פרופורציה היא שוויון של שני יחסים, לדוגמה \(2:3 = 8:12\). כדי לפתור פרופורציות, נדרש רק כלי אחד – התכונה היסודית של פרופורציה: מכפלת האיברים הקיצוניים שווה למכפלת האיברים האמצעיים. בבית הספר קוראים לזה כלל "כפל בהצלבה". להלן – מהו יחס ופרופורציה, כיצד למצוא איבר לא ידוע, במה שונה יחס ישר מיחס הפוך, ניתוח בעיות מתכונים, קנה מידה ומחיר, הגעה לאחוזים ומתקן אימון של 10 בעיות.
מהו יחס ופרופורציה
יחס בין שני מספרים הוא המנה שלהם. היחס \(2:3\) (נקרא "שתיים לשלוש") מראה פי כמה מספר אחד גדול מהשני או איזה חלק מהווה מספר אחד מהשני. ניתן לרשום אותו בשתי דרכים: \(2:3\) או כשבר \(\frac{2}{3}\) – זה אותו הדבר.
פרופורציה היא שוויון של שני יחסים:
בפרופורציה יש ארבעה מספרים בסך הכל, ויש להם שמות. המספרים בקצוות הרישום הם האיברים הקיצוניים, המספרים באמצע הם האיברים האמצעיים. פרופורציה נכונה כאשר שני היחסים שווים לאותו מספר.
התכונה היסודית של פרופורציה: כלל "כפל בהצלבה"
התכונה היסודית של פרופורציה: מכפלת האיברים הקיצוניים שווה למכפלת האיברים האמצעיים.
מדוע זה כך? נכפיל את שני צידי השוויון \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) ב-\(b \cdot d\). משמאל \(b\) יצטמצם, מימין – \(d\), ויישאר בדיוק \(a \cdot d = c \cdot b\). אין כאן קסם – זו תכונה רגילה של שוויונות.
בדיוק את זה תלמידים מכנים "לפתור פרופורציות בכפל בהצלבה": מכפילים את המספרים באלכסון, כפל בהצלבה. התכונה עובדת גם בכיוון ההפוך: אם עבור ארבעה מספרים (שאף אחד מהם אינו אפס) מתקיים \(a \cdot d = b \cdot c\), אז ניתן להרכיב מהם פרופורציה נכונה.
מכאן נובעות מיד שתי יכולות: לבדוק האם הפרופורציה נכונה, ולמצוא בה מספר לא ידוע.
כיצד למצוא איבר לא ידוע בפרופורציה
מהתכונה היסודית נובעות שתי כללים קצרים:
- איבר קיצוני לא ידוע = מכפלת האמצעיים : האיבר הקיצוני הידוע;
- איבר אמצעי לא ידוע = מכפלת הקיצוניים : האיבר האמצעי הידוע.
אין צורך לשנן אותם בעל פה. מספיקה שיטה אוניברסלית אחת: להכפיל בהצלבה, לקבל שוויון מהצורה "מספר \(\cdot\, x\) = מספר" ולחלק. ננתח זאת צעד אחר צעד על הפרופורציה \(x : 7 = 12 : 21\).
השלב האחרון – בדיקה – לוקח חמש שניות ותופס כמעט כל שגיאת חישוב, לכן אין לדלג עליו.
יחס ישר ויחס הפוך
שני גדלים נקראים פרופורציונליים ישר, אם בהגדלת אחד מהם פי כמה, השני גדל באותו מספר פעמים. קנינו פי שניים יותר מחברות – שילמנו פי שניים יותר. לגדלים כאלה, היחס שלהם קבוע.
גדלים הם פרופורציונליים הפוך, אם בהגדלת אחד מהם פי כמה, השני קטן באותו מספר פעמים. פי שניים יותר פועלים – פי שניים פחות ימים לאותה עבודה. לגדלים כאלה, המכפלה שלהם קבועה.
ההבדל העיקרי נראה ברגע שאנו מרכיבים את הפרופורציה. עבור תלות ישר, היא מורכבת "כפי שהיא": \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\). עבור תלות הפוכה, היחס השני הופך: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\).
מדוע? עבור תלות הפוכה, המכפלה קבועה: \(a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2\). נחלק את שני הצדדים ב-\(a_2 \cdot b_1\) – ונקבל בדיוק \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_2}{b_1}\). לכן, ה"היפוך" אינו כישוף שצריך לזכור, אלא תוצאה של העובדה שהמכפלה נשארת קבועה, ולא היחס.
| סימן | ישר | הפוך |
|---|---|---|
| קשר | יותר → יותר | יותר → פחות |
| קבוע | יחס a : b | מכפלה a × b |
| רישום | a₁ : a₂ = b₁ : b₂ | a₁ : a₂ = b₂ : b₁ |
| דוגמה | 3 עטים — 90 ₪, 5 עטים — 150 ₪ | 4 צבעים — 9 ימים, 6 צבעים — 6 ימים |
כיצד להרכיב פרופורציה לבעיה: מתכון, קנה מידה, מחיר
בעיות טקסט "על פרופורציה" נפתרות לפי תרחיש אחד:
- רשום את התנאי בשתי עמודות כך שגדלים זהים יעמדו זה מתחת לזה (מנות מתחת למנות, גרמים מתחת לגרמים).
- סמן את הנעלם ב-\(x\).
- קבע את סוג התלות: הגדל באופן מנטלי את הגודל הראשון ובדוק אם השני גדל או קטן.
- הרכב פרופורציה – עבור תלות הפוכה, הפוך את היחס השני.
- פתור בכפל בהצלבה ובדוק אם התשובה שהתקבלה הגיונית.
נמחיש עם מתכון. עבור 4 מנות פנקייקים נדרשים 300 גרם קמח – כמה קמח נדרש ל-6 מנות? מנות יותר, לכן גם קמח יותר: תלות ישר, הפרופורציה מורכבת "כפי שהיא":
ל-6 מנות נדרשים 450 גרם קמח. תשובה הגיונית: המנות גדלו פי אחד וחצי, וגם הקמח נדרש פי אחד וחצי.
באופן דומה נפתרות בעיות על קנה מידה (המרחק במפה מתייחס למרחק בשטח כמו 1 למספר קנה המידה) ועל מחיר (כמות המוצר מתייחסת לכמות כמו עלות לעלות). ניתוחים מלאים – בדוגמאות הבאות.
אחוזים דרך פרופורציה
אחוז הוא מאית של מספר, לכן כל בעיה פשוטה באחוזים הופכת לפרופורציה:
כאן אחד מארבעת המספרים לא ידוע – אותו אנו מוצאים בכפל בהצלבה.
מציאת חלק. כמה יהיו 15% מ-240? נרכיב \(x : 240 = 15 : 100\), לכן \(100x = 240 \cdot 15 = 3600\) ו-\(x = 36\).
מציאת שלם. המספר 21 מהווה 35% ממספר כלשהו. נרכיב \(21 : x = 35 : 100\), לכן \(35x = 21 \cdot 100 = 2100\) ו-\(x = 60\).
מציאת אחוז. כמה אחוזים מהווה 18 מ-45? נרכיב \(18 : 45 = p : 100\), לכן \(45p = 18 \cdot 100 = 1800\) ו-\(p = 40\), כלומר 40%.
שיטה אחת – שלוש סוגי בעיות שונים, אין צורך לזכור משהו נוסף. בנפרד עומדת רק השאלה "בכמה אחוזים גדל או קטן הגודל": שם קודם מוצאים את השינוי, ואז מחלקים אותו בערך הראשוני – זו כבר נוסחה לשינוי באחוזים, ולא פרופורציה פשוטה.
דוגמאות לפתרון פרופורציות עם ניתוח צעד אחר צעד
דוגמה 1. איבר אמצעי לא ידוע
בעיה. מצא את האיבר הלא ידוע בפרופורציה \(15 : x = 45 : 24\).
שלב 1. מגדירים איזה איבר הוא איזה. קיצוניים – 15 ו-24, אמצעיים – \(x\) ו-45.
שלב 2. מיישמים את התכונה היסודית: \(15 \cdot 24 = x \cdot 45\), כלומר \(360 = 45x\).
שלב 3. מחלקים: \(x = 360 : 45 = 8\).
בדיקה. \(15 : 8 = 1.875\) ו-\(45 : 24 = 1.875\) – היחסים שווים.
תשובה: \(x = 8\).
דוגמה 2. יחס ישר: מחיר וכמות
בעיה. שש מחברות עולות 210 ₪. כמה יעלו 10 מחברות זהות?
שלב 1. מחברות יותר – עלות יותר, לכן התלות ישר.
שלב 2. רושמים את התנאי כך שגדלים זהים יהיו זה ליד זה, ומרכיבים פרופורציה "כפי שהיאיי:
שלב 3. כפל בהצלבה: \(6x = 10 \cdot 210 = 2100\), לכן \(x = 2100 : 6 = 350\).
בדיקה. מחברת אחת עולה \(210 : 6 = 35\) ₪, ועשר מחברות – \(35 \cdot 10 = 350\) ₪. מסתדר.
תשובה: 350 ₪.
דוגמה 3. יחס הפוך: פועלים וימים
בעיה. שמונה פועלים מבצעים הזמנה במשך 15 ימים. תוך כמה ימים יבצעו את אותה הזמנה 12 פועלים, אם הם עובדים באותה מהירות?
שלב 1. פועלים יותר – ימים פחות נדרשים. התלות הפוכה.
שלב 2. מרכיבים פרופורציה, הופכים את היחס השני:
כאן \(x\) הוא מספר הימים עבור 12 פועלים, ו-15 הוא מספר הימים עבור 8 פועלים: הם החליפו מקומות, כי התלות הפוכה.
שלב 3. כפל בהצלבה: \(8 \cdot 15 = 12x\), כלומר \(120 = 12x\) ו-\(x = 10\).
בדיקה. המכפלה קבועה: \(8 \cdot 15 = 120\) ו-\(12 \cdot 10 = 120\). מסתדר, והתשובה הגיונית – ימים הפכו פחות.
תשובה: 10 ימים.
דוגמה 4. קנה מידה של מפה
בעיה. קנה המידה של המפה הוא \(1 : 200,000\). המרחק בין כפרים במפה הוא 7 ס"מ. מהו המרחק ביניהם בשטח?
שלב 1. קנה מידה \(1 : 200,000\) פירושו: 1 ס"מ במפה מתאים ל-200,000 ס"מ בשטח. זהו יחס מוכן.
שלב 2. מרכיבים פרופורציה:
שלב 3. כפל בהצלבה: \(1 \cdot x = 200,000 \cdot 7\), כלומר \(x = 1,400,000\) ס"מ.
שלב 4. ממירים ליחידות נוחות: בקילומטר אחד 100,000 ס"מ, לכן \(1,400,000 : 100,000 = 14\) ק"מ.
תשובה: 14 ק"מ.
דוגמה 5. אחוזים דרך פרופורציה
בעיה. בכיתה 25 תלמידים, לטיול יצאו 60% מהם. כמה אנשים יצאו לטיול?
שלב 1. השלם – זה כל 25 התלמידים, להם מתאים 100%. החלק המבוקש – \(x\) אנשים, להם מתאים 60%.
שלב 2. מרכיבים פרופורציה "חלק : שלם = אחוז : 100יי:
שלב 3. כפל בהצלבה: \(100x = 25 \cdot 60 = 1500\), לכן \(x = 15\).
בדיקה. 15 אנשים מתוך 25 – זה \(15 : 25 = 0.6\), כלומר בדיוק 60%.
תשובה: 15 אנשים.
טעויות נפוצות בפתרון פרופורציות
-
מכפילים מספרים "לאורך", ולא בהצלבה: בפרופורציה 5 : 2 = 20 : 8 מחשבים 5 · 2 ו-20 · 8.
התכונה היסודית מקשרת את האיברים הקיצוניים לאמצעיים, כלומר מספרים באלכסון: 5 · 8 = 40 ו-2 · 20 = 40. המכפלות שוות – הפרופורציה נכונה. ואילו 5 · 2 ו-20 · 8 אינם שווים ואינם אומרים דבר.
-
בבעיה על תלות הפוכה מרכיבים פרופורציה "ישר". שישה משאבות ממלאות בריכה במשך 10 שעות; הרישום 6 : 15 = 10 : x נותן 25 שעות עבור 15 משאבות.
מספר המשאבות גדל – הזמן אמור לקטון, אך יצא יותר: לכן הפרופורציה הורכבה לא בכיוון הנכון. יש להפוך את היחס השני: 6 : 15 = x : 10, אז 15x = 60 ו-x = 4 שעות. תמיד בדקו את התשובה בהיגיון.
-
לאחר "כפל בהצלבה" מחלקים הפוך: מהשוויון 8x = 96 מקבלים x = 8 : 96.
כדי למצוא x, מחלקים את המכפלה במקדם שעומד ליד x: x = 96 : 8 = 12. הרגל מועיל – להציב את המספר שנמצא בחזרה: 8 · 12 = 96, הכל נכון.
-
לא מתאימים יחידות מידה. בבעיה עם קנה מידה 1 : 50,000 עבור 3 ס"מ במפה רושמים תשובה "1.5" ללא יחידות או קוראים לה מטרים.
קודם כל מחשבים ביחידות שבהן נתון קנה המידה: 3 · 50,000 = 150,000 ס"מ. ורק אז ממירים: 150,000 ס"מ = 1500 מ' = 1.5 ק"מ. יחידות בתשובה חשובות כמו המספר עצמו.
-
מבלבלים בין יחס לפרופורציה: לבקשה להרכיב פרופורציה רושמים יחס אחד "12 : 4".
יחס הוא מנה אחת של שני מספרים, למשל 12 : 4. פרופורציה היא שוויון של שני יחסים, בה יש בהכרח ארבעה מספרים וסימן שוויון: 12 : 4 = 30 : 10 (בודקים: 12 · 10 = 120 ו-4 · 30 = 120).
שאלות ותשובות
במה יחס שונה מפרופורציה?
יחס הוא מנה של שני מספרים, למשל 12 : 4. פרופורציה היא שוויון של שני יחסים, בה יש ארבעה מספרים: 12 : 4 = 30 : 10. יחס עונה על השאלה "פי כמה", ואילו פרופורציה קובעת ששני השוואות כאלה נותנות תוצאה זהה.
מהם איברים קיצוניים ואמצעיים בפרופורציה?
ברישום a : b = c : d האיברים הקיצוניים הם אלה שעומדים בקצוות, כלומר a ו-d. האמצעיים – אלה שעומדים באמצע, כלומר b ו-c. אם הפרופורציה רשומה כשברים, האיברים הקיצוניים הם המונה של השבר הראשון והמכנה של השבר השני, והאמצעיים – המכנה של הראשון והמונה של השני.
כיצד לבדוק האם פרופורציה נכונה?
להכפיל בהצלבה ולהשוות את המכפלות. לדוגמה, עבור 9 : 12 = 15 : 20 מחשבים 9 · 20 = 180 ו-12 · 15 = 180 – המספרים התאמו, לכן הפרופורציה נכונה. אם המכפלות שונות, הפרופורציה אינה נכונה.
האם ניתן להחליף מקומות של איברים בפרופורציה?
כן, אם עושים זאת לפי הכללים. בפרופורציה נכונה ניתן להחליף מקומות של האיברים הקיצוניים, ניתן להחליף מקומות של האיברים האמצעיים, וניתן להפוך את שני הצדדים בבת אחת – הפרופורציה תישאר נכונה. מ-4 : 6 = 10 : 15 מקבלים 4 : 10 = 6 : 15 או 6 : 4 = 15 : 10 – המכפלה באלכסון שווה בכל מקום ל-60. אך לא ניתן להחליף רק מספר אחד.
מה פירוש "לפתור פרופורציה בכפל בהצלבה"?
זהו כינוי עממי לתכונה היסודית של פרופורציה. מכפילים את המספרים באלכסון, כפל בהצלבה: קיצוני בקיצוני ואמצעי באמצעי. נוצרת משוואה עם נעלם אחד, הנפתרת בחלוקה אחת. אין "כלל הצלבה" נפרד מעבר לתכונה היסודית.
כיצד להבין האם התלות בבעיה היא ישר או הפוכה?
הגדל באופן מנטלי את הגודל הראשון פי 2 ובדוק את השני. אם גם הוא גדל פי 2 – התלות ישר, הפרופורציה מורכבת "כפי שהיא". אם הוא קטן פי 2 – התלות הפוכה, יש להפוך את היחס השני. סימן נוסף: בתלות ישר היחס בין הגדלים קבוע, בתלות הפוכה – המכפלה שלהם.
כיצד לפתור בעיות אחוזים דרך פרופורציה?
הרכיבו פרופורציה "חלק : שלם = אחוז : 100" ומצאו את הנעלם בכפל בהצלבה. לדוגמה, 12% מ-350: מקבלים x : 350 = 12 : 100, לכן 100x = 4200 ו-x = 42. באותה שיטה מוצאים גם את השלם לפי החלק הידוע, וגם את האחוז עצמו.
