Teorema Pythagoras adalah rumus utama geometri kelas 8: dalam segitiga siku-siku, jumlah kuadrat sisi siku-siku sama dengan kuadrat hipotenusa, yaitu \(a^2 + b^2 = c^2\). Dari sini diturunkan rumus untuk mencari hipotenusa dan salah satu sisi siku-siku, diagonal persegi panjang, dan jarak antar titik. Halaman ini berisi definisi dan rumus, bukti visual melalui luas, teorema kebalikan, segitiga Mesir 3-4-5, pembahasan soal langkah demi langkah, dan simulator interaktif untuk menguji pemahaman.
Apa itu teorema Pythagoras dan bagaimana bunyinya
Teorema Pythagoras hanya berlaku pada segitiga siku-siku — yaitu segitiga yang salah satu sudutnya \(90°\). Sisi-sisi segitiga semacam itu memiliki nama yang berbeda:
- sisi siku-siku (atau katet) — dua sisi yang membentuk sudut siku-siku;
- hipotenusa — sisi di seberang sudut siku-siku, sisi terpanjang dari segitiga.
Pernyataan teorema: dalam segitiga siku-siku, kuadrat hipotenusa sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-siku.
Di sini \(a\) dan \(b\) adalah sisi siku-siku, \(c\) adalah hipotenusa. Terkadang teorema dirumuskan secara 'geometris': luas persegi yang dibangun di atas hipotenusa sama dengan jumlah luas persegi yang dibangun di atas sisi siku-siku. Ini adalah teorema yang sama, hanya diungkapkan dalam bentuk luas, bukan angka.
Untuk mengingat urutan huruf, ada aturan sederhana: huruf besar \(c\) selalu merujuk pada sisi terpanjang. Jika dalam soal hipotenusa tertukar dengan sisi siku-siku, jawabannya akan salah.
Bukti Teorema Pythagoras
Ada lebih dari seratus bukti teorema Pythagoras yang diketahui. Di sekolah, yang paling visual dibahas — bukti melalui luas. Ambil dua persegi identik dengan sisi \(a + b\) dan susun di masing-masing empat segitiga siku-siku identik dengan sisi siku-siku \(a\) dan \(b\) — tetapi dengan cara yang berbeda.
- Di persegi pertama, geser segitiga ke sudut-sudut sehingga tersisa dua persegi kosong: satu dengan sisi \(a\) dan satu dengan sisi \(b\). Luasnya adalah \(a^2\) dan \(b^2\).
- Di persegi kedua, susun keempat segitiga yang sama membentuk 'kipas'. Tersisa satu persegi miring dengan sisi \(c\), luasnya adalah \(c^2\).
- Luas persegi besar sama: masing-masing \((a+b)^2\). Jumlah luas segitiga juga sama: masing-masing menempati \(\frac{ab}{2}\), keempatnya menjadi \(2ab\).
Karena keseluruhan dan bagian yang dikurangi sama, maka sisanya juga sama: \(a^2 + b^2 = c^2\). Teorema terbukti — keseimbangan luas untuk kedua persegi ditulis di bawah gambar.
Cara mencari hipotenusa dan sisi siku-siku menggunakan teorema Pythagoras
Dari satu rumus \(a^2 + b^2 = c^2\) diperoleh semua rumus kerja dalam topik ini: sisi yang tidak diketahui diekspresikan dari kesamaan dan akar kuadrat diekstraksi. Perbedaan antara kedua kasus hanya satu — dan di sinilah kesalahan paling sering terjadi:
- hipotenusa dicari melalui jumlah kuadrat sisi siku-siku — hipotenusa harus lebih panjang dari salah satu sisi siku-siku;
- sisi siku-siku — melalui selisih: kuadrat hipotenusa dikurangi kuadrat sisi siku-siku yang diketahui, dan hasilnya harus lebih kecil dari hipotenusa.
Jika bilangan negatif muncul di bawah akar, berarti hipotenusa tertukar dengan sisi siku-siku — kembali ke gambar dan cari sudut siku-siku. Dan satu detail lagi: akar di akhir wajib ada, langkah ini paling sering kehilangan poin.
Berikut adalah ringkasan lengkap dengan semua rumus.
| Apa yang dicari | Rumus dan penjelasan |
|---|---|
| Hipotenusa | c = √a2 + b2akar dari jumlah kuadrat sisi siku-siku |
| Sisi siku-siku a | a = √c2 − b2akar dari selisih kuadrat hipotenusa dan sisi siku-siku lainnya |
| Sisi siku-siku b | b = √c2 − a2simetris: kurangi kuadrat sisi siku-siku lainnya |
| Pemeriksaan | a2 + b2 = c2 ?kesamaan benar → segitiga siku-siku (teorema kebalikan) |
Teorema Pythagoras Kebalikan dan Segitiga Mesir
Teorema Pythagoras Kebalikan: jika kuadrat salah satu sisi segitiga sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku, dan sudut siku-siku terletak di seberang sisi terpanjang.
Ini adalah alat kerja: dengan tiga angka, Anda dapat mengetahui jenis segitiga tanpa mengukurnya dengan busur derajat. Urutan tindakannya adalah sebagai berikut:
- temukan sisi terpanjang — ini adalah kandidat hipotenusa;
- kuadratkan dua sisi lainnya dan jumlahkan;
- bandingkan dengan kuadrat sisi terpanjang.
Jika hasilnya adalah kesamaan, segitiga tersebut siku-siku. Misalnya, sisi 6, 8, dan 10: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2\), jadi segitiga tersebut siku-siku.
Kumpulan bilangan bulat yang memenuhi kesamaan disebut tripel Pythagoras. Yang paling terkenal adalah 3, 4, 5: segitiga semacam itu disebut segitiga Mesir, karena para pembangun di Mesir Kuno mengukur tali dengan 12 bagian yang sama dan membentuknya menjadi segitiga dengan sisi 3, 4, dan 5 untuk mendapatkan sudut siku-siku yang tepat di lokasi konstruksi. Trik ini masih digunakan hingga sekarang.
Di mana teorema Pythagoras diterapkan: soal dari kehidupan dan geometri
Teorema Pythagoras diperlukan setiap kali segitiga siku-siku dapat dilihat dalam sebuah bangun:
- Diagonal persegi panjang. Diagonal membagi persegi panjang menjadi dua segitiga siku-siku, sehingga \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\). Dengan cara ini diagonal layar TV atau ukuran ruangan dihitung.
- Tinggi segitiga sama kaki. Tinggi yang ditarik ke alas membaginya menjadi dua dan membentuk segitiga siku-siku — di sini rumus yang sama berlaku.
- Diagonal persegi. Jika sisinya \(a\), maka \(d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}\).
- Jarak antara titik-titik pada bidang koordinat. Rumus \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\) adalah teorema Pythagoras untuk segitiga yang dibangun di atas selisih koordinat.
- Soal praktis. Tangga yang disandarkan ke dinding; tinggi pohon berdasarkan bayangannya; panjang tali, penahan, kabel — dalam semua soal ini, segitiga siku-siku dibuat dan rumusnya diterapkan.
Penting untuk diingat batasan utamanya: teorema Pythagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku. Jika tidak ada sudut siku-siku, sisi-sisinya dihubungkan oleh teorema kosinus, yang dipelajari di kelas 9.
Contoh penyelesaian soal teorema Pythagoras
Contoh 1. Mencari Hipotenusa
Soal. Sisi siku-siku segitiga siku-siku adalah \(9\) cm dan \(12\) cm. Cari panjang hipotenusanya.
Langkah 1. Tulis teorema untuk segitiga kita: \(c^2 = a^2 + b^2\).
Langkah 2. Kuadratkan sisi siku-siku dan jumlahkan:
Langkah 3. Ekstrak akar: \(c = \sqrt{225} = 15\) cm.
Jawaban: \(15\) cm. Pemeriksaan berdasarkan logika: hipotenusa ternyata lebih panjang dari setiap sisi siku-siku — memang seharusnya begitu.
Contoh 2. Mencari Sisi Siku-siku
Soal. Hipotenusa segitiga siku-siku adalah \(25\) cm, salah satu sisi siku-sikunya \(7\) cm. Cari panjang sisi siku-siku lainnya.
Langkah 1. Ekspresikan sisi siku-siku yang tidak diketahui dari rumus \(a^2 + b^2 = c^2\): \(b^2 = c^2 - a^2\). Di sini selisih, bukan jumlah — kita mencari sisi siku-siku, bukan hipotenusa.
Langkah 2. Masukkan angka:
Langkah 3. Ekstrak akar: \(b = \sqrt{576} = 24\) cm.
Jawaban: \(24\) cm. Sekalian kita mengetahui tripel Pythagoras \(7 - 24 - 25\).
Contoh 3. Soal Tangga
Soal. Sebuah tangga sepanjang \(5\) m disandarkan ke dinding. Ujung bawahnya berjarak \(3\) m dari dinding. Pada ketinggian berapa tangga menyentuh dinding?
Langkah 1. Buat gambar: dinding dan tanah membentuk sudut siku-siku, tangga adalah hipotenusa. Jadi, \(c = 5\) m, salah satu sisi siku-siku \(a = 3\) m, ketinggian \(h\) adalah sisi siku-siku lainnya.
Langkah 2. Cari sisi siku-siku melalui selisih:
Langkah 3. \(h = \sqrt{16} = 4\) m.
Jawaban: \(4\) m. Di depan kita ada segitiga Mesir \(3 - 4 - 5\).
Contoh 4. Memeriksa Segitiga dengan Teorema Kebalikan
Soal. Sisi-sisi segitiga adalah \(10\), \(24\), dan \(26\). Apakah segitiga ini siku-siku?
Langkah 1. Temukan sisi terpanjang — yaitu \(26\). Jika segitiga siku-siku, maka sisi inilah hipotenusanya.
Langkah 2. Hitung jumlah kuadrat dua sisi yang lebih pendek: \(10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676\).
Langkah 3. Bandingkan dengan kuadrat sisi yang lebih panjang: \(26^2 = 676\). Angka-angkanya cocok.
Jawaban: ya, segitiga tersebut siku-siku, sudut siku-siku terletak di seberang sisi \(26\). Ini adalah tripel \(5 - 12 - 13\) yang dikalikan \(2\).
Contoh 5. Diagonal Persegi Panjang
Soal. Sisi-sisi persegi panjang adalah \(8\) cm dan \(15\) cm. Cari panjang diagonalnya.
Langkah 1. Diagonal membagi persegi panjang menjadi dua segitiga siku-siku yang sama: sisi-sisi persegi panjang menjadi sisi siku-siku, diagonal menjadi hipotenusa.
Langkah 2. Terapkan rumus: \(d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289}\).
Langkah 3. \(d = 17\) cm.
Jawaban: \(17\) cm. Di sini berlaku tripel Pythagoras \(8 - 15 - 17\).
Kesalahan umum dalam soal teorema Pythagoras
-
Tertukar antara sisi siku-siku dan hipotenusa: memasukkan sisi terpanjang sebagai sisi siku-siku dan mendapatkan bilangan negatif di bawah akar.
Hipotenusa — selalu sisi di seberang sudut siku-siku dan selalu yang terpanjang. Mulailah solusi dengan gambar: tandai sudut siku-siku, dan akan terlihat sisi mana yang terletak di seberangnya.
-
Menjumlahkan sisi-sisi itu sendiri, bukan kuadratnya: menulis $a + b = c$ dan untuk sisi siku-siku 6 dan 8 mendapatkan 14.
Teorema menghubungkan tepatnya kuadrat: \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\), jadi \(c = 10\). Jumlah sisi siku-siku itu sendiri selalu lebih besar dari hipotenusa — ini bukan jawaban, melainkan tanda kesalahan.
-
Lupa mengekstrak akar dan menulis $c^2$ sebagai jawaban, bukan $c$: 'hipotenusa adalah 225'.
Setelah perhitungan, kuadrat sisi selalu tersisa. Langkah terakhir adalah akar: \(c = \sqrt{225} = 15\). Jadikan kebiasaan untuk membaca ulang soal sebelum menulis jawaban.
-
Mencari sisi siku-siku melalui penjumlahan: $b = \sqrt{c^2 + a^2}$.
Melalui penjumlahan hanya dicari hipotenusa. Sisi siku-siku — melalui selisih: \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\). Pemeriksaan sederhana: sisi siku-siku harus lebih kecil dari hipotenusa.
-
Menerapkan teorema pada segitiga tanpa sudut siku-siku — misalnya, pada segitiga sama kaki atau segitiga sembarang dengan sisi 5, 6, 7.
Teorema Pythagoras hanya berlaku pada segitiga siku-siku. Jika tidak ada sudut siku-siku, ia harus 'dibuat' terlebih dahulu — dengan menarik garis tinggi — atau menggunakan teorema kosinus dari kursus kelas 9.
-
Dalam teorema kebalikan, membandingkan dengan sisi yang salah: mengkuadratkan dua sisi sembarang dan menjumlahkannya.
Kuadrat sisi terpanjang harus sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya. Untuk sisi 6, 8, 11 bandingkan \(6^2 + 8^2 = 100\) dan \(11^2 = 121\): tidak ada kesamaan, segitiga tersebut tidak siku-siku.
Pertanyaan dan Jawaban
Bagaimana bunyi rumus teorema Pythagoras?
a² + b² = c², di mana a dan b adalah sisi siku-siku segitiga siku-siku, dan c adalah hipotenusa. Dalam kata-kata: kuadrat hipotenusa sama dengan jumlah kuadrat sisi siku-siku.
Bagaimana cara mencari hipotenusa jika sisi siku-sikunya diketahui?
Kuadratkan sisi siku-siku, jumlahkan, dan ekstrak akarnya: c = √(a² + b²). Misalnya, dengan sisi siku-siku 6 dan 8, kita mendapatkan c = √(36 + 64) = √100 = 10.
Bagaimana cara mencari sisi siku-siku jika hipotenusa dan sisi siku-siku lainnya diketahui?
Melalui selisih kuadrat: a = √(c² − b²). Misalnya, dengan hipotenusa 13 dan sisi siku-siku 5, sisi siku-siku lainnya adalah √(169 − 25) = √144 = 12.
Pada kelas berapa teorema Pythagoras diajarkan?
Pada kelas 8 dalam pelajaran geometri, dalam topik 'Segitiga Siku-siku'. Di sana juga dipelajari teorema kebalikan Pythagoras dan tripel Pythagoras, dan selanjutnya teorema ini digunakan di kelas 9 serta dalam soal-soal OGE dan ЕГЭ.
Apa itu teorema Pythagoras kebalikan?
Ini adalah pernyataan sebaliknya: jika kuadrat salah satu sisi segitiga sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya, maka segitiga tersebut siku-siku. Ini memungkinkan untuk menentukan jenis segitiga dari tiga angka, tanpa mengukur sudut.
Segitiga apa yang disebut segitiga Mesir?
Segitiga dengan sisi 3, 4, dan 5: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Di Mesir Kuno, menggunakan tali yang dibagi menjadi 12 bagian yang sama, segitiga ini digunakan untuk mendapatkan sudut siku-siku yang tepat saat menandai bangunan.
Apakah teorema Pythagoras berlaku pada segitiga non-siku-siku?
Tidak. Kesamaan a² + b² = c² hanya berlaku ketika sudutnya siku-siku. Untuk segitiga sembarang, digunakan teorema kosinus c² = a² + b² − 2ab·cos C, yang ketika sudutnya 90° persis berubah menjadi teorema Pythagoras.
Bagaimana cara membuktikan teorema Pythagoras dengan cara sederhana?
Bukti sekolah yang paling visual adalah melalui luas. Ambil dua persegi identik dengan sisi a + b dan susun di masing-masing empat segitiga siku-siku yang sama dengan sisi siku-siku a dan b. Di persegi pertama, tersisa persegi a² dan b², di persegi kedua — persegi c². Karena persegi besar dan segitiga identik, maka a² + b² = c².
