa yang disebut sebangun?
Segitiga yang sudut-sudutnya sama besar secara berurutan dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding disebut sebangun. Sederhananya, ini adalah segitiga dengan bentuk yang sama tetapi ukuran berbeda. Kesebangunan ditulis dengan simbol ∼: △ABC ∼ △A₁B₁C₁.
Apa itu faktor kesebangunan segitiga?
Faktor kesebangunan k adalah bilangan yang sama dengan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian dari segitiga sebangun: k = A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = A₁C₁ : AC. Ia menunjukkan seberapa kali satu segitiga lebih besar dari yang lain. Dengan k = 1, segitiga-segitiga tersebut kongruen.
Berapa banyak kriteria kesebangunan segitiga dan apa saja?
Ada tiga kriteria. Pertama — berdasarkan dua sudut: dua sudut satu segitiga sama besar dengan dua sudut segitiga lain. Kedua — berdasarkan dua sisi dan sudut di antaranya: dua sisi sebanding dan sudut di antaranya sama besar. Ketiga — berdasarkan tiga sisi: ketiga pasang sisi yang bersesuaian sebanding.
Bagaimana perbandingan luas segitiga sebangun?
Luas segitiga sebangun berbanding seperti kuadrat faktor kesebangunan: L₂ : L₁ = k². Misalnya, dengan k = 4, luasnya 16 kali lebih besar. Sebaliknya: jika luas berbanding 25 : 1, maka sisi-sisinya berbanding 5 : 1.
Bagaimana perbandingan keliling segitiga sebangun?
Keliling berbanding seperti faktor kesebangunan: K₂ : K₁ = k. Demikian pula semua elemen linier — tinggi, median, garis bagi, garis tengah, jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luar.
Apa perbedaan kesebangunan segitiga dengan kekongruenan?
Pada segitiga kongruen, sudut dan sisi sama besar, sehingga bangunannya dapat ditumpuk. Pada segitiga sebangun, hanya sudut yang sama besar, sedangkan sisi-sisinya sebanding dengan faktor k. Kekongruenan adalah kasus khusus kesebangunan dengan k = 1.
Bagaimana membuktikan kesebangunan segitiga siku-siku?
Cukup dengan kesamaan satu sudut lancip: sudut siku-siku mereka sudah sama besar, jadi kriteria pertama berlaku. Cara kedua — perbandingan sisi siku-siku: sudut di antara sisi siku-siku adalah sudut siku-siku, sehingga kriteria kedua kesebangunan dapat diterapkan.
Mengapa tinggi dari sudut siku-siku menghasilkan tiga segitiga sebangun?
Tinggi CH dari puncak sudut siku-siku C membagi segitiga ABC menjadi segitiga AHC dan CHB. AHC memiliki sudut siku-siku di H dan sudut A yang sama dengan ABC, CHB memiliki sudut siku-siku di H dan sudut B yang sama, oleh karena itu keduanya sebangun dengan segitiga awal, dan juga sebangun satu sama lain. Dari sini diperoleh rumus CH² = AH · HB, AC² = AH · AB, dan BC² = HB · AB.
Pada kelas berapa kesebangunan segitiga dipelajari?
Pada kelas 8 dalam pelajaran geometri — segera setelah topik tentang segmen proporsional. Di sana juga dipelajari tiga kriteria kesebangunan, perbandingan luas, dan penerapan kesebangunan pada segitiga siku-siku. Selanjutnya topik ini digunakan di kelas 9 dan dalam soal-soal OSN.
