משפט וייטה מקשר בין שורשי המשוואה הריבועית למקדמיה: עבור משוואה מנורמלת \(x^2 + px + q = 0\), סכום השורשים שווה ל-\(-p\), והמכפלה שווה ל-\(q\). זה מאפשר למצוא שורשים בעל פה – על ידי ניסוי וטעייה, ללא צורך בדיסקרימיננטה. בדף זה תמצאו נוסחאות מדויקות למשוואה מנורמלת ולמשוואה כללית, את משפט וייטה ההפוך, אלגוריתם למציאת שורשים, דוגמאות פתורות ומתרגל אינטראקטיבי.
מהו משפט וייטה
משפט וייטה הוא כלל המקשר בין שורשי משוואה ריבועית למקדמיה. הוא מנוסח כך: אם \(x_1\) ו-\(x_2\) הם שורשי המשוואה הריבועית המנורמלת \(x^2 + px + q = 0\), אזי
במילים: סכום השורשים שווה למקדם השני עם סימן הפוך, ומכפלת השורשים שווה לאיבר החופשי. סימן המינוס בסכום הוא הנקודה החשובה ביותר בכל הנושא: כותבים בדיוק \(-p\), ולא \(p\).
עבור משוואה מהצורה הכללית \(ax^2 + bx + c = 0\) (כאשר \(a \neq 0\)), הנוסחאות מתקבלות על ידי חילוק ב-\(a\):
המשפט עובד רק כאשר קיימים שורשים ממשיים, כלומר כאשר \(D \ge 0\). אם הדיסקרימיננטה שלילית, אין מה לחפש: לא קיימים מספרים ממשיים עם סכום ומכפלה כאלה.
משוואה מנורמלת וצורה כללית: מתי צריך לחלק ב-a
משוואה ריבועית נקראת מנורמלת אם המקדם של \(x^2\) הוא 1: \(x^2 + px + q = 0\). עבורה משפט וייטה נשמע הכי קצר, לכן תמיד מתחילים מציאת שורשים על ידי נרמול.
אם \(a \neq 1\), מחלקים את המשוואה ב-\(a\). למשל, \(3x^2 - 10x + 3 = 0\) לאחר חילוק ב-3 הופכת ל-\(x^2 - \frac{10}{3}x + 1 = 0\), כלומר \(p = -\frac{10}{3}\), \(q = 1\). מכאן \(x_1 + x_2 = \frac{10}{3}\) ו-\(x_1 \cdot x_2 = 1\).
ניתן לרשום את אותו הרעיון מיד עבור הצורה הכללית, ללא נרמול: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). הטעות הנפוצה ביותר היא להשתמש בנוסחאות ה"קצרות" \(-p\) ו-\(q\) עבור משוואה לא מנורמלת ולקבל סכום של 10 במקום \(\frac{10}{3}\).
משפט וייטה ההפוך
למשפט וייטה יש משפט הפוך, והוא זה שמאפשר לפתור משוואות על ידי ניסוי וטעייה. הוא נשמע כך: אם המספרים \(m\) ו-\(n\) מקיימים
אזי \(m\) ו-\(n\) הם שורשי המשוואה \(x^2 + px + q = 0\).
ההבדל הוא עקרוני. המשפט הישיר הולך מהשורשים למקדמים: השורשים כבר ידועים, ואנחנו מקבלים קשרים ביניהם. המשפט ההפוך הולך מהמקדמים לשורשים: ניחשנו זוג מספרים עם סכום ומכפלה מתאימים – ויש לנו זכות מלאה לקרוא להם שורשים, אין צורך להוכיח דבר נוסף.
מכאן נובע כלל שימושי: אם \(x_1\) ו-\(x_2\) הם שורשים, אז הפולינום מתפרק לגורמים \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\). למשל, \(x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)\).
מציאת שורשים לפי משפט וייטה: אלגוריתם
מציאת שורשים היא היישום המעשי העיקרי של המשפט. היא עובדת מהר יותר מהדיסקרימיננטה כאשר השורשים הם מספרים שלמים, והיא כוללת חמישה שלבים.
סימני שורשים לפי המקדמים p ו-q
עוד לפני הניסוי והטעייה ניתן להבין מה יהיו סימני השורשים – מספיק להסתכל על הסימנים של \(p\) ו-\(q\). זה מקצר מאוד את החיפוש: מיד רואים אם לחפש זוג של שני מספרים חיוביים, שני שליליים או מספרים עם סימנים שונים.
| p ו-q | שורשים | דוגמה |
|---|---|---|
| q > 0, p < 0 | שניהם > 0 | x2 − 5x + 6 = 0 → 2; 3 |
| q > 0, p > 0 | שניהם < 0 | x2 + 5x + 6 = 0 → −2; −3 |
| q < 0 | סימנים שונים | x2 + 2x − 15 = 0 → 3; −5 |
| q = 0 | 0 ו-−p | x2 − 5x = 0 → 0; 5 |
משפט וייטה או דיסקרימיננטה: מה לבחור
נוסחת השורשים באמצעות הדיסקרימיננטה \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) עובדת תמיד, אך דורשת חישובים. משפט וייטה עובד באופן מיידי, אך רק אם ניתן לנחש את השורשים – בדרך כלל מדובר במספרים שלמים קטנים.
הכלל המעשי הוא כזה:
- המשוואה מנורמלת, ו-\(q\) מתפרק לזוג גורמים קטנים → נסה ניסוי וטעייה לפי וייטה, התשובה מתקבלת בעל פה;
- המקדמים גדולים או שברים, השורשים לא ניתנים לניחוש תוך 10–15 שניות → חשב דיסקרימיננטה;
- צריך רק את מספר השורשים או את סימני השורשים, והשורשים עצמם לא נחוצים → מספיקים \(D\) וטבלת הסימנים שלעיל.
מועיל גם השילוב: חישבת דיסקרימיננטה ומצאת שורשים – בדוק את התשובה לפי וייטה. הסכום צריך לתת \(-p\), והמכפלה \(q\). בדיקה כזו לוקחת כמה שניות ותופסת כמעט כל טעות אריתמטית.
דוגמאות לפתרון לפי משפט וייטה
דוגמה 1. מציאת שורשים: שני השורשים חיוביים
פתור את \(x^2 - 9x + 20 = 0\).
שלב 1. המשוואה מנורמלת: \(p = -9\), \(q = 20\).
שלב 2. בודקים דיסקרימיננטה: \(D = (-9)^2 - 4\cdot 20 = 81 - 80 = 1 > 0\) – קיימים שני שורשים.
שלב 3. רושמים קשרים: \(x_1 + x_2 = -p = 9\), \(x_1 \cdot x_2 = q = 20\).
שלב 4. עוברים על פירוקים של המספר 20: \(1\cdot 20\) (סכום 21), \(2\cdot 10\) (סכום 12), \(4\cdot 5\) (סכום 9) – הזוג האחרון מתאים. שני הגורמים חיוביים, כי \(q > 0\) ו-\(p < 0\).
שלב 5. בדיקה על ידי הצבה. \(4^2 - 9\cdot 4 + 20 = 16 - 36 + 20 = 0\); \(5^2 - 9\cdot 5 + 20 = 25 - 45 + 20 = 0\).
תשובה: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 5\).
דוגמה 2. שורשים בעלי סימנים שונים
פתור את \(x^2 + 3x - 28 = 0\).
שלב 1. המשוואה מנורמלת: \(p = 3\), \(q = -28\).
שלב 2. \(q < 0\), לכן השורשים בעלי סימנים שונים והדיסקרימיננטה בהכרח חיובית: \(D = 3^2 - 4\cdot(-28) = 9 + 112 = 121 > 0\).
שלב 3. קשרים: \(x_1 + x_2 = -3\), \(x_1 \cdot x_2 = -28\).
שלב 4. פירוקים של 28: \(1\cdot 28\), \(2\cdot 14\), \(4\cdot 7\). דרוש הפרש של 3 – הזוג 4 ו-7 מתאים. מכיוון שהסכום שלילי, את השורש בעל הערך המוחלט הגדול יותר ניקח עם סימן מינוס: \(4\) ו-\(-7\).
שלב 5. בדיקה. \(4^2 + 3\cdot 4 - 28 = 16 + 12 - 28 = 0\); \((-7)^2 + 3\cdot(-7) - 28 = 49 - 21 - 28 = 0\).
תשובה: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -7\).
דוגמה 3. משוואה כללית (a ≠ 1)
פתור את \(3x^2 - 10x + 3 = 0\).
שלב 1. המקדם \(a = 3\), לכן לא ניתן להשתמש בנוסחאות ה"קצרות" \(-p\) ו-\(q\). נשתמש בצורה הכללית: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{10}{3}\), \(x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{3} = 1\).
שלב 2. המכפלה שווה ל-1 – כלומר השורשים הם הופכיים זה לזה: אם אחד שווה ל-\(t\), השני שווה ל-\(\tfrac{1}{t}\). הסכום \(t + \tfrac{1}{t} = \tfrac{10}{3}\) מרמז על \(t = 3\), שכן \(3 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{3}\).
שלב 3. בדיקה על ידי הצבה. \(3\cdot 3^2 - 10\cdot 3 + 3 = 27 - 30 + 3 = 0\); \(3\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 10\cdot\tfrac{1}{3} + 3 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{10}{3} + 3 = 0\).
תשובה: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \tfrac{1}{3}\).
דוגמה 4. בניית משוואה לפי שורשיה
משימה. לבנות משוואה ריבועית מנורמלת, ששורשיה הם \(-4\) ו-6.
שלב 1. מחשבים סכום ומכפלה: \(x_1 + x_2 = -4 + 6 = 2\), \(x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 6 = -24\).
שלב 2. לפי משפט וייטה ההפוך המקדמים הם \(p = -(x_1 + x_2) = -2\) ו-\(q = x_1 x_2 = -24\). כאן מסתתר המלכוד העיקרי: \(p\) הוא הסכום עם סימן הפוך.
שלב 3. רושמים את המשוואה: \(x^2 - 2x - 24 = 0\).
שלב 4. בדיקה על ידי הצבה. \((-4)^2 - 2\cdot(-4) - 24 = 16 + 8 - 24 = 0\); \(6^2 - 2\cdot 6 - 24 = 36 - 12 - 24 = 0\).
תשובה: \(x^2 - 2x - 24 = 0\). את אותה תוצאה נותן הפירוק \((x + 4)(x - 6) = 0\).
דוגמה 5. בדיקת תשובה של מישהו אחר לפי משפט וייטה
משימה. תלמיד פתר את המשוואה \(x^2 + 5x + 6 = 0\) ורשם תשובה: \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\). בדוק אם הוא טעה.
שלב 1. לפי וייטה צריך להתקיים \(x_1 + x_2 = -p = -5\) ו-\(x_1 \cdot x_2 = q = 6\).
שלב 2. בתשובה המוצעת המכפלה מתאימה (\(2\cdot 3 = 6\)), אך הסכום לא: \(2 + 3 = 5 \neq -5\). כלומר, התשובה שגויה: אבד סימן.
שלב 3. מחפשים את הזוג הנכון: דרושים מספרים עם מכפלה 6 וסכום \(-5\) – אלו \(-2\) ו-\(-3\) (שניהם שליליים, כי \(q > 0\) ו-\(p > 0\)).
שלב 4. בדיקה על ידי הצבה. \((-2)^2 + 5\cdot(-2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\); \((-3)^2 + 5\cdot(-3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\).
תשובה: השורשים הנכונים הם \(x_1 = -2\), \(x_2 = -3\).
טעויות נפוצות בעבודה עם משפט וייטה
-
מאבדים את המינוס בסכום: כותבים $x_1 + x_2 = p$ במקום $x_1 + x_2 = -p$.
המינוס נמצא רק בסכום, המכפלה נלקחת עם אותו סימן: \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = q\). בדקו במשוואה פשוטה \(x^2 - 5x + 6 = 0\): כאן \(p = -5\), סכום השורשים שווה ל-5, והשורשים הם אכן 2 ו-3.
-
מחילים את הנוסחאות $-p$ ו-$q$ על משוואה לא מנורמלת: עבור $2x^2 - 9x + 4 = 0$ אומרים "סכום 9, מכפלה 4".
כל עוד \(a \neq 1\), עובדות נוסחאות הצורה הכללית: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{9}{2}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = 2\). השורשים כאן הם 4 ו-\(\tfrac{1}{2}\), ולא 4 ו-1. לחלופין, חלקו תחילה את כל המשוואה ב-\(a\).
-
מוצאים שורשים מבלי לבדוק דיסקרימיננטה: ב-$x^2 + x + 1 = 0$ מנסים למצוא זוג מספרים עם סכום $-1$ ומכפלה $1$.
תחילה ודאו שקיימים שורשים: \(D = 1 - 4 = -3 < 0\), אין שורשים ממשיים, מציאת שורשים בלתי אפשרית. משפט וייטה עובד רק כאשר \(D \ge 0\).
-
מוצאים זוג רק לפי המכפלה, מבלי לבדוק סכום: עבור $x^2 - 8x + 12 = 0$ לוקחים 3 ו-4, כי המכפלה שלהם שווה ל-12.
צריך לבדוק את שני הקשרים בו-זמנית. עבור \(x^2 - 8x + 12 = 0\) מכפלה של 12 נותנת זוגות (1; 12), (2; 6), (3; 4), אך סכום של 8 נותן רק הזוג 2 ו-6. בדיקה: \(2^2 - 8\cdot 2 + 12 = 0\) ו-\(6^2 - 8\cdot 6 + 12 = 0\).
-
בבניית משוואה לפי שורשים, לוקחים את $p$ כשווה לסכום: עבור שורשים 2 ו-5 כותבים $x^2 + 7x + 10 = 0$.
המקדם \(p\) שווה לסכום עם סימן הפוך: \(p = -(2 + 5) = -7\), \(q = 2\cdot 5 = 10\), כלומר \(x^2 - 7x + 10 = 0\). הצבה מאשרת: \(2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 0\), \(5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 0\).
-
חושבים שמשפט וייטה נכון רק עבור שורשים שלמים, ולא משתמשים בו לבדיקת תשובה.
הקשרים \(x_1 + x_2 = -p\) ו-\(x_1 x_2 = q\) מתקיימים עבור כל שורש ממשי – שלם, שברי או אי-רציונלי. פשוט מציאת שורשים בעל פה נוחה לשלמים, ועבור האחרים המשפט נשאר דרך מהירה לבדוק את התשובה שנמצאה בעזרת הדיסקרימיננטה.
שאלות ותשובות
איך נשמע משפט וייטה במילים פשוטות?
אם למשוואה ריבועית מנורמלת \(x^2 + px + q = 0\) יש שורשים, אזי סכומם שווה למקדם השני עם סימן הפוך, ומכפלתם שווה לאיבר החופשי: \(x_1 + x_2 = -p\) ו-\(x_1 x_2 = q\).
למה שווים סכום ומכפלת השורשים של המשוואה $ax^2 + bx + c = 0$?
עבור משוואה מהצורה הכללית סכום השורשים שווה ל-\(-\dfrac{b}{a}\), והמכפלה ל-\(\dfrac{c}{a}\). נוסחאות אלו מתקבלות מהמקרה המנורמל על ידי חילוק כל המשוואה ב-\(a\).
במה שונה משפט וייטה ההפוך מהישיר?
המשפט הישיר הולך מהשורשים למקדמים: בידיעת השורשים, אנחנו מקבלים סכום \(-p\) ומכפלה \(q\). ההפוך הולך להפך: אם זוג מספרים נותן את הסכום הדרוש ואת המכפלה הדרושה, אזי מספרים אלו הם שורשי המשוואה. דווקא המשפט ההפוך הוא שמאפשר לפתור משוואות על ידי ניסוי וטעייה.
איך מוצאים שורשים לפי משפט וייטה?
הבא את המשוואה לצורה \(x^2 + px + q = 0\), ודא ש-\(D \ge 0\), רשום \(x_1 + x_2 = -p\) ו-\(x_1 x_2 = q\), עבור על פירוקים של המספר \(q\) לזוגות גורמים ובחר את הזוג שסכומו שווה ל-\(-p\). למשל, עבור \(x^2 + 6x + 8 = 0\) דרושים מספרים עם מכפלה 8 וסכום \(-6\) – אלו \(-2\) ו-\(-4\).
האם משפט וייטה עובד אם המקדם של $x^2$ אינו שווה ל-1?
כן, אך בצורה הכללית: \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). הנוסחאות הקצרות \(-p\) ו-\(q\) נכונות רק עבור משוואה מנורמלת, לכן כאשר \(a \neq 1\) מחלקים תחילה את המשוואה ב-\(a\).
מה לעשות אם השורשים לפי משפט וייטה לא נמצאים?
סימן שהשורשים אינם שלמים או שאינם קיימים כלל. חשב דיסקרימיננטה: כאשר \(D < 0\) אין שורשים ממשיים, וכאשר \(D \ge 0\) מצא שורשים לפי הנוסחה \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) ורק אז בדוק את התשובה לפי משפט וייטה.
איך לקבוע סימני שורשים מבלי לפתור את המשוואה?
לפי הסימנים של \(p\) ו-\(q\) כאשר \(D \ge 0\): אם \(q > 0\) ו-\(p < 0\) – שני השורשים חיוביים; אם \(q > 0\) ו-\(p > 0\) – שניהם שליליים; אם \(q < 0\) – שורשים בעלי סימנים שונים; אם \(q = 0\) – אחד השורשים שווה לאפס.
באיזו כיתה לומדים את משפט וייטה?
בכיתה ח' בשיעורי אלגברה, מיד לאחר משוואות ריבועיות ודיסקרימיננטה. בהמשך משתמשים בו בפירוק טרינום ריבועי לגורמים \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\), בחקירת שורשים עם פרמטר ובמבחני בגרות.
