משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה \(ax^2 + bx + c = 0\), כאשר \(a \neq 0\). מספר הפתרונות שלה נקבע על ידי הדיסקרימיננטה \(D = b^2 - 4ac\), ואת השורשים עצמם מוצאים לפי הנוסחה \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). בדף זה תמצאו את כל מה שצריך לדעת בנושא: צורה סטנדרטית ומקדמים, שלושה סוגים של משוואות חסרות, דיסקרימיננטה ושלושת המקרים שלה, נוסחת השורשים והגרסה ה"זוגית" שלה, משוואה מנוורמלת ומשפט וייטה, פירוק לגורמים ומשוואות דו-ריבועיות — עם דוגמאות צעד אחר צעד, ניתוח טעויות נפוצות ומתרגל אינטראקטיבי.
מהי משוואה ריבועית
משוואה ריבועית היא משוואה מהצורה
כאשר \(x\) הוא הנעלם, ו-\(a, b, c\) הם מספרים (מקדמים), כאשר \(a \neq 0\). רישום זה נקרא הצורה הסטנדרטית של משוואה ריבועית: משמאל האיברים מסודרים לפי סדר חזקות יורד, ומימין מופיע אפס.
התנאי \(a \neq 0\) אינו פורמלי. האיבר \(ax^2\) הוא זה שהופך את המשוואה לריבועית: אם \(a = 0\) נשאר \(bx + c = 0\), כלומר משוואה ליניארית רגילה עם פתרון אחד. לכן בבעיות עם פרמטר, הדבר הראשון שבודקים הוא האם המקדם הראשי מתאפס.
ניתן להביא משוואה לצורה סטנדרטית כמעט תמיד: לפתוח סוגריים, להעביר את כל האיברים לאגף שמאל ולכנס איברים דומים. לדוגמה, \(5x^2 = 3x - 2\) הופכת לאחר העברה ל-\(5x^2 - 3x + 2 = 0\), ומכאן \(a = 5, b = -3, c = 2\).
משוואות ריבועיות מלאות וחסרות
אם כל שלושת המקדמים שונים מאפס, המשוואה נקראת מלאה. אם \(b\) או \(c\) (או שניהם) שווים לאפס — היא חסרה. ישנם בדיוק שלושה סוגים של משוואות חסרות, ואף אחד מהם לא דורש שימוש בדיסקרימיננטה: כל אחת נפתרת בשורה או שתיים, וזו הדרך המהירה ביותר לחסוך זמן במבחן.
הרעיון המרכזי עבור \(ax^2 + bx = 0\) הוא הוצאת גורם משותף. המכפלה \(x(ax + b)\) שווה לאפס אם ורק אם לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס, ומכאן מיד שני פתרונות. עבור \(ax^2 + c = 0\) הרעיון אחר: לבודד את \(x^2\) ולהסתכל על הסימן של המספר שמתקבל — ריבוע של מספר ממשי לא יכול להיות שלילי.
| סוג המשוואה | איך לפתור |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | להעביר את c ימינה ולחלק ב-a: x2 = −c/a. להוציא שורש, מבלי לאבד את הסימן השני.x = 5 ו-x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | להוציא x מחוץ לסוגריים: x(ax + b) = 0. מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס.x = 0 ו-x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | לחלק ב-a ולהוציא שורש מאפס. תמיד יש פתרון אחד בלבד.x = 0 |
דיסקרימיננטה: איך למצוא וכמה פתרונות יהיו
הדיסקרימיננטה היא מספר שמחושב לפי המקדמים של משוואה מלאה:
המילה עצמה פירושה "מבדיל": הדיסקרימיננטה לא פותרת כלום, היא רק מבדילה בין שלושה מצבים — שני פתרונות, פתרון אחד או שאין פתרונות כלל. לכן השאלה "כמה פתרונות יש למשוואה" נפתרת מבלי למצוא את הפתרונות עצמם.
צריך לחשב את \(D\) בזהירות: \(b^2\) תמיד חיובי, גם אם \(b\) עצמו שלילי, והסימנים של \(a\) ו-\(c\) נכנסים למכפלה \(4ac\) כפי שהם. ניקח את \(x^2 + 4x - 5 = 0\): כאן \(a = 1, b = 4, c = -5\), לכן \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). הדיסקרימיננטה חיובית, ולכן יהיו שני פתרונות.
נוסחת השורשים של משוואה ריבועית
כאשר \(D \ge 0\), מוצאים את השורשים לפי הנוסחה המרכזית של הנושא:
הסימן \(\pm\) מסמל שני חישובים: פעם אחת עם חיבור, ופעם אחת עם חיסור. כאשר \(D = 0\) שני החישובים נותנים את אותו מספר \(x = -\dfrac{b}{2a}\) — פתרון זה נקרא פתרון כפול.
שני מקומות שבהם טועים הכי הרבה: במונה יש מינוס \(b\) (עבור \(b = -7\) זה הופך ל-\(+7\)), ובמכנה יש \(2a\), ולא סתם \(2\). כאשר \(a = 1\) ההבדל לא נראה לעין, לכן הטעות צצה בדיוק במקומות שבהם המקדם הראשי שונה מאחד.
נפתור את \(2x^2 - 9x - 5 = 0\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), לכן \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) ו-\(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
מקדם שני זוגי: נוסחה עם D₁
אם \(b\) הוא מספר זוגי, נוח לרשום אותו כ-\(b = 2k\) ולחשב דיסקרימיננטה "מצומצמת":
המספרים בחישובים הופכים לקטנים פי ארבעה (\(D = 4D_1\)), והסימן של \(D_1\) זהה לזה של \(D\) — כלומר, המסקנה לגבי מספר הפתרונות לא משתנה.
דוגמה: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). כאן \(b = 8\), כלומר \(k = 4\), ו-\(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). אז \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) ו-\(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). לפי הנוסחה הרגילה היינו צריכים לעבוד עם \(D = 100\) — התוצאה זהה, אבל החישוב ארוך יותר.
משוואה מנוורמלת ומשפט וייטה
משוואה עם \(a = 1\) נקראת מנוורמלת ונכתבת כ-\(x^2 + px + q = 0\). כל משוואה ריבועית ניתן להביא לצורה זו על ידי חילוק ב-\(a\): למשל, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) לאחר חילוק ב-4 הופכת ל-\(x^2 - 3x + 2 = 0\).
הצורה המנוורמלת יקרה מפז כי עבורה עובד משפט וייטה: סכום הפתרונות שווה ל-\(-p\), והמכפלה שווה ל-\(q\). עבור \(x^2 - 7x + 10 = 0\) דרושים שני מספרים שסכומם 7 ומכפלתם 10 — אלו 2 ו-5, ולא היה צורך לחשב דיסקרימיננטה.
ניחוש לפי וייטה עוזר כשהפתרונות הם מספרים שלמים וקטנים, ובנוסף הוא בודק בחינם את התשובה שנמצאה דרך הדיסקרימיננטה: הסכום צריך לתת \(-p\), והמכפלה — \(q\). הנוסחאות לצורה הכללית, המשפט ההפוך ואלגוריתם הניחוש מוסברים בחומר נפרד — משפט וייטה.
פירוק טרינום ריבועי לגורמים
אם הפתרונות \(x_1\) ו-\(x_2\) נמצאו, הטרינום הריבועי מתפרק לגורמים:
אסור לשכוח את המקדם \(a\) — בלעדיו השוויון מפסיק להיות נכון. תמיד קל לבדוק את הפירוק: לפתוח סוגריים ולהשוות לטרינום המקורי. נניח, ב-\(x^2 + 2x - 8\) הפתרונות הם 2 ו-\(-4\), לכן \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
גם הדרך ההפוכה עובדת: אם הצלחתם לפרק את הטרינום בעל פה, הפתרונות נראים מיד ולא צריך דיסקרימיננטה. כאן עוזרות נוסחאות הכפל המקוצר — למשל, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) נותן פתרונות \(4\) ו-\(-4\) באופן מיידי.
הדרך השלישית להסתדר בלי נוסחת השורשים היא השלמה לריבוע. ב-\(x^2 + 6x + 5 = 0\) שני האיברים הראשונים משלימים לריבוע של סכום: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), כלומר \((x + 3)^2 = 4\), ומכאן \(x + 3 = \pm 2\) ו-\(x = -1\) או \(x = -5\). בדיוק בשיטה זו נוסחת השורשים נגזרת בצורה הכללית.
משוואות שניתן להביא לצורה ריבועית: משוואות דו-ריבועיות
משוואה דו-ריבועית היא מהצורה \(ax^4 + bx^2 + c = 0\): החזקות הן זוגיות בלבד. היא נפתרת על ידי הצבה \(t = x^2\), כאשר חובה להתנות \(t \ge 0\) — ריבוע של מספר ממשי לא יכול להיות שלילי.
לאחר ההצבה מתקבלת משוואה ריבועית רגילה \(at^2 + bt + c = 0\). פותרים אותה עם דיסקרימיננטה, ואז עבור כל פתרון \(t\) אי-שלילי חוזרים ל-\(x = \pm\sqrt{t}\). מכאן גם מספר הפתרונות: עד ארבעה.
לדוגמה, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) לאחר הצבה נותנת \(t^2 - 5t + 4 = 0\) עם פתרונות \(t = 1\) ו-\(t = 4\). שניהם חיוביים, לכן \(x = \pm 1\) ו-\(x = \pm 2\) — סך הכל ארבעה פתרונות. אם אחד ה-\(t\) היה שלילי, פשוט היינו זורקים אותו.
באותה שיטה פותרים משוואות רציונליות (לאחר הבאה למכנה משותף ופסילת ערכים אסורים) ומשוואות עם הצבה מהצורה \(t = x^2 + 3x\).
דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות
דוגמה 1. משוואה מלאה, D > 0
לפתור את \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
שלב 1. המשוואה כבר בצורה סטנדרטית: \(a = 3, b = -7, c = 2\).
שלב 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — שני פתרונות.
שלב 3. \(\sqrt{D} = 5\), לכן \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2, x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
שלב 4. בדיקה על ידי הצבה. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
תשובה: \(x_1 = 2, x_2 = \dfrac{1}{3}\).
דוגמה 2. דיסקרימיננטה שווה לאפס
לפתור את \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
שלב 1. \(a = 4, b = -12, c = 9\).
שלב 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — פתרון אחד.
שלב 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
שלב 4. בדיקה. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
תשובה: \(x = 1{,}5\). שימו לב: אגף שמאל הוא ריבוע מלא \((2x - 3)^2\), לכן התקבל פתרון אחד.
דוגמה 3. דיסקרימיננטה שלילית
לפתור את \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
שלב 1. \(a = 2, b = 3, c = 5\).
שלב 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
שלב 3. הדיסקרימיננטה שלילית, כלומר לא ניתן להוציא \(\sqrt{D}\) בקרב המספרים הממשיים. אין צורך להשתמש בנוסחת השורשים — הפתרון מסתיים כאן.
תשובה: אין פתרונות ממשיים. זו תשובה מלאה, לא סימן לטעות: גרף הפונקציה \(y = 2x^2 + 3x + 5\) פשוט לא חוצה את ציר ה-\(x\).
דוגמה 4. משוואה חסרה מהצורה ax² + c = 0
לפתור את \(3x^2 - 27 = 0\).
שלב 1. מעבירים את האיבר החופשי: \(3x^2 = 27\).
שלב 2. מחלקים ב-3: \(x^2 = 9\).
שלב 3. הריבוע שווה ל-9 עבור שני מספרים: \(x = 3\) ו-\(x = -3\). את הסימן השני נוטים לאבד הכי הרבה.
שלב 4. בדיקה. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
תשובה: \(x_1 = 3, x_2 = -3\). השוו למשוואה \(2x^2 + 8 = 0\): שם \(x^2 = -4\), ואין פתרונות ממשיים.
דוגמה 5. משוואה חסרה מהצורה ax² + bx = 0
לפתור את \(5x^2 - 15x = 0\).
שלב 1. מוציאים גורם משותף: \(5x(x - 3) = 0\).
שלב 2. מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס: \(5x = 0\) או \(x - 3 = 0\).
שלב 3. מכאן \(x_1 = 0, x_2 = 3\).
שלב 4. בדיקה. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
תשובה: \(x_1 = 0, x_2 = 3\). אם מצמצמים את המשוואה המקורית ב-\(x\), נשאר רק \(x = 3\) — הפתרון \(x = 0\) יאבד. אסור לחלק בביטוי עם נעלם.
דוגמה 6. מקדם שני זוגי
לפתור את \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
שלב 1. \(b = -22\) — זוגי, לכן \(k = -11\), ו-\(a = 5, c = 8\).
שלב 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
שלב 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4, x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
שלב 4. בדיקה. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
תשובה: \(x_1 = 4, x_2 = 0{,}4\). דיסקרימיננטה רגילה הייתה נותנת \(D = 324\) — אותה תשובה, אבל החישוב היה ארוך יותר.
דוגמה 7. קודם להביא לצורה סטנדרטית
לפתור את \((x - 3)(x + 5) = 9\).
שלב 1. פותחים סוגריים: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), כלומר \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
שלב 2. מעבירים את התשע שמאלה: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). רק עכשיו אפשר לרשום את המקדמים: \(a = 1, b = 2, c = -24\).
שלב 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10, x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4, x_2 = -6\).
שלב 4. בדיקה במשוואה המקורית. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
תשובה: \(x_1 = 4, x_2 = -6\). טעות נפוצה כאן — להשוות כל סוגריים ל-9: הכלל "מכפלה שווה לאפס" עובד רק עבור אפס.
דוגמה 8. פירוק טרינום לגורמים
לפרק את \(2x^2 - 5x - 3\) לגורמים.
שלב 1. משווים את הטרינום לאפס ומוצאים פתרונות: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7, x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3, x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
שלב 2. מציבים בנוסחה \(a(x - x_1)(x - x_2)\): \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
שלב 3. נוח להכניס את השתיים לסוגריים השניים: \((x - 3)(2x + 1)\).
שלב 4. בדיקה על ידי פתיחת סוגריים. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
תשובה: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
דוגמה 9. משוואה דו-ריבועית
לפתור את \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
שלב 1. הצבה \(t = x^2\), כאשר \(t \ge 0\). המשוואה הופכת ל-\(t^2 - 13t + 36 = 0\).
שלב 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5, t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9, t_2 = 4\).
שלב 3. שני הערכים אי-שליליים, לכן חוזרים ל-\(x\): מ-\(x^2 = 9\) מקבלים \(x = \pm 3\), מ-\(x^2 = 4\) — \(x = \pm 2\).
שלב 4. בדיקה. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). עבור ערכים שליליים חזקות זוגיות נותנות את אותם מספרים.
תשובה: \(x = \pm 2\) ו-\(x = \pm 3\) — ארבעה פתרונות.
טעויות נפוצות בפתרון משוואות ריבועיות
-
מחשבים דיסקרימיננטה מבלי להביא את המשוואה לצורה סטנדרטית: עבור $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ לוקחים מיד $a = 2, b = 3, c = 0$.
קודם מעבירים הכל שמאלה ומכנסים איברים דומים: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), כלומר \(x^2 + 3x - 5 = 0\). רק מכאן \(a = 1, b = 3, c = -5\). נוסחת השורשים עובדת אך ורק עם צורה סטנדרטית.
-
מאבדים את הסימן בעת העלאת $b$ בריבוע: עבור $x^2 - 9x + 14 = 0$ רושמים $D = -81 - 56$.
ריבוע של כל מספר הוא אי-שלילי: \((-9)^2 = 81\), לא \(-81\). נכון \(D = 81 - 56 = 25\), פתרונות \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), כלומר 7 ו-2. בדיקה: \(49 - 63 + 14 = 0\) ו-\(4 - 18 + 14 = 0\).
-
במונה משאירים $b$ במקום $-b$: עבור $x^2 + 5x - 6 = 0$ מחשבים $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$.
בנוסחה יש \(-b\), לכן עבור \(b = 5\) במונה יהיה \(-5\): \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), מכאן \(x_1 = 1, x_2 = -6\). הצבה מאשרת: \(1 + 5 - 6 = 0\) ו-\(36 - 30 - 6 = 0\).
-
כאשר $D = 0$ רושמים "אין פתרונות": עבור $x^2 + 14x + 49 = 0$ הדיסקרימיננטה אפסית, והפתרון נקטע.
אין פתרונות רק כאשר \(D < 0\). כאשר \(D = 0\) יש פתרון אחד בדיוק: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). בדיקה: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
מצמצמים את המשוואה $4x^2 - 9x = 0$ ב-$x$ ומקבלים פתרון יחיד $x = 2{,}25$.
אסור לחלק בביטוי עם נעלם: \(x\) יכול להיות אפס, והפתרון \(x = 0\) יאבד. נכון להוציא גורם משותף: \(x(4x - 9) = 0\), מכאן \(x_1 = 0\) ו-\(x_2 = 2{,}25\). בדיקה: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
במשוואה $x^2 = 16$ רושמים רק $x = 4$.
הריבוע שווה ל-16 גם עבור המספר \(-4\). יש לרשום את שני הפתרונות: \(x = \pm 4\). בטוח יותר לפתור דרך צורה סטנדרטית \(x^2 - 16 = 0\), כלומר \((x - 4)(x + 4) = 0\) — אז שני הגורמים נראים מיד.
-
לא בודקים את התנאי $a \neq 0$ במשוואה עם פרמטר: ב-$(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ מחשבים מיד דיסקרימיננטה.
כאשר \(m = 2\) המקדם הראשי מתאפס, והמשוואה הופכת לליניארית \(3x - 1 = 0\) עם פתרון יחיד \(x = \dfrac{1}{3}\). את המקרה \(m = 2\) מנתחים בנפרד, ואת נוסחת השורשים מפעילים רק כאשר \(m \neq 2\).
שאלות ותשובות
מהי משוואה ריבועית?
זו משוואה מהצורה \(ax^2 + bx + c = 0\), כאשר \(a, b, c\) הם מספרים ו-\(a \neq 0\). הנעלם מופיע בה בחזקה שנייה, לכן יכולים להיות שני פתרונות, פתרון אחד או אף אחד.
איך נראית הצורה הסטנדרטית של משוואה ריבועית?
הצורה הסטנדרטית (הכללית) היא \(ax^2 + bx + c = 0\): כל האיברים מרוכזים משמאל לפי סדר חזקות יורד, מימין אפס. אליה מביאים כל משוואה ריבועית לפני חישוב הדיסקרימיננטה.
איך למצוא דיסקרימיננטה?
לפי הנוסחה \(D = b^2 - 4ac\), תוך הצבת המקדמים יחד עם הסימנים שלהם. למשל, עבור \(x^2 + 3x - 10 = 0\) מקבלים \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\), והפתרונות שווים ל-\(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), כלומר 2 ו-\(-5\).
מהי נוסחת השורשים של משוואה ריבועית?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), או בקצרה \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). היא מופעלת כאשר \(D \ge 0\); במכנה יש בדיוק \(2a\), לא 2.
כמה פתרונות יכולים להיות למשוואה ריבועית?
לא יותר משניים. כאשר \(D > 0\) יש שני פתרונות, כאשר \(D = 0\) — אחד (כפול), כאשר \(D < 0\) אין פתרונות ממשיים.
מהי משוואה ריבועית חסרה?
זו משוואה שבה \(b = 0\), \(c = 0\) או שניהם יחד: \(ax^2 + c = 0, ax^2 + bx = 0, ax^2 = 0\). כל השלוש נפתרות ללא דיסקרימיננטה — על ידי העברת איבר או הוצאת \(x\) מחוץ לסוגריים.
איך לפתור משוואות ריבועיות ללא דיסקרימיננטה?
יש שלוש דרכים: ניחוש פתרונות לפי משפט וייטה עבור משוואה מנוורמלת, פירוק לגורמים והשלמה לריבוע. הכי מהר עובד הניחוש, כאשר הפתרונות הם מספרים שלמים קטנים.
מה לעשות אם הדיסקרימיננטה שלילית?
לרשום שאין פתרונות ממשיים, ולסיים את הפתרון. דיסקרימיננטה שלילית היא תשובה תקינה: גרף הפרבולה המתאימה לא חוצה את ציר ה-\(x\). פתרונות במקרה כזה קיימים רק בקרב המספרים המרוכבים, ואותם לומדים מאוחר יותר.
איך לבדוק את הפתרונות שנמצאו?
להציב כל פתרון במשוואה המקורית — צריך להתקבל שוויון נכון. עבור משוואה מנוורמלת יש גם בדיקה מהירה לפי משפט וייטה: סכום הפתרונות שווה ל-\(-p\), המכפלה שווה ל-\(q\).
משוואה ריבועית ופונקציה ריבועית — זה אותו דבר?
כן, אלו שני שמות של אותו אובייקט \(ax^2 + bx + c = 0\). אל תבלבלו בינה לבין פונקציה ריבועית \(y = ax^2 + bx + c\): פתרונות המשוואה הם בדיוק שיעורי ה-\(x\) של הנקודות שבהן גרף הפונקציה חוצה את ציר ה-\(x\).
באיזו כיתה לומדים משוואות ריבועיות?
בכיתה ח' באלגברה: קודם משוואות חסרות, אחר כך דיסקרימיננטה, נוסחת השורשים ומשפט וייטה. בהמשך הנושא מופיע בפונקציה ריבועית, אי-שוויונות, ומשימות בבחינות.
