Teorema kosinus menghubungkan tiga sisi segitiga dan salah satu sudutnya: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Teorema ini berlaku pada segitiga apa pun, sehingga di kelas 9 teorema ini menggantikan teorema Pythagoras di mana tidak ada sudut siku-siku. Teorema ini digunakan untuk mencari sisi ketiga jika diketahui dua sisi lainnya dan sudut di antaranya, dan berdasarkan akibatnya \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) — sudut apa pun dari tiga sisi dan jenis segitiga. Halaman ini berisi formulasi dan ketiga bentuk rumus, pembuktian, tabel kosinus, ringkasan "sinus atau kosinus", pembahasan soal OGE, dan simulator untuk menguji diri sendiri.
Teorema Kosinus: Formulasi dan Rumus
Teorema kosinus berlaku pada segitiga apa pun — tidak memerlukan sudut siku-siku. Teorema ini menghubungkan tiga sisi dan satu sudut, sehingga digunakan untuk mencari sisi jika diketahui dua sisi lainnya dan sudut di antaranya.
Formulasi. Kuadrat salah satu sisi segitiga sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya dikurangi dua kali hasil kali kedua sisi tersebut dengan kosinus sudut di antara keduanya.
Di sini \(a\), \(b\), \(c\) adalah sisi-sisi segitiga, dan \(C\) adalah sudut di antara sisi \(a\) dan \(b\); sisi \(c\) terletak berhadapan dengan sudut ini. Huruf-huruf dapat diganti apa saja — rumus ini simetris, sehingga memiliki tiga bentuk yang setara:
Aturan utama substitusi: ambil sudut yang diapit oleh dua sisi dalam perkalian, dan cari sisi yang berhadapan dengannya. Jika mengambil sudut yang "berdekatan", semua angka akan berasal dari kondisi soal, dan jawabannya akan salah.
Mengapa Teorema Pythagoras adalah Kasus Khusus dari Teorema Kosinus
Mari substitusikan sudut siku-siku ke dalam rumus, yaitu \(C = 90°\). Kosinus sudut siku-siku adalah nol, sehingga suku ketiga menjadi nol seluruhnya:
Ini persis sama dengan teorema Pythagoras yang kita kenal dari kelas 8. Oleh karena itu, teorema kosinus disebut sebagai generalisasinya: Pythagoras adalah "kasus khusus saat 90°", sedangkan teorema kosinus berlaku untuk semua sudut sekaligus.
Suku \(-2ab\cos C\) dapat dipahami sebagai koreksi untuk sudut yang bukan siku-siku:
- sudut lancip, \(\cos C > 0\) — koreksi dikurangi, sisi \(c\) menjadi lebih pendek daripada yang diberikan oleh Pythagoras;
- sudut siku-siku, \(\cos C = 0\) — tidak ada koreksi, tersisa \(c^2 = a^2 + b^2\);
- sudut tumpul, \(\cos C < 0\) — koreksi ditambahkan, sisi \(c\) menjadi lebih panjang.
Pembuktian Teorema Kosinus
Pembuktian sekolah yang paling singkat adalah menggunakan koordinat. Tempatkan titik C di titik asal, dan sisi b = CA searah sumbu x. Maka koordinat titik-titiknya adalah:
- C(0; 0) — titik asal;
- A(b; 0) — titik pada sumbu x berjarak b dari titik asal;
- B(a cos C; a sin C) — titik yang berjarak a dari titik asal pada sudut C terhadap sumbu x.
Sisi c adalah panjang segmen AB. Hitung menggunakan rumus jarak antara dua titik:
Buka kurung:
Kelompokkan suku-suku dengan \(a^2\) dan terapkan identitas trigonometri dasar \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\):
Yang terbukti. Perhatikan: tidak ada persyaratan bahwa sudut C harus lancip. Jika tumpul, kosinusnya negatif, koordinat \(a\cos C\) bergeser ke kiri dari sumbu y, tetapi semua perhitungan tetap sama — oleh karena itu teorema ini berlaku untuk segitiga apa pun.
Akibat: Cara Mencari Sudut dari Tiga Sisi
Dari teorema kosinus, kita dapat mengekspresikan kosinus itu sendiri — ini adalah akibat utamanya. Dengan ini, kita dapat mencari sudut ketika ketiga sisi diketahui:
Di pembilang adalah jumlah kuadrat dua sisi yang berdekatan dengan sudut, dikurangi kuadrat sisi yang berhadapan dengannya. Di penyebut adalah dua kali hasil kali sisi-sisi yang berdekatan. Untuk sudut lain, rumusnya sama:
Urutan penyelesaian:
- pilih sudut yang dicari dan tentukan sisi mana yang berhadapan dengannya — kuadratnya masuk ke pembilang dengan tanda minus;
- hitung pecahannya (penyebut selalu positif, tanda ditentukan hanya oleh pembilang);
- cari sudutnya sendiri menggunakan tabel nilai atau melalui arccos.
Tips berguna: mulailah dengan sisi terbesar. Sisi terbesar berhadapan dengan sudut terbesar, dan hanya sudut ini yang bisa menjadi siku-siku atau tumpul — dua sudut lainnya dalam segitiga selalu lancip.
Kosinus Sudut Tumpul: Tabel Nilai
Dalam soal-soal sekolah, sudut hampir selalu "tabel": 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Sudut lancip memiliki kosinus positif, sudut siku-siku bernilai nol, dan sudut tumpul — negatif. Nilai untuk sudut tumpul diperoleh dari nilai untuk sudut lancip menggunakan aturan reduksi \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\): misalnya, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Apa artinya ini dalam praktik: untuk sudut tumpul, ekspresi \(-2ab\cos C\) menjadi plus — minus dikali minus. Untuk sudut \(120°\), rumusnya terlihat seperti ini:
Di sinilah kesalahan paling sering terjadi: mensubstitusikan \(0{,}5\) alih-alih \(-0{,}5\) dan mendapatkan sisi yang lebih pendek dari kedua sisi yang diberikan. Ini jelas tidak mungkin — sisi terpanjang segitiga berhadapan dengan sudut tumpul.
| Sudut | Kosinus |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Cara Menentukan Jenis Segitiga dari Tiga Sisi
Teorema kosinus memungkinkan kita mengetahui jenis segitiga tanpa mengukur sudut dengan busur derajat. Tanda pecahan \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) hanya bergantung pada pembilang: penyebut \(2ab\) selalu positif. Ini berarti, cukup bandingkan kuadrat sisi terpanjang dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya.
Misalkan \(c\) adalah sisi terpanjang, maka sudut terbesar \(C\) berhadapan dengannya:
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → sudut \(C\) lancip. Sudut lainnya lebih kecil darinya, yang berarti ketiga sudutnya lancip — segitiga lancip;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — segitiga siku-siku (ini adalah kebalikan dari teorema Pythagoras);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → sudut \(C\) tumpul — segitiga tumpul.
Tidak perlu memeriksa sudut lainnya: dalam segitiga hanya ada satu sudut siku-siku atau tumpul. Dan jangan lupa tentang ketaksamaan segitiga — jika sisi terpanjang tidak kurang dari jumlah dua sisi lainnya, segitiga dengan sisi-sisi tersebut tidak ada.
Teorema Sinus atau Kosinus: Cara Memilih
Kedua teorema menyelesaikan satu tugas — mencari sisi dan sudut segitiga yang tidak diketahui — tetapi diterapkan berdasarkan set data yang berbeda. Teorema sinus menghubungkan sisi dan sudut yang berhadapan dengannya:
Dari sini aturan pemilihannya: jika dalam soal sudah ada pasangan "sisi dan sudut di depannya" — berlaku teorema sinus; jika pasangan seperti itu tidak ada — mulailah dengan teorema kosinus. Ringkasan empat set data sekolah ada di tabel.
Seringkali soal diselesaikan dalam dua langkah: pertama teorema kosinus memberikan sisi ketiga, lalu teorema sinus dengan cepat mencari sudut yang tersisa.
| Apa yang diketahui | Apa yang diterapkan |
|---|---|
| SDSDua sisi dan sudut di antaranya | Teorema Kosinusmencari sisi ketiga |
| SSSKetiga sisi | Teorema Kosinusmencari sudut apa pun dan jenis segitiga |
| SSDSisi dan dua sudut | Teorema Sinusmencari dua sisi lainnya |
| SSdDua sisi dan sudut berhadapan salah satunya | Teorema Sinusmencari sudut berhadapan |
Teorema Kosinus dalam Soal OGE
Dalam OGE matematika, teorema kosinus muncul dalam soal-soal planimetri — baik di bagian pertama maupun di soal dengan jawaban terperinci. Skenario tipikalnya adalah:
- Mencari sisi dari dua sisi dan sudut di antaranya — penerapan langsung rumus, paling sering dengan sudut 60° atau 120°.
- Mencari sudut atau kosinusnya dari tiga sisi — akibat \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\). Jika soal tertulis "cari \(\cos\angle A\)", tidak perlu mencari arccos: jawabannya adalah pecahan itu sendiri, itulah yang ditulis.
- Diagonal jajargenjang. Diagonal membagi jajargenjang menjadi dua segitiga dari dua sisi dan sudut di antaranya. Sudut-sudut yang berdekatan pada jajargenjang berjumlah 180°, sehingga kosinusnya berlawanan: diagonal yang lebih pendek berhadapan dengan sudut lancip, diagonal yang lebih panjang berhadapan dengan sudut tumpul.
- Jenis segitiga dari tiga angka — membandingkan \(a^2 + b^2\) dengan \(c^2\).
- Garis berat segitiga. Rumus \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) diturunkan dengan menerapkan teorema kosinus dua kali pada dua sudut yang berdekatan di alas.
Saran untuk ujian: sebelum menghitung, tandai pada gambar sudut yang "terjepit" di antara sisi-sisi yang diketahui. Jika sudut seperti itu tidak ada — teorema kosinus belum dapat diterapkan, Anda perlu mencari cara lain.
Contoh Penyelesaian Soal Teorema Kosinus
Contoh 1. Mencari Sisi dari Dua Sisi dan Sudut 60°
Soal. Dalam segitiga \(ABC\), sisi \(a = 7\) dan \(b = 15\), sudut di antaranya \(C = 60°\). Cari sisi \(c\).
Langkah 1. Sudut \(C\) diapit oleh sisi \(a\) dan \(b\) — ini persis kasus yang dirancang untuk teorema ini:
Langkah 2. Substitusikan angka, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Langkah 3. Akar kuadrat: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Jawaban: \(13\). Pemeriksaan logika: sudut \(60°\) lancip, sehingga sisi di depannya bukan yang terpanjang — memang benar, \(13 < 15\).
Contoh 2. Sudut Tumpul: Minus Kali Minus
Soal. Dalam segitiga \(ABC\) diketahui: \(AB = 6\), \(BC = 10\), sudut \(B = 120°\). Cari sisi \(AC\).
Langkah 1. Sudut \(B\) diapit oleh sisi \(AB\) dan \(BC\), dan sisi \(AC\) berhadapan dengannya:
Langkah 2. Sudutnya tumpul, jadi \(\cos 120° = -0{,}5\). Tanda minus sebelum perkalian dan tanda minus pada kosinus menjadi plus:
Langkah 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Jawaban: \(14\). Pemeriksaan: sisi terpanjang berhadapan dengan sudut tumpul — \(14\) lebih besar dari \(6\) dan \(10\).
Contoh 3. Mencari Sudut dari Tiga Sisi
Soal. Sisi-sisi segitiga adalah \(3\), \(5\), dan \(7\). Cari sudut terbesarnya.
Langkah 1. Sudut terbesar berhadapan dengan sisi terbesar, yaitu sisi \(7\). Sebut saja \(C\), maka \(c = 7\), dan sisi-sisi yang berdekatan adalah \(a = 3\) dan \(b = 5\).
Langkah 2. Terapkan akibatnya:
Langkah 3. Kosinusnya negatif — sudutnya tumpul. Berdasarkan tabel nilai, \(\cos 120° = -0{,}5\), jadi \(C = 120°\).
Jawaban: \(120°\). Secara tidak langsung diketahui bahwa segitiga ini tumpul.
Contoh 4. Menentukan Jenis Segitiga
Soal. Tentukan jenis segitiga dengan sisi \(6\), \(7\), dan \(10\).
Langkah 1. Periksa ketaksamaan segitiga: \(6 + 7 = 13 > 10\) — segitiga ada. Sisi terpanjang adalah \(10\).
Langkah 2. Bandingkan jumlah kuadrat dua sisi yang lebih pendek dengan kuadrat sisi terpanjang:
Langkah 3. \(85 < 100\), jadi pembilang pecahan negatif dan \(\cos C < 0\) — sudut berhadapan sisi \(10\) tumpul. Jika diinginkan, Anda juga dapat mencari sudutnya:
Jawaban: segitiga tumpul. Perhatikan: ini tidak terlihat jelas dari gambar — sisi-sisinya hampir sama panjangnya, tetapi sudutnya sudah melebihi \(90°\).
Contoh 5. Soal Tingkat OGE: Diagonal Jajargenjang
Soal. Sisi-sisi jajargenjang adalah \(5\) dan \(8\), sudut lancipnya \(60°\). Cari diagonal terpendek.
Langkah 1. Diagonal membagi jajargenjang menjadi segitiga yang diketahui dua sisinya (\(5\) dan \(8\)) dan sudut di antaranya. Diagonal terpendek berhadapan dengan sudut lancip \(60°\).
Langkah 2. Hitung:
Langkah 3. Pemeriksaan. Diagonal kedua berhadapan dengan sudut \(120°\) (sudut-sudut yang berdekatan pada jajargenjang berjumlah \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), jadi \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Jumlah kuadrat diagonal adalah \(49 + 129 = 178\), dan dua kali jumlah kuadrat sisi adalah \(2(25 + 64) = 178\). Cocok, jadi perhitungannya benar.
Jawaban: \(7\).
Kesalahan Umum dalam Soal Teorema Kosinus
-
Mengambil kosinus sudut tumpul dengan tanda plus. Untuk sisi $4$ dan $9$ dengan sudut $120°$ di antaranya, menulis $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ dan mendapatkan $c \approx 7{,}8$.
\(\cos 120° = -0{,}5\), dan minus dikali minus menjadi plus: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), jadi \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Pemeriksaan cepat: sisi terpanjang berhadapan dengan sudut tumpul, jadi jawabannya harus lebih besar dari \(9\).
-
Mensubstitusikan sudut yang tidak diapit oleh sisi-sisi yang diberikan: dalam soal diberikan satu sudut, dan mengambilnya "begitu saja", tanpa melihat gambar.
Dalam rumus \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\), sisi \(a\) dan \(b\) membentuk sudut \(C\), dan sisi \(c\) berhadapan dengannya. Jika sudut yang diketahui berdekatan dengan sisi yang dicari, rumus ini tidak cocok — diperlukan bentuk lain dari ketiganya atau teorema sinus.
-
Lupa mengekstrak akar kuadrat dan menulis kuadrat sisi sebagai jawaban: mendapatkan $c^2 = 225$ dan menulis "sisi sama dengan 225".
Rumus selalu menghasilkan kuadrat sisi. Langkah terakhir wajib: \(c = \sqrt{225} = 15\). Baca kembali soal sebelum menulis jawaban.
-
Tertukar urutan suku dalam akibatnya dan menulis $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$.
Pembilang yang benar adalah \(a^2 + b^2 - c^2\): jumlah kuadrat sisi yang berdekatan dikurangi kuadrat sisi yang berhadapan. Jika urutan ditukar, tanda pecahan berubah menjadi berlawanan, dan alih-alih sudut tumpul \(120°\) didapat sudut lancip \(60°\).
-
Mencari sudut berdasarkan nilai absolut kosinus: mendapatkan −0,25, tetapi menulis sudut lancip seolah-olah kosinusnya adalah +0,25.
Kosinus negatif selalu berarti sudut tumpul. Tanda tidak boleh diabaikan: cos 60° = 0,5, sedangkan cos 120° = −0,5; arccos dari bilangan negatif lebih besar dari 90°.
-
Mencoba menyelesaikan soal "dua sisi dan sudut di antaranya" dengan teorema sinus dan macet di baris pertama.
Teorema sinus membutuhkan pasangan "sisi dan sudut berhadapan" yang sudah siap. Dengan dua sisi dan sudut di antaranya, pasangan seperti itu tidak ada — pertama teorema kosinus memberikan sisi ketiga, dan baru kemudian teorema sinus digunakan.
Pertanyaan dan Jawaban
Bagaimana bunyi teorema kosinus?
Kuadrat salah satu sisi segitiga sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya dikurangi dua kali hasil kali kedua sisi tersebut dengan kosinus sudut di antaranya: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Teorema ini berlaku untuk segitiga apa pun, bukan hanya segitiga siku-siku.
Bagaimana mencari sisi segitiga dari dua sisi dan sudut di antaranya?
Substitusikan data ke dalam rumus c² = a² + b² − 2ab·cos C dan ekstrak akarnya. Misalnya, untuk sisi 4 dan 6 dengan sudut 60° di antaranya: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, jadi c = √28 ≈ 5,3.
Bagaimana mencari sudut segitiga jika ketiga sisinya diketahui?
Menggunakan akibat dari teorema kosinus: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), di mana c adalah sisi berhadapan dengan sudut yang dicari. Misalnya, untuk sisi 2, 3, dan 4, kosinus sudut terbesar adalah (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, yang berarti sudutnya tumpul, sekitar 104°.
Mengapa teorema Pythagoras adalah kasus khusus dari teorema kosinus?
Karena pada sudut siku-siku cos 90° = 0, dan suku −2ab·cos C menjadi nol. Dari rumus tersisa c² = a² + b² — ini adalah teorema Pythagoras untuk segitiga siku-siku.
Apakah teorema kosinus berlaku pada segitiga tumpul?
Ya, dan berlaku tanpa perubahan. Sudut tumpul memiliki kosinus negatif, sehingga suku −2ab·cos C menjadi positif dan ditambahkan ke jumlah kuadrat. Justru karena itu sisi yang berhadapan dengan sudut tumpul menjadi yang terpanjang.
Kapan menerapkan teorema sinus, dan kapan teorema kosinus?
Teorema sinus diperlukan ketika dalam soal sudah ada pasangan "sisi dan sudut berhadapan" — misalnya, diketahui sisi dan dua sudut. Teorema kosinus digunakan ketika pasangan seperti itu tidak ada: diketahui dua sisi dan sudut di antaranya, atau ketiga sisi. Seringkali soal diselesaikan dalam dua langkah: pertama kosinus, lalu sinus.
Bagaimana menentukan jenis segitiga dari tiga sisi?
Bandingkan kuadrat sisi terpanjang c² dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya. Jika a² + b² > c² — segitiga lancip, jika a² + b² = c² — siku-siku, jika a² + b² < c² — tumpul. Tanda dari selisih ini sama dengan tanda kosinus sudut terbesar.
Pada kelas berapa teorema kosinus diajarkan?
Pada kelas 9 dalam pelajaran geometri, dalam topik "Hubungan antara Sisi dan Sudut Segitiga" — bersama dengan teorema sinus. Selanjutnya, teorema ini terus digunakan dalam soal OGE dan EGE planimetri serta stereometri.
