אי-שוויון הוא שני ביטויים המחוברים בסימן \(<\), \(>\), \(\le\) או \(\ge\). לפתור אי-שוויון פירושו למצוא את כל ערכי המשתנה שעבורם הוא הופך לאי-שוויון מספרי אמיתי. התשובה לא תהיה מספר אחד, אלא קבוצה שלמה: מרווח על ציר המספרים או איחוד של מרווחים. בדף זה נאסף בסיס נתונים, משותף לכל סוגי אי-השוויונות: כיצד לקרוא סימנים, אילו טרנספורמציות מותרות, מדוע הסימן מתהפך בחלוקה במספר שלילי וכיצד לרשום את התשובה נכון. ובהמשך – סקירה של כל סוגי אי-השוויונות עם קישורים לניתוחים מפורטים ולמתרגל לבדיקה עצמית.
מה פירוש לפתור אי-שוויון
פתרון אי-שוויון הוא כל ערך של המשתנה שהופך את האי-שוויון לאי-שוויון מספרי אמיתי. ולפתור אי-שוויון פירושו למצוא את כל הערכים הללו ולרשום אותם כקבוצה.
השווה למשוואה. למשוואה \(2x = 8\) התשובה היא מספר אחד \(x = 4\). לאי-שוויון \(2x < 8\) התשובה היא אינסוף מספרים: יתאימו גם \(3\), וגם \(0\), וגם \(-100\), וגם \(3{,}999\). אי אפשר לרשום אותם אחד אחד, לכן התשובה מעוצבת כמרווח: \(x < 4\), כלומר \((-\infty;\ 4)\).
קל לבדוק אם מספר מסוים הוא פתרון: הצב אותו במקום המשתנה ובדוק אם קיבלת אי-שוויון אמיתי.
- \(x = 1\) באי-שוויון \(2x < 8\): \(2 \cdot 1 = 2 < 8\) – נכון, לכן \(1\) הוא פתרון.
- \(x = 5\): \(2 \cdot 5 = 10 < 8\) – לא נכון, לכן \(5\) אינו פתרון.
שני אי-שוויונות נקראים שקולים, אם קבוצות הפתרונות שלהם זהות. כל פתרון האי-שוויון הוא שרשרת של מעברים לאי-שוויון שקול פשוט יותר, עד שיישאר רק \(x\) בצד שמאל.
סימני אי-שוויונות: מחמירים ולא מחמירים
ישנם ארבעה סימנים, והסימן הנתון משפיע על התשובה ועל עיצובה. סימנים מחמירים \(<\) ו-\(>\) אינם כוללים את נקודת הגבול עצמה בתשובה, סימנים לא מחמירים \(\le\) ו- \(\ge\) – כן כוללים.
הבדל זה נמשך לאורך כל הפתרון: סימן מחמיר נותן נקודה 'מנוקבת' (ריקה) על הציר וסוגר עגול בתשובה, סימן לא מחמיר – נקודה 'מלאה' וסוגר מרובע.
| סימן | כיצד נקרא ומה נותן בתשובה |
|---|---|
| < | קטן מ-מחמירנקודה מנוקבת, סוגר עגול |
| > | גדול מ-מחמירנקודה מנוקבת, סוגר עגול |
| ≤ | קטן או שווה ל-לא מחמירנקודה מלאה, סוגר מרובע |
| ≥ | גדול או שווה ל-לא מחמירנקודה מלאה, סוגר מרובע |
טרנספורמציות שקולות: מה מותר לעשות עם אי-שוויון
עם אי-שוויון מותר לעשות כמעט אותו הדבר כמו עם משוואה, אך עם תיקון חשוב אחד. מותר לחבר ולחסר בחופשיות: אם מוסיפים או מחסירים אותו מספר או ביטוי משתי הצדדים, קבוצת הפתרונות לא משתנה. כך בדיוק 'מעבירים' איברים דרך הסימן, משנים את סימנם מפלוס למינוס.
אבל כפל וחילוק תלויים בסימן הכופל. בעת כפל או חלוקה של שני הצדדים במספר שלילי, סימן האי-שוויון משתנה להיפך: \(<\) הופך ל-\(>\), \(\le\) הופך ל- \(\ge\) ולהיפך. הסיבה נראית במספרים: מ-\(3 < 5\) האמיתי, לאחר כפל ב-\(-1\) מקבלים \(-3\) ו-\(-5\), ו-\(-3 > -5\) – סדר המספרים התהפך.
אותו הדבר קורה אם מחליפים בין הצד השמאלי והימני: מ-\(7 < y\) מקבלים \(y > 7\).
| מה עושים עם שני הצדדים | מה קורה עם הסימן |
|---|---|
| מוסיפים או מחסירים אותו מספר או ביטוי | הסימן נשמר |
| כופלים או מחלקים במספר חיובי | הסימן נשמר |
| כופלים או מחלקים במספר שלילי | הסימן משתנה |
| מחליפים בין הצד השמאלי והימני | הסימן משתנה |
| כופלים או מחלקים בביטוי עם משתנה (x − 2) | אסור לעשות זאת |
כיצד לרשום את התשובה: ציר מספרים ומרווחים
כאשר המשתנה נשאר לבדו, הפתרון כמעט מוכן – נותר לעצב אותו. הכי נוח קודם כל לסמן את התשובה על ציר המספרים, ורק משם לחשב את המרווח.
ישנן שלוש כללי רישום בלבד, והם אינם משתנים לפי סוג האי-שוויון:
- סוגר עגול – הנקודה אינה נכללת בתשובה (סימן מחמיר, נקודה מנוקבת);
- סוגר מרובע – הנקודה נכללת (סימן לא מחמיר, נקודה מלאה);
- ליד אינסוף תמיד סוגר עגול: \((-\infty;\ 4)\), \([3;\ +\infty)\) – צורת רישום כמו \([-\infty;\ 4]\) אינה קיימת, אינסוף אינו מספר ולא ניתן להגיע אליו.
אם הפתרון התברר כשני מקטעים של הציר, מחברים אותם בסימן איחוד \(\cup\): לדוגמה, \((-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
סוגי אי-שוויונות ושיטות פתרון
אי-שוויונות נבדלים לפי כיצד המשתנה נכנס אליהם – האם הוא בחזקה ראשונה, מתחת לריבוע, במכנה או בתוך ערך מוחלט. זה בדיוק מה שמגדיר את שיטת הפתרון, לכן הצעד הראשון בכל פתרון הוא לזהות את סוג האי-שוויון. ההיגיון הכללי בהמשך זהה: להביא את האי-שוויון לצורה 'ביטוי משווה לאפס', ואז ליישם את הטכניקה המתאימה לסוג זה. סיכום הסוגים והשיטות – בטבלה למטה.
בנפרד יש לזכור כיצד 'פותחים' ערך מוחלט – הטבלה אינה מכילה זאת. עבור \(a > 0\), האי-שוויון \(|f(x)| < a\) שקול לאי-שוויון כפול \(-a < f(x) < a\) (מתקבלת מערכת), ו-\(|f(x)| > a\) – לאיחוד \(f(x) < -a\) או \(f(x) > a\) (מתקבל איחוד מרווחים). אם \(a < 0\), אין בכלל על מה לחשוב: ערך מוחלט אי-שלילי, לכן ל-\(|f(x)| < a\) אין פתרונות, ו-\(|f(x)| > a\) נכון לכל \(x\) מותר.
אי-שוויונות אי-רציונליים (עם שורש) ומעריכיים נלמדים בחטיבה עליונה: לטרנספורמציות הרגילות מתווספת עבודה עם תחום ערכים מותרים.
ניתוחים מפורטים של סוגים נפרדים: אי-שוויונות לינאריים, אי-שוויונות רציונליים ושיטת האינטרוולים, ושורשי פולינום ריבועי נוח למצוא לפי משפט וייטה.
| סוג | כיצד נראה וכיצד פותרים |
|---|---|
| לינארי | ax + b > 0מעבירים אגפים ומחלקים במקדם של x |
| ריבועי | ax2 + bx + c > 0מוצאים שורשים של הפולינום ובודקים את הפרבולה |
| שברי-רציונלי | P(x) / Q(x) ≥ 0שיטת האינטרוולים, שורשי המכנה 'מנוקבים' |
| עם ערך מוחלט | | f(x) | < aפותחים את הערך המוחלט לפי ההגדרה |
| מערכת | שני אי-שוויונות בסוגר מסולסלפותרים כל אחד, לוקחים את החיתוך |
מערכות ואיחודים של אי-שוויונות
לעתים קרובות אי-שוויון אחד מתפצל לשניים, ואז חשוב לא לבלבל מה לעשות עם הקבוצות שהתקבלו.
מערכת (סוגר מסולסל) פירושה 'גם זה וגם זה בו-זמנית'. פותרים כל אי-שוויון בנפרד, מסמנים את שתי התשובות על אותו ציר ולוקחים חיתוך – החלק המשותף. אם אין חלק משותף, למערכת אין פתרונות.
איחוד (סוגר מרובע) פירושו 'או זה או זה'. כאן לוקחים איחוד – כל מה ש'צבוע' לפחות על ידי אחת התשובות. איחוד מופיע, למשל, בפתיחת ערך מוחלט עם סימן 'גדול'.
בנפרד ישנו אי-שוויון כפול מהצורה \(-3 < 2x + 1 \le 7\): זוהי רשימה מקוצרת של מערכת. טרנספורמציות מבוצעות מיד על כל שלושת החלקים – מחסירים, מחלקים, ובעת חלוקה במספר שלילי הופכים את שני הסימנים יחד.
דוגמאות לפתרון אי-שוויונות
דוגמה 1. בדיקה האם מספר הוא פתרון
משימה. האם \(x = -1\) הוא פתרון לאי-שוויון \(3x + 5 \ge 1\)?
שלב 1. מציבים \(-1\) במקום \(x\): \(3 \cdot (-1) + 5 = -3 + 5 = 2\).
שלב 2. משווים לצד ימין: \(2 \ge 1\) – אי-שוויון מספרי אמיתי.
תשובה. כן, \(-1\) הוא אחד הפתרונות. אך לפתור אי-שוויון פירושו למצוא את כל המספרים הללו, לא רק אחד: כאן התשובה היא \(x \ge -\frac{4}{3}\).
דוגמה 2. אי-שוויון לינארי עם החלפת סימן
משימה. לפתור \(7 - 3x < 1\).
שלב 1. מעבירים את \(7\) לצד ימין (כלומר, מחסירים \(7\) משני הצדדים – סימן האי-שוויון לא משתנה): \(-3x < 1 - 7\), כלומר \(-3x < -6\).
שלב 2. מחלקים את שני הצדדים ב-\(-3\). המחלק שלילי, לכן הסימן מתהפך: \(x > 2\).
שלב 3. מסמנים על הציר: נקודה מנוקבת ב-\(2\), צובעים את כל מה שמימין.
תשובה. \(x > 2\), כלומר \(x \in (2;\ +\infty)\).
דוגמה 3. אי-שוויון ריבועי
משימה. לפתור \(x^2 - 4x - 5 \le 0\).
שלב 1. מוצאים את שורשי הפולינום: \(D = 16 + 20 = 36\), \(\sqrt{D} = 6\), מכאן \(x_1 = -1\), \(x_2 = 5\).
שלב 2. המקדם של \(x^2\) חיובי, לכן ענפי הפרבולה פונים כלפי מעלה: בין השורשים הפולינום שלילי, ומחוץ לשורשים – חיובי.
שלב 3. אנו זקוקים לסימן \(\le 0\), כלומר ערכים שליליים וגם השורשים עצמם (סימן לא מחמיר) – לוקחים את הקטע בין השורשים יחד עם הקצוות.
תשובה. \(x \in [-1;\ 5]\).
דוגמה 4. אי-שוויון עם ערך מוחלט
משימה. לפתור \(|x + 1| > 4\).
שלב 1. ערך מוחלט גדול ממספר חיובי – פירושו שהביטוי בתוך הערך המוחלט גדול מ-\(4\), או קטן מ-\(-4\). מקבלים איחוד: \(x + 1 > 4\) או \(x + 1 < -4\).
שלב 2. פותרים כל אחד: מהראשון \(x > 3\), מהשני \(x < -5\).
שלב 3. זהו איחוד, לכן לוקחים איחוד של המרווחים, לא חיתוך.
תשובה. \(x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)\).
דוגמה 5. מערכת אי-שוויונות
משימה. לפתור את המערכת \(\begin{cases} 2x + 1 > -3 \\ x - 4 \le 0 \end{cases}\)
שלב 1. אי-שוויון ראשון: \(2x > -4\), מחלקים ב-\(2\) חיובי – הסימן נשמר, \(x > -2\).
שלב 2. אי-שוויון שני: \(x \le 4\).
שלב 3. מסמנים את שתי התשובות על אותו ציר ולוקחים חיתוך – האזור 'צבוע' פעמיים. הגבול השמאלי אינו נכלל (סימן מחמיר), הימני נכלל (סימן לא מחמיר).
תשובה. \(x \in (-2;\ 4]\).
טעויות נפוצות בפתרון אי-שוויונות
-
חילקו את שני הצדדים במספר שלילי והשאירו את הסימן המקורי.
בכפל או חלוקה של שני הצדדים במספר שלילי, הסימן משתנה בהכרח להיפך. מ-$ -5x \ge 10$ מקבלים \(x \le -2\), ולא \(x \ge -2\). ניתן לבדוק זאת בהצבה: \(x = -3\) נותן \(15 \ge 10\) – נכון, לכן התשובה הנכונה היא אכן 'קטן או שווה'.
-
רושמים סוגר מרובע ליד אינסוף: $[-\infty;\ 7]$.
אינסוף אינו מספר, אי אפשר 'להגיע' אליו, לכן הסוגר ליד \(\infty\) תמיד עגול: \((-\infty;\ 7]\). סוגר מרובע נכתב רק ליד גבול סופי שנכלל בתשובה.
-
מבלבלים בין סוג הסוגר לסוג הנקודה: סימן מחמיר נרשם בסוגר מרובע.
סימן מחמיר (\(<\), \(>\)) – הגבול אינו נכלל: נקודה מנוקבת וסוגר עגול. סימן לא מחמיר (\(\le\), \(\ge\)) – הגבול נכלל: נקודה מלאה וסוגר מרובע. הבדיקה פשוטה: הציבו את נקודת הגבול עצמה באי-שוויון המקורי ובדקו אם התקבל אי-שוויון נכון.
-
כופלים את שני הצדדים בביטוי עם משתנה כדי 'להיפטר מהשבר'.
סימן הביטוי כזה אינו ידוע, לכן לא ברור אם להפוך את סימן האי-שוויון או לא – הטרנספורמציה אינה שקולה. במקום זאת, מעבירים הכל לאגף אחד, מביאים לשבר אחד ומשתמשים בשיטת האינטרוולים.
-
רושמים מספר אחד בתשובה: ' $x = 3$ ' במקום קבוצה.
פתרון אי-שוויון הוא קבוצת ערכים. רשום אותו כמרווח: \(x > 3\), כלומר \((3;\ +\infty)\). מספר בודד יכול להיות רק איבר בתשובה, אך לא התשובה עצמה.
-
במערכת לוקחים איחוד, ובאיחוד – חיתוך.
במערכת (סוגר מסולסל, 'וגם') – חיתוך, החלק המשותף של המרווחים. באיחוד (סוגר מרובע, 'או') – איחוד דרך הסימן \(\cup\). ועוד: רישום מהצורה ' \(-2 < x > 5\) ' חסר משמעות – תשובה כזו מעוצבת כאיחוד של שני מרווחים.
שאלות ותשובות
מה פירוש לפתור אי-שוויון?
לפתור אי-שוויון פירושו למצוא את כל ערכי המשתנה שעבורם הוא הופך לאי-שוויון מספרי אמיתי, ולרשום אותם כקבוצה. התשובה תהיה מרווח או איחוד של מרווחים, ולא מספר בודד.
אילו סוגי אי-שוויונות קיימים?
לפי סוג הביטוי עם המשתנה מבחינים בלינאריים (\(ax + b > 0\)), ריבועיים (\(ax^2 + bx + c > 0\)), שברי-רציונליים (משתנה במכנה), עם ערך מוחלט, אי-רציונליים ומעריכיים. בנפרד מבחינים במערכות ואיחודים של אי-שוויונות. לפי סימן האי-שוויון מחלקים למחמירים (\(<\), \(>\)) ולא מחמירים (\(\le\), \(\ge\)).
מתי סימן האי-שוויון משתנה להיפך?
בשני מקרים: כאשר כופלים או מחלקים את שני הצדדים במספר שלילי, וכאשר מחליפים בין הצד השמאלי והימני. בעת חיבור, חיסור וחלוקה במספר חיובי, הסימן נשאר זהה.
מתי הסוגר עגול, ומתי מרובע?
עגול – אם נקודת הגבול אינה נכללת בתשובה (סימן מחמיר, נקודה מנוקבת על הציר). מרובע – אם היא נכללת (סימן לא מחמיר, נקודה מלאה). ליד \(+\infty\) ו- \(-\infty\) הסוגר תמיד עגול.
במה שונה פתרון אי-שוויון מפתרון משוואה?
הטרנספורמציות כמעט זהות, אך למשוואה התשובה בדרך כלל מורכבת ממספרים בודדים, בעוד שלאי-שוויון – ממרווחים שלמים. בנוסף, לאי-שוויון יש כלל של החלפת סימן בכפל וחלוקה במספר שלילי, שאינו קיים במשוואות.
איזה אי-שוויון נחשב שברי ואיפה הוא נלמד?
שברי (שברי-רציונלי) נקרא אי-שוויון שבו המשתנה נמצא במכנה, למשל \(\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0\); בגלל המכנה יש לו תחום ערכים מותרים, ולא ניתן לפתור אותו בחלוקה רגילה. אלגוריתם צעד-אחר-צעד עם דוגמאות – בחומר נפרד אי-שוויונות רציונליים ושיטת האינטרוולים.
באיזו כיתה לומדים פתרון אי-שוויונות?
אי-שוויונות לינאריים ומרווחים מספריים נלמדים בכיתה ח' (אצל מרזליאק – בכיתה ט'), אי-שוויונות ריבועיים ושברי-רציונליים עם שיטת האינטרוולים – בכיתות ח'-ט', ואי-רציונליים ומעריכיים – בחטיבה עליונה.
