שורש ריבועי של מספר \(a\) הוא מספר שריבועו שווה ל-\(a\), ושורש ריבועי אריתמטי הוא הערך האי-שלילי שלו בלבד: \(\sqrt{25} = 5\). ניתן לחלץ שורש רק ממספרים אי-שליליים, אך תכונות השורש הופכות ביטויים מסורבלים לפשוטים. בדף זה תמצאו הגדרה ותחום הגדרה, את כל תכונות השורש הריבועי עם נוסחאות, טבלת שורשים מ-1 עד 20, שיטות לחילוץ שורש והוצאת גורם, דוגמאות פתורות, טעויות נפוצות ומתרגל אינטראקטיבי.
מהו שורש ריבועי של מספר
שורש ריבועי של מספר \(a\) הוא מספר שריבועו שווה ל-\(a\). חילוץ שורש והעלאה בריבוע הם פעולות הפוכות: מ-\(7^2 = 49\) נובע מיד שהשורש הריבועי של 49 הוא 7.
אך למספר חיובי יש בדיוק שני שורשים ריבועיים, והם נבדלים רק בסימן: \(5^2 = 25\) ו-\((-5)^2 = 25\), כלומר השורשים הריבועיים של 25 הם גם \(5\) וגם \(-5\). כדי שהרישום \(\sqrt{25}\) יציין מספר יחיד, הוסכם: בסימן \(\sqrt{\phantom{a}}\) רושמים רק את השורש האי-שלילי. אותו מכנים אריתמטי.
לרישום יש שמות משלו: הסימן \(\sqrt{\phantom{a}}\) הוא רדיקל, והמספר או הביטוי תחתיו הוא ביטוי תחת השורש.
שורש ריבועי אריתמטי: הגדרה ותחום הגדרה
שורש ריבועי אריתמטי של מספר אי-שלילי \(a\) הוא המספר האי-שלילי שריבועו שווה ל-\(a\). מסמנים אותו ב-\(\sqrt{a}\) וקוראים לו "שורש של a".
בהגדרה חבויים שני תנאים, ושניהם חשובים באותה מידה:
- הביטוי תחת השורש אי-שלילי: \(a \ge 0\);
- ערך השורש אי-שלילי: \(\sqrt{a} \ge 0\).
מכאן נובע מיד: \(\sqrt{25} = 5\) ולא \(-5\); \(\sqrt{0} = 0\); והרישום \(\sqrt{-9}\) במספרים ממשיים חסר משמעות — אין מספר שריבועו שלילי.
התנאי הראשון קובע את תחום ההגדרה של ביטוי עם שורש. לדוגמה, ל-\(\sqrt{x-7}\) יש משמעות כאשר \(x - 7 \ge 0\), כלומר כאשר \(x \ge 7\): כל ערך קטן יותר של \(x\) מכניס מספר שלילי תחת השורש.
מההגדרה נובע גם השוויון \((\sqrt{a})^2 = a\) עבור \(a \ge 0\): העלאת שורש בריבוע מחזירה את המספר שמתחת לשורש. זה עובד גם כאשר איננו יכולים לחשב את השורש במדויק: \((\sqrt{31})^2 = 31\).
טבלת שורשים ריבועיים: ריבועי מספרים מ-1 עד 20
שורש מחולץ בשלמות בדיוק כאשר המספר תחת השורש הוא ריבוע מושלם. לכן טבלת הריבועים עובדת גם כטבלת שורשים ריבועיים: קוראים אותה לשני הכיוונים — \(14^2 = 196\), כלומר \(\sqrt{196} = 14\).
הטבלה עוזרת לא רק עם מספרים שלמים:
- שברים עשרוניים: \(\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\), כי \(0{,}8^2 = 0{,}64\);
- שברים פשוטים: \(\sqrt{\dfrac{16}{81}} = \dfrac{4}{9}\) — מחלצים שורש בנפרד מהמונה ובנפרד מהמכנה;
- מספרים עגולים: \(\sqrt{2500} = 50\), שהרי \(2500 = 25 \cdot 100\), והשורש של כל גורם ידוע.
תכונות השורש הריבועי
תכונות השורש הריבועי מאפשרות לחשב ביטויים מבלי לחלץ כל שורש בנפרד, ולפשט את התשובה.
שורש של מכפלה שווה למכפלת השורשים: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\) עבור \(a \ge 0\) ו-\(b \ge 0\). לדוגמה, \(\sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12\) — אותה תשובה כמו \(\sqrt{144}\).
שורש של מנה שווה למנת השורשים: \(\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) עבור \(a \ge 0\) ו-\(b > 0\). לדוגמה, \(\sqrt{\dfrac{36}{49}} = \dfrac{6}{7}\). התנאי \(b > 0\) הוא מחמיר: אסור לחלק באפס.
שורש של ריבוע שווה לערך המוחלט: \(\sqrt{a^2} = |a|\), וזה נכון לכל מספר \(a\). כאן טמון הדקויות העיקריות של הנושא. אם \(a \ge 0\), שום דבר לא משתנה: \(\sqrt{7^2} = 7\). אך עבור \(a\) שלילי, הסימן "מתיישר": \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6\), ולא \(-6\) — שהרי שורש אריתמטי אינו יכול להיות שלילי.
ריבוע של שורש מחזיר את המספר שמתחת לשורש: \((\sqrt{a})^2 = a\) עבור \(a \ge 0\).
אך עבור סכום והפרש לא קיימות תכונות דומות: שורש של סכום אינו שווה לסכום השורשים. זו הטעות הנפוצה ביותר בנושא, הסבר בהמשך.
| תכונה ותנאי | דוגמה |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √bעבור a ≥ 0 ו-b ≥ 0 | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √bעבור a ≥ 0 ו-b > 0 | √(81 / 16) = 9 / 4 |
| √(a²) = |a|עבור כל a | √((−12)²) = 12 |
| (√a)² = aעבור a ≥ 0 | (√13)² = 13 |
| √(a² · b) = |a| · √bעבור b ≥ 0 | √(25 · 3) = 5√3 |
איך לחלץ שורש ריבועי ממספר
מחשבון לא תמיד בהישג יד, ומשימות בית הספר כמעט תמיד מותאמות כך שהשורש ניתן לחילוץ. סדר הפעולות הוא כזה.
- בדיקה בטבלת הריבועים. אם המספר נמצא בטבלה, התשובה מוכנה: \(\sqrt{289} = 17\).
- הפרדת גורם עגול. במספרים עם אפסים נוח להוציא \(100\), \(10\,000\) וכן הלאה: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\).
- פירוק לגורמים ראשוניים. זו שיטה אוניברסלית: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\), מחלקים את מעריכי החזקה בשניים ומקבלים \(\sqrt{576} = 2^3 \cdot 3 = 24\).
- הפיכת שבר עשרוני לשבר פשוט. \(\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\dfrac{144}{100}} = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\). זה גם מונע איבוד ספרות.
- אם אין ריבוע מושלם — השורש אי-רציונלי. אז או שמשאירים אותו בתשובה כסימן (כך כותבים: \(\sqrt{30}\)), או שמעריכים אותו בין ריבועים סמוכים.
הבדיקה לוקחת שנייה: מעלים את המספר שהתקבל בריבוע ובודקים אם חזרנו למספר המקורי. \(24^2 = 576\) — נכון.
הוצאת גורם מחוץ לשורש
נדיר להשאיר שורש "גולמי" — מוציאים ממנו כל מה שניתן לחלץ. התכונה \(\sqrt{a^2 b} = |a| \sqrt{b}\) עובדת עבור \(b \ge 0\): מחפשים את המחלק הריבועי הגדול ביותר של המספר תחת השורש.
- \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\);
- \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
הפעולה ההפוכה היא הכנסת גורם תחת השורש: \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) עבור \(a \ge 0\). לדוגמה, \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
עם גורם שלילי צריך להיזהר: המינוס לא נכנס תחת השורש ונשאר בחוץ. הרישום הנכון הוא \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\), ולא \(\sqrt{12}\).
למה זה נחוץ: לאחר הוצאת גורם, שורשים עם אותו ביטוי תחת השורש הופכים לאיברים דומים, וניתן לחבר אותם. והכנסת גורם תחת השורש היא הדרך המהירה ביותר להשוות שני ביטויים עם שורשים.
למה שווה שורש ריבועי שאינו ניתן לחילוץ
אם המספר תחת השורש אינו ריבוע מושלם, השורש הוא מספר אי-רציונלי: הייצוג העשרוני שלו אינסופי ולא מחזורי. לדוגמה, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\ldots\), והערך המדויק נרשם רק כסימן \(\sqrt{2}\). תשובה מעוגלת כותבים רק כאשר מתבקשים במשימה.
ניתן להעריך שורש כזה ללא מחשבון: למצוא שני ריבועים מושלמים סמוכים שביניהם נמצא המספר תחת השורש. כלל ההשוואה עובד: עבור \(a \ge 0\) ו-\(b \ge 0\), מ-\(a < b\) נובע \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) — למספר גדול יותר תחת השורש מתאים שורש גדול יותר.
דוגמאות לחישובים עם שורשים ריבועיים
דוגמה 1. ערך ביטוי עם שורשים
חשב \(\sqrt{121} - \sqrt{0{,}36} + \sqrt{\dfrac{9}{25}}\).
שלב 1. \(\sqrt{121} = 11\), כי \(11^2 = 121\).
שלב 2. \(\sqrt{0{,}36} = 0{,}6\), כי \(0{,}6^2 = 0{,}36\).
שלב 3. שורש של שבר מחלצים מהמונה ומהמכנה: \(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\).
שלב 4. מחברים: \(11 - 0{,}6 + 0{,}6 = 11\).
תשובה: 11.
דוגמה 2. שורש של מכפלה
חשב \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}\).
שלב 1. בנפרד שורשים אלו אינם ניתנים לחילוץ, לכן מאחדים אותם לאחד: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18}\).
שלב 2. מחשבים את המכפלה תחת השורש: \(8 \cdot 18 = 144\).
שלב 3. \(\sqrt{144} = 12\).
דרך אחרת — להוציא גורמים מראש: \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) ו-\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), אז \(2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 6 \cdot (\sqrt{2})^2 = 6 \cdot 2 = 12\). התשובות זהות.
תשובה: 12.
דוגמה 3. חילוץ שורש על ידי פירוק לגורמים
חשב \(\sqrt{576}\) ו-\(\sqrt{6400}\).
שלב 1. המספר 576 אינו בטבלת הריבועים, לכן מפרקים אותו לגורמים ראשוניים: \(576 = 2^6 \cdot 3^2\).
שלב 2. מחלקים את מעריכי החזקה בשניים: \(\sqrt{2^6 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\).
שלב 3. בדיקה. \(24^2 = 576\) — נכון.
שלב 4. במספר 6400 נוח יותר להפריד גורם עגול: \(\sqrt{6400} = \sqrt{64 \cdot 100} = 8 \cdot 10 = 80\). בדיקה: \(80^2 = 6400\).
תשובה: \(\sqrt{576} = 24\), \(\sqrt{6400} = 80\).
דוגמה 4. הוצאת גורם וכינוס איברים דומים
פשט \(2\sqrt{98} - \sqrt{300} + \sqrt{72}\).
שלב 1. מוציאים גורמים מכל שורש: \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\), כלומר \(2\sqrt{98} = 14\sqrt{2}\).
שלב 2. \(\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}\).
שלב 3. \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\).
שלב 4. ניתן לחבר רק שורשים עם אותו ביטוי תחת השורש: \(14\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\), והאיבר עם \(\sqrt{3}\) נשאר בנפרד.
תשובה: \(20\sqrt{2} - 10\sqrt{3}\).
דוגמה 5. שורש של ריבוע עם משתנה
פשט \(\sqrt{(x-4)^2}\) עבור \(x < 4\).
שלב 1. לפי תכונת השורש של ריבוע \(\sqrt{(x-4)^2} = |x-4|\) — כותבים מיד ערך מוחלט, ולא \(x - 4\).
שלב 2. פותחים את הערך המוחלט לפי התנאי. אם \(x < 4\), אז ההפרש \(x - 4\) שלילי, והערך המוחלט של מספר שלילי הוא המספר הנגדי: \(|x-4| = 4 - x\).
שלב 3. בדיקה. ניקח \(x = 1\): משמאל \(\sqrt{(1-4)^2} = \sqrt{9} = 3\), מימין \(4 - 1 = 3\) — מסתדר.
תשובה: \(4 - x\). לשם השוואה, עבור \(x \ge 4\) התשובה הייתה \(x - 4\).
דוגמה 6. השוואת ביטויים עם שורשים
השווה \(3\sqrt{5}\) ו-\(5\sqrt{2}\).
שלב 1. שני המספרים חיוביים, לכן מכניסים גורם תחת השורש: \(3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\).
שלב 2. \(5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}\).
שלב 3. משווים את המספרים תחת השורש: \(45 < 50\), ולמספר גדול יותר תחת השורש מתאים שורש גדול יותר.
תשובה: \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}\).
טעויות נפוצות בעבודה עם שורש ריבועי
-
כותבים $\sqrt{a^2} = a$, ושוכחים מהערך המוחלט.
השוויון הנכון הוא \(\sqrt{a^2} = |a|\). עבור מספר שלילי זה עקרוני: \(\sqrt{(-13)^2} = \sqrt{169} = 13\), ולא \(-13\). שורש אריתמטי לא יכול להיות שלילי, לכן הסימן תחת השורש "מתיישר".
-
חושבים ששורש של סכום שווה לסכום השורשים: $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4$.
אין תכונה כזו. קודם מבצעים את הפעולה תחת השורש: \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), ולא 7. תכונות קיימות רק למכפלה ומנה: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) ו-\(\sqrt{a/b} = \sqrt{a}/\sqrt{b}\).
-
עונים ש-$\sqrt{49} = \pm 7$.
\(\sqrt{49} = 7\) — שורש אריתמטי הוא תמיד אחד והוא אי-שלילי. שני ערכים מופיעים במשימה אחרת: למשוואה \(x^2 = 49\) יש שורשים \(x = 7\) ו-\(x = -7\). אסור לבלבל בין רישום שורש לפתרון משוואה.
-
כותבים $\sqrt{-16} = -4$, בטענה ש"מינוס כפול מינוס".
תחת השורש לא יכול לעמוד מספר שלילי: \((-4)^2 = 16\), ולא \(-16\), כך ש-\(\sqrt{-16}\) במספרים ממשיים לא קיים. אך הביטוי \(-\sqrt{16} = -4\) תקין בהחלט — המינוס עומד לפני השורש, ולא תחתיו.
-
מכניסים תחת השורש גורם שלילי: $-2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
הכלל \(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) עובד רק עבור \(a \ge 0\). המינוס נשאר בחוץ: \(-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}\). בדיקת סימן: \(-2\sqrt{3} \approx -3{,}46\), ו-\(\sqrt{12} \approx 3{,}46\) — מספרים נגדיים.
-
מאבדים ספרה בשבר עשרוני: $\sqrt{0{,}04} = 0{,}02$.
בדקו על ידי העלאה בריבוע הפוכה: \(0{,}02^2 = 0{,}0004\), לא מסתדר. הנכון הוא \(\sqrt{0{,}04} = 0{,}2\), שהרי \(0{,}2^2 = 0{,}04\). שיטה אמינה — לעבור לשבר פשוט: \(\sqrt{\dfrac{4}{100}} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2\).
-
בטוחים ששורש תמיד קטן מהמספר עצמו.
זה נכון רק למספרים גדולים מאחד. בקטע שבין 0 ל-1 הכל הפוך: \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), ו-\(0{,}5\) גדול יותר מ-\(0{,}25\). ועבור 0 ו-1 השורש שווה למספר עצמו.
שאלות ותשובות
מהו שורש ריבועי אריתמטי במילים פשוטות?
זהו מספר אי-שלילי, שבהעלאה בריבוע נותן את המספר תחת השורש. רושמים \(\sqrt{a}\), כאשר הביטוי תחת השורש חייב להיות אי-שלילי: \(a \ge 0\). לדוגמה, \(\sqrt{64} = 8\), כי \(8 \ge 0\) ו-\(8^2 = 64\).
במה שונה שורש ריבועי משורש ריבועי אריתמטי?
למספר חיובי יש שני שורשים ריבועיים — נגדיים בסימנם. אריתמטי מכנים רק את האי-שלילי מביניהם, ודווקא אותו מציין הסימן \(\sqrt{\phantom{a}}\). לכן \(\sqrt{25} = 5\), למרות שלמשוואה \(x^2 = 25\) יש שני שורשים: 5 ו-\(-5\).
איך לחלץ שורש ריבועי ממספר ללא מחשבון?
קודם בדקו את המספר בטבלת הריבועים. אם הוא לא שם — פרקו לגורמים והוציאו ריבועים מושלמים: \(784 = 16 \cdot 49\), לכן \(\sqrt{784} = 4 \cdot 7 = 28\). תמיד בדקו את התשובה בפעולה הפוכה: \(28^2 = 784\).
האם ניתן לחלץ שורש ריבועי ממספר שלילי?
במספרים ממשיים — לא: ריבוע של כל מספר הוא אי-שלילי, לכן הביטוי \(\sqrt{-9}\) חסר משמעות. דווקא מתנאי זה מחפשים תחום הגדרה: לדוגמה, \(\sqrt{x-7}\) קיים רק עבור \(x \ge 7\).
למה שווה שורש של ריבוע מספר?
לערך המוחלט של מספר זה: \(\sqrt{a^2} = |a|\). עבור \(a\) אי-שלילי יתקבל המספר עצמו, עבור שלילי — הנגדי לו: \(\sqrt{(-6)^2} = 6\).
איך להוציא גורם מחוץ לשורש?
מצאו את המחלק הריבועי הגדול ביותר של המספר תחת השורש והשתמשו בתכונה \(\sqrt{a^2 b} = |a|\sqrt{b}\). לדוגמה, \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). הפעולה ההפוכה — הכנסת גורם תחת השורש: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\).
למה שווה שורש ריבועי של 2?
המספר \(\sqrt{2}\) אי-רציונלי: הייצוג העשרוני שלו אינסופי ולא מחזורי, \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\). ערך מדויק בצורת שבר לא קיים, לכן בתשובות משאירים אותו כסימן \(\sqrt{2}\), ומעגלים רק אם התנאי דורש זאת.
איך להשוות שני מספרים עם שורשים מבלי לחשב אותם?
הכניסו גורמים תחת השורש והשוו את המספרים תחת השורש: למספר גדול יותר תחת השורש מתאים שורש גדול יותר. לדוגמה, \(\sqrt{17}\) ו-4: מכיוון ש-\(4 = \sqrt{16}\) ו-\(17 > 16\), אז \(\sqrt{17} > 4\).
באיזו כיתה לומדים שורשים ריבועיים?
בכיתה ח' בשיעורי אלגברה: קודם הגדרת שורש ריבועי אריתמטי ותכונותיו, לאחר מכן טרנספורמציות של ביטויים עם שורשים ופתרון משוואות מסוג \(x^2 = a\). בהמשך שורשים מופיעים בנוסחת הדיסקרימיננטה ובמשימות בחינות.
